☉江蘇省泰州市蘇陳中學(xué)　韓新正☉江蘇省泰州市智堡實驗學(xué)?！腔萜?/p>

?

基于認知優(yōu)化教材追求自然
——對教學(xué)設(shè)計的幾點思考

☉江蘇省泰州市蘇陳中學(xué)韓新正
☉江蘇省泰州市智堡實驗學(xué)校吳惠平

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.課堂教學(xué)是教師以教材為索引，以知識為載體，培養(yǎng)學(xué)生提出問題與發(fā)現(xiàn)問題、分析問題與解決問題能力的過程.由于教材的編寫受到教材體例的限制，所以從教材到教學(xué)需要精心設(shè)計，教學(xué)既不能滿足于把教材梳理一遍就稱之為教學(xué)，而教學(xué)也不能拋開教材，另起爐灶.我們追求自然流暢的教學(xué)，就必須從學(xué)生現(xiàn)有的認知水平出發(fā)，以學(xué)生“自然想到”為著力點，通過適度調(diào)整教材，順應(yīng)學(xué)生思維，促進知識自然生長，從而實現(xiàn)真正意義上的“用教材教”的目的.下面筆者以最近聽的一節(jié)隨堂課的兩個教學(xué)片斷為例，談?wù)剬Α坝媒滩慕獭钡膸c感受，教學(xué)內(nèi)容為人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“13.1.2線段的垂直平分線”，供參考.

一、教學(xué)片斷

下面兩個教學(xué)片斷，教師充分尊重教材的編排體例，幾乎未做任何改變直接用于教學(xué).

片斷1：這是本節(jié)課的開始部分.

教師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了軸對稱，并且知道線段是軸對稱圖形，線段的一條對稱軸是線段的垂直平分線，那么線段的垂直平分線有什么性質(zhì)呢？我們一起進行如下的探究，如圖1，直線l垂直平分線段AB，

P1、P2、P3、…是l上的點，分別量一量點P1、P2、P3、…到點A與點B的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

學(xué)生在自己的課本上測量后，有的得出AP1=BP1，AP2=BP2，AP3=BP3，…，也有不少同學(xué)得不出它們相等.

教師：如果我們測量的數(shù)據(jù)精確到0.1，則有AP1= BP1，AP2=BP2，AP3=BP3，…，你能把你的發(fā)現(xiàn)用數(shù)學(xué)語言概括一下嗎？

片斷2：這是在探究、證明了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定之后.

教師：剛才我們已經(jīng)系統(tǒng)地研究了線段垂直平分線的性質(zhì)和判定，下面我們一起看一道例題.

例1尺規(guī)作圖，經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線.

已知：直線AB和AB外一點C（如圖2）.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.

圖2

教師：大家根據(jù)教材提供的作法完成作圖過程，同時思考每一步的作圖理由.

作法：（1）任意取一點K，使點K和點C在AB的兩旁；（2）以點C為圓心，CK長為半徑作弧，交AB于點D和E；（3）分別以點D和E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點F；（4）作直線CF.直線CF就是所求作的垂線.

學(xué)生通過認真看書、小組交流、教師講解理清了作法的意義，明白了為什么直線CF就是所求作的垂線的道理.并按照老師的要求重新畫圖一次以鞏固所學(xué).

二、對“教學(xué)片斷”的質(zhì)疑

在片斷1中，學(xué)生的疑問是“老師，你怎么想到測量AP1、BP1、AP2、BP2、AP3、BP3的長度？”“通過測量后，有些數(shù)據(jù)不相等，你為什么要說精確到0.1它們就相等了？”在片斷2中，學(xué)生的疑問是“圖形作好之后，我能看懂，也會證明，但我想不到這樣的作法，老師你是怎么想到的呢？”細細分析，我們發(fā)現(xiàn)，在這兩個教學(xué)片斷中，學(xué)生只是“測量”、“作圖”的機械執(zhí)行者，其間并沒有深刻而主動的思維活動.學(xué)生的困惑來自于所學(xué)的知識和他現(xiàn)有的認知之間的沖突，在學(xué)生現(xiàn)有認知和要學(xué)的知識之間缺少緩沖地帶，教材給學(xué)生的只是陳述性的知識，是能讓學(xué)生看懂的知識，但無法解決學(xué)生思維的困惑，“我怎么能自然想到？”這需要教師的主動引領(lǐng).一方面教師要通過創(chuàng)設(shè)合適的情境，從學(xué)生實際出發(fā)，迅速進入學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，在學(xué)生已有認知基礎(chǔ)上，構(gòu)建新的認知結(jié)構(gòu)；另一方面教師要通過適當(dāng)調(diào)整教材，以符合學(xué)生思維規(guī)律，讓學(xué)生在合適的情境下“自然想到”，讓學(xué)生既知其然，更知其所以然，讓“用教材教”恰到好處.

三、從教材安排和學(xué)生認知基礎(chǔ)分析教學(xué)設(shè)計

從教材的安排順序看.本節(jié)課是“第13章軸對稱”的第二課時，第一課時安排的是軸對稱和軸對稱圖形的概念，上一章是“全等三角形”和“角平分線的性質(zhì)與判定”.從這一教材順序中可以看出，線段和角都是軸對稱圖形，但分布在兩個章節(jié)中，顯然，本節(jié)課可以類比“角平分線的性質(zhì)”來進行研究“線段的垂直平分線”，從“角平分線的性質(zhì)”生長出“線段垂直平分線的性質(zhì)”.片斷1的教學(xué)可以先復(fù)習(xí)“角平分線的性質(zhì)”，然后引入線段也是軸對稱圖形，它的對稱軸有什么特征呢？這時我們類比“角平分線上的點”來探索“線段垂直平分線上的點”，再類比“角有兩條邊”，“線段有兩個端點”，角平分線是“點到線的距離”，則線段垂直平分線是“點到點的距離”，從而猜想“線段垂直平分線的性質(zhì)”.在片斷2的教學(xué)中，要求尺規(guī)作圖經(jīng)過直線外一點作這條直線的垂線，我們思考能否把要作的垂線轉(zhuǎn)化為作某條線段的垂直平分線（本節(jié)課的內(nèi)容提示），關(guān)鍵就是尋找到一條線段，且這條線段的垂直平分線經(jīng)過點C，于是自然想到在直線AB上尋找這樣一條線段，使得該線段的垂直平分線經(jīng)過點C.

從學(xué)生的認知基礎(chǔ)看.學(xué)生的學(xué)習(xí)過程就是在原有的認知基礎(chǔ)上，接受新的知識，使原有的認知結(jié)構(gòu)得到豐富和改組，形成新的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)的過程.在這一過程中，原有的認知結(jié)構(gòu)越清晰，越容易提取，也就容易找到新知的固著點，新知識若能從原結(jié)構(gòu)中自然生長，則學(xué)習(xí)越輕松、自然，新的認知結(jié)構(gòu)越牢固.學(xué)生在學(xué)習(xí)了全等三角形和角平分線性質(zhì)的基礎(chǔ)上，在學(xué)生已有的認知圖式中，教師引導(dǎo)學(xué)生從角平分線的角度去構(gòu)建線段垂直平分線，就顯得自然了.另外，由于本節(jié)課是研究線段的垂直平分線，而片斷2是要作直線的垂線，學(xué)生自然要想到如何把求作直線的垂線轉(zhuǎn)化為求作某線段的垂直平分線？這時就轉(zhuǎn)化為在直線AB上求一條線段，使這條線段的垂直平分線經(jīng)過點C，學(xué)生自然想到以點C為圓心畫弧交直線AB于點D、E，線段DE就是所求的線段.

四、對兩個教學(xué)片斷的改進

1.對片斷1的改進

教師：在上一章，我們學(xué)習(xí)了角平分線的性質(zhì)，請大家回憶一下.角是軸對稱圖形，它的對稱軸是什么，角平分線上的點有什么特點？（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）如何證明這一結(jié)論？（利用三角形全等證明）

在學(xué)生對角、角平分線的知識進行認真復(fù)習(xí)、梳理后.教師板書研究角平分線性質(zhì)的思路.

教師：線段是軸對稱圖形嗎？怎么證明線段是軸對稱圖形？如果是，有幾條對稱軸？其中線段的垂直平分線上的點有什么特點？你能類比角平分線的性質(zhì)進行猜想嗎？運用測量的方法驗證你的猜想（這時可以運用教材中的探究方法）.把你的猜想用數(shù)學(xué)語言表達出來，證明你的猜想（是否也可以利用三角形全等證明）.

2.對片斷2的改進

教師：如圖3，已知：直線AB和AB外一點C.求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點C.方法不限，請大家自由思考.

圖3

圖4

學(xué)生1：把直線AB對折，使折痕經(jīng)過點C，折痕所在直線就是AB的垂線.

學(xué)生2：用量角器直接量出∠CDB=90°即可，如圖4.

學(xué)生3：使直角三角尺的一條直角邊與AB重合，另一條直角邊經(jīng)過點C，過點C的直線即為AB的垂線.

教師：如果用尺規(guī)作圖，該如何思考呢？從上面的三種方法中能否找到可以借鑒的作法？

顯然，從上面三種作法中找不到可以借鑒的經(jīng)驗，這時老師的引導(dǎo)顯得非常重要.

教師：過點C作直線AB的垂線難以下手，結(jié)合我們今天所講的內(nèi)容（線段垂直平分線），我們是否可以做這樣的轉(zhuǎn)化？能否在直線AB上找到一條線段DE，使得線段DE的垂直平分線經(jīng)過點C？如果找到這樣的線段DE，則必有CD=CE，那么如何作出CD=CE呢？（這一步可以留出時間讓學(xué)生思考、討論，為什么會想到這樣的轉(zhuǎn)化？把未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想是數(shù)學(xué)的重要思想）

學(xué)生4：以點C為圓心，以足夠長為半徑作弧交直線AB于點D、E.如圖2

教師：半徑有要求嗎？

學(xué)生5：必須保證所畫的弧和直線AB有交點，所以學(xué)生4說“以足夠長為半徑”.

教師：接下來怎么辦？

學(xué)生6：既然已經(jīng)找到線段DE，下面就是求作DE的垂直平分線了，作法是：分別以點D和點E為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點F，作直線CF，直線CF就是所求作的垂線.

教師：可以把上述思考過程用框圖（圖5）表示出來.

大家思考這一作圖過程，你認為哪一步最重要？

圖5

學(xué)生7：我認為把“過直線外一點C作已知直線AB的垂線”轉(zhuǎn)化為“過直線外一點C作線段DE的垂直平分線”這一步最重要.一方面，它關(guān)聯(lián)起了新情境和已學(xué)知識間的聯(lián)系，面對新情境，可以轉(zhuǎn)化為已學(xué)知識來解決，另一方面，我們學(xué)會了面對新問題如何進行思考的方法.

五、教學(xué)反思

1.教學(xué)設(shè)計的追求：設(shè)計無痕，思維自然

教學(xué)設(shè)計的最終目的是為了提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生在單位時間內(nèi)能夠?qū)W到更多的知識，更大幅度地提高學(xué)生各方面的能力，從而使學(xué)生獲得良好的發(fā)展.在教學(xué)過程中，學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)、新知識的難易程度、教材的呈現(xiàn)方式等大都是矛盾的兩面，如何協(xié)調(diào)其間的矛盾，使教育的成效最大化？只有依靠教師的巧妙設(shè)計，基于學(xué)生認知現(xiàn)狀，適當(dāng)改造教材，使知識的呈現(xiàn)方式符合學(xué)生的認知水平，有利于學(xué)生自然思維.又因為學(xué)生是一個個鮮活的個體，有著個性鮮明的思維方式，任何過于雕飾的設(shè)計都會對學(xué)生產(chǎn)生負面的影響，唯有把教育隱藏在每個細節(jié)中，教育才能潤物無聲，正如蘇霍姆林斯基說的那樣：“把教育意圖隱蔽起來，是教育藝術(shù)十分重要的因素之一.”所以，我們追求“設(shè)計無痕，思維自然”的設(shè)計最高境界.對片斷1的改進從復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì)入手，通過類比其研究方法來探究垂直平分線的性質(zhì)，思維自然，設(shè)計不露痕跡；對片斷2的改進從先復(fù)習(xí)過直線外一點作已知直線的垂線入手，順勢提出能否借鑒上面方法用尺規(guī)作出垂線？在無法借鑒后，再次提出能否轉(zhuǎn)化為作線段的垂直平分線？也就是把未知轉(zhuǎn)化為已知（剛剛才學(xué)的新知識），這時轉(zhuǎn)化為在已知直線上求作一條線段，使該線段的垂直平分線經(jīng)過已知點.這樣的思維自然、流暢，對教材的改造不露痕跡.

2.教學(xué)設(shè)計的起點：基于學(xué)生現(xiàn)狀

教學(xué)設(shè)計要基于學(xué)生的認知水平.美國教育心理學(xué)家奧蘇伯爾說過：“影響學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要的原因是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生原有的知識狀況進行教學(xué).”《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也強調(diào)：數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.因此在課堂教學(xué)設(shè)計中，教師應(yīng)該準(zhǔn)確把握教學(xué)的起點，從學(xué)生的已有知識出發(fā)，在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，讓知識自然生成，讓思維自由飛翔.對片斷1的改進就是基于學(xué)生已經(jīng)掌握了角平分線性質(zhì)的探究方法和角與線段都是軸對稱圖形這一認知現(xiàn)狀，才為類比角平分線學(xué)習(xí)線段垂直平分線打好基礎(chǔ).對片斷2的改進是基于剛剛學(xué)習(xí)了線段垂直平分線的性質(zhì)這一認知現(xiàn)狀，把作已知直線的垂線轉(zhuǎn)化為作線段的垂直平分線就水到渠成，且思路自然.

3.教學(xué)設(shè)計的抓手：理解教材、優(yōu)化教材

雖然教材是學(xué)生學(xué)習(xí)的載體，但其受到知識體系和教材編寫的限制，教學(xué)中不能完全按照教材內(nèi)容進行教學(xué)，需在理解教材的基礎(chǔ)上，適當(dāng)調(diào)整和優(yōu)化教材.如果教學(xué)中嚴格按照教材的內(nèi)容引入，學(xué)生會產(chǎn)生一些困惑，比如片斷1中，學(xué)生提出“你怎么想到測量AP1、BP1、AP2、BP2、AP3、BP3的長度？”片斷2中學(xué)生提出“圖形作好之后，我能看懂，也會證明，但我想不到這樣的作法，老師你是怎么想到的呢？”在教學(xué)過程中，學(xué)生根本不知道下一步做什么，始終“被動地跟著老師走”.表面上看，學(xué)生是在回答一個又一個問題，積極參與了知識形成的思維活動，但是學(xué)生并不知道整個活動的目的，尤其在片斷2中，等到學(xué)生畫出圖形后，才恍然大悟，這一過程中，學(xué)生只是教師各項指令的機械執(zhí)行者，并不能形成深刻而主動的思維活動.教師只有深刻理解教材，順應(yīng)學(xué)生思維，立足學(xué)生認知基礎(chǔ)，從學(xué)生的角度出發(fā)，優(yōu)化教材設(shè)計，才能形成自然、生動的課堂.

參考文獻：

1.中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

2.郭玉峰，劉春艷，程國紅.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

3.G.波利亞，著.怎樣解題——數(shù)學(xué)思維的新方法［M］.上海：涂泓，馮承天，譯.上?？萍冀逃霭嫔?，2007（5）.

4.詹高晟.拉長思維過程內(nèi)化概念理解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2016（3）.H