胡傳峰， 姬　秀

(長江大學 文理學院， 湖北 荊州 434000)

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一類偏微分方程的解的Bernstein性質(zhì)

胡傳峰， 姬秀

(長江大學 文理學院， 湖北 荊州 434000)

摘要:在局部嚴格凸的超曲面M上定義了α-相對度量Gα.研究了關(guān)于Gα完備且α-Ricci 曲率有下界-N的超曲面M. 利用活動標架法及J-C-P定理,證明了當ρ滿足一個四階偏微分方程時,M一定是橢圓拋物面.

關(guān)鍵詞:Bernstein性質(zhì); 相對極值超曲面; 偏微分方程； Euler-Lagrange方程

1引言及主要結(jié)果

設(shè)y:M→An+1是一個局部嚴格凸的超曲面, 由定義在一個凸域Ω?An上的嚴格凸函數(shù)xn+1=f(x1,x2,…,xn)給出.設(shè)

若Y=(Y1,…,Yn+1) 是M上的轉(zhuǎn)移向量場且對任意點y∈M有dY∈TyM, 則稱Y是M的相對法場.尤其, 當Y=(0,…,0,1)時,M上的余法場U和相對黎曼度量G可分別定義為

G也被稱為Calabi度量. 記

李安民院士首先研究了M上由Uα=ραU誘導的相對法場. 在文獻[1]中此相對法場被稱作α相對法場, 后來在文獻[2-4]中也被稱作李法場. 相應(yīng)于李法場,M上的度量是[1]

度量Gα也被稱作李度量或α-度量.關(guān)于這一課題的研究已有較大的進展[5-11].

命題 1[12]關(guān)于α-度量體積變分問題的Euler-Lagrange方程是

(1)

若一光滑嚴格凸函數(shù)f 滿足式(1), 則我們稱超曲面M={(x,f(x))}為α-相對極值超曲面. 相對于Calabi度量, 式(1)可寫為

(2)

定理 1[13]設(shè)y:M→An+1是由嚴格凸函數(shù)xn+1=f(x1,x2,…,xn)給出的局部強凸α-相對極值超曲面, 且關(guān)于α度量完備,則存在正常數(shù)K(n). 當 |α|>K(n)時,M是橢圓拋物面.

本文研究滿足下面四階偏微分方程的超曲面

(3)

式中：h:R+→R.

注記定理2是定理1的推廣.

2預(yù)備知識

設(shè)f(x1,…,xn)是定義在凸域Ω?An上的局部嚴格凸函數(shù), 考慮超曲面

對M選取古典相對法場Y=(0,0,…,1). 則Calabi度量G=∑fijdxidxj是相對于Y的相對度量. 對位置向量y=(x1,…,xn, f(x1,…,xn))有

(4)

余法場

張量Aijk和Weingarten張量Bij滿足

相應(yīng)于度量G的聯(lián)絡(luò)有Chistoffel 符號

積分條件和Codazzi方程是

(8)

(9)

由式(8)得Ricci張量

(10)

定義函數(shù)

關(guān)于Calabi度量G的拉普拉斯算子

由Gα=ραG, 對光滑函數(shù)H有

(11)

式中： △和 △α分別是相對于Calabi度量G及α-度量Gα的拉普拉斯算子.

為了證明主要定理, 我們需先證明Φ=0, 再利用J-C-P定理來證.

3定理的證明

命題 2設(shè)f(x)是一局部嚴格凸函數(shù), 且滿足式(3), 則有

當Φ(p)=0時, 易得在點p處有

當Φ(p)≠0時, 取相對于Calabi度量的正交標架場使得在點p處有ρ,1=‖ρ‖G>0,ρ,i=0, ?i>1. 因此有

(12)

利用Schwarz’s 不等式可得

由Ricci恒等式得

將上述關(guān)系式代入式(12)得

同理可得

利用 Schwarz’s 不等式得

因此有

由

得

(13)

(14)

將式(13)及式(14)代入△Φ的關(guān)系式得

兩邊同時除以Φ, 得到命題 2.

定理 2 的證明設(shè)p0∈M, 令r=r(p0,p)為關(guān)于相對度量Gα的測地距離函數(shù).a為任意正數(shù), 設(shè)Ba(p0)={p∈M|r(p0,p)≤a}. 考慮定義在Ba(p0)上的函數(shù)

函數(shù)L在某內(nèi)點p*處達到極大值. 設(shè)r2是p*某鄰域內(nèi)的C2-函數(shù)， 且在p*處Φ>0, 則在p*處有

直接計算得

(15)

由命題2及式(15)得

其中

由h滿足

則可得

利用 Schwarz’s 不等式得

(16)

(17)

因此有

(18)

則有

(19)

式中：d2,d3是與n,α有關(guān)的常數(shù). 注意到

(20)

及(M,Gα) 的α-Ricci曲率有下界-N. 由Laplacian 比較定理得

因此有

將此不等式及式(20)代入式(19)得

(21)

兩邊同除以(a2-r2)2, 得

(22)

式中：d4,d5是與n,N有關(guān)的常數(shù). 式(21)在Ba(p0)上恒成立. ?p∈M, 令a→∞得Φ(p)=0. 因此在M上有

利用J-C-P定理[15],M是橢圓拋物面. 證畢.

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Bernstein Property for Solutions of a Partial Differential Equation

HU Chuan-feng, JI Xiu

(School of Arts and Science, Yangtze University College, Jingzhou 434000, China)

Key words:Bernstein property; relative extremal hypersurface; partial differential equation; Euler-Lagrange equation

Abstract:Aα-relative metricGαwas defined on a locally strongly convex hypersurfaceM. LetMbe complete with respect toGαand itsα-Ricci curvature was bounded from below by a constant-N. By moving frames and J-C-P theorem, it drawed that the conclusion thatMmust be an elliptic paraboloid, whenρsatisfied a fourth order partial differential equation.

文章編號:1673-3193(2016)03-0220-05

收稿日期:2015-12-10

基金項目：湖北省教育廳科學技術(shù)研究基金資助項目(B2016458)

作者簡介：胡傳峰(1978-)， 男， 講師， 碩士， 主要從事微分幾何研究.

中圖分類號:O186.13

文獻標識碼:A

doi:10.3969/j.issn.1673-3193.2016.03.003