張俊麗， 韓貴春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 通遼 028043)

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非奇異H-矩陣的新判定方法

張俊麗， 韓貴春

(內(nèi)蒙古民族大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 內(nèi)蒙古 通遼 028043)

摘要:非奇異H-矩陣是一類重要特殊矩陣, 它在計算數(shù)學(xué)、 控制論、 系統(tǒng)理論以及彈性力學(xué)等眾多領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用, 但在實用中其判定是十分困難的. 本文根據(jù)α-對角占優(yōu)矩陣與非奇異H-矩陣的關(guān)系, 利用不等式放縮技巧， 給出了非奇異H-矩陣的新判定方法, 對已有的相關(guān)結(jié)果進行了推廣和改進, 并用數(shù)值算例證實了該判定準則的有效性.

關(guān)鍵詞:非奇異H-矩陣；α-對角占優(yōu)矩陣； 不可約； 非零元素鏈

0引言

非奇異H-矩陣在計算數(shù)學(xué)、 動力系統(tǒng)理論和數(shù)學(xué)物理等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用， 但是其判定卻比較困難. 近年來很多學(xué)者對其作了深入的研究， 給出了一些重要結(jié)果[1-16]. 文獻[1]給出了非奇異H-矩陣的簡捷判據(jù)， 文獻[3]給出了非奇異H-矩陣的迭代判定方法， 是改進文獻[1-2]的結(jié)果. 本文給出非奇異H-矩陣的新判定方法， 推廣了文獻[1-4]中的部分結(jié)論.

為了便于敘述， 下面引入本文的主要符號：

記

定義 2[5]A=(aij)∈Cn×n， 如果存在α∈(0,1]， 使得對?i∈N， 有

定義 3[6]設(shè)A=(aij)∈Cn×n， 若A∈D0(α)， 不可約， 且至少有一個嚴格不等式成立， 則稱A為不可約α-對角占優(yōu)矩陣; 若A∈D0(α)， 且對滿足等式成立的下標i均存在非零元素鏈aii1，ai1i2， …，ai,j， 成立|ajj|≥[Rj(A)]α[Sj(A)]1-α， 則稱A具為非零元素鏈α-對角占優(yōu)矩陣.

1)A∈D(α);

2)A為不可約α-對角占優(yōu)矩陣， 且至少有一行嚴格對角占優(yōu);

3)A為具有非零元素鏈α-對角占優(yōu)矩陣.

1主要結(jié)果

定理 1設(shè)A(aij)∈Cn×n， α∈(0,1]， 若對任意的i∈N2， 有式(1)成立

(1)

證明由符號定義知， 0

由式(1)， 存在ε>0， 使得?i∈N3， 有0<ρi+ε<1， 且對?i∈N2有下式成立

(2)

構(gòu)造如下正對角陣

且令

其中: xi=1, i∈N1; xi=δi, i∈N2; xi=ρi+ε, i∈N3.

即|bii|>[Ri(B)]α[Si(B)]1-α.

② ?i∈N2， 由式(2)得

③ ?i∈N3， 由ρi(A)的定義得

由ε>0， 故

故

故 |bii|>[Ri(B)]α[Si(B)]1-α.

注文獻[11]中定理1是上述定理在α=0.5時的情況， 且上述定理1的判定方法可推廣到不可約和具有非零元素鏈的情形， 具體如下：

(3)

證明因A不可約， 故Q={aij=0,i∈K?N,j∈N-k}=Φ.

構(gòu)造正對角陣

① ?i∈N1， 由δi和ρi的定義知

② ?i∈N2， 由式(3)得

又式(3)中至少有一嚴格不等式成立， 即存在k， 使得

③ ?i∈N3， 有

類似地， 亦可證明下面的結(jié)論.

定理 3設(shè)A=(aij)∈Cn×n， α∈(0,1]， 若對任意的i∈N2， 滿足

(4)

若式(4)至少有一個不等式嚴格成立， 且滿足上式中每一個等式的i或i∈N-N2均存在非零元素鏈aii1,ai1i2,ai2i3,…,aikj， 使得j∈N2， 并且

2數(shù)值算例

考慮矩陣

用本文定理1， 取α=0.53， p=0， 則N1={2}， N2={1,3}， N3={4,5}， 于是，

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A New Decision Method of Nonsingular H-Matrix

ZHANG Jun-li, HAN Gui-chun

(School of Mathematics, Inner Mongolia University for Nationalities, Tongliao 028043, China)

Key words:nonsingular H-matrix;α-diagonally dominant matrix; irreducible; nonzero elements chain

Abstract:Nonsingular H-matrix is a kind of important special matrices, it has extensive application in many fields such as computational mathematics, control theory, system theory and mechanics of elasticity and so on, but it is difficult to determine in practice. In this paper, a new decision method of nonsingular H-matricesare was given according to the relations ofα-diagonally dominant matrices and nonsingular H-matrices and techniques of inequalities, which extents and improves some related results. The validity of the decision criterion is illustrated by some numerical examples.

文章編號:1673-3193(2016)03-0211-04

收稿日期:2015-12-01

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11361038)； 內(nèi)蒙古自然科學(xué)與技術(shù)研究基金資助項目(NJZY13159)； 內(nèi)蒙古民族大學(xué)自然科學(xué)基金資助項目(NMD1305)

作者簡介：張俊麗(1980-)， 女， 講師， 碩士， 主要從事數(shù)值代數(shù)及應(yīng)用研究.

中圖分類號:O151.21

文獻標識碼:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.03.001