劉正章

(陜西省漢中市405學(xué)校，723312)

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○數(shù)學(xué)探究○

劉正章

(陜西省漢中市405學(xué)校，723312)

本文中S?OAB、VOABC分別表示?OAB的面積和四面體OABC的體積,其余類同.

一、猜想的探究

1.先證明以下事實(shí)

2. 證明猜想1

故猜想1得證.

二、一般化探究

如果各向量的倍數(shù)不是1,而是其它正實(shí)數(shù),情形會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢?

1.從一維到二維

S?OAB∶S?OBC∶S?OCA=p∶m∶n.

S?OA1B1=S?OB1C1=S?OC1A1.

故S?OAB∶S?OBC∶S?OCA=p∶m∶n.

猜想2正確.

故S?OAB∶S?OBC∶S?OCA=p∶m∶n.

2.從二維到三維

類比二維的結(jié)果聯(lián)想，有:

VOABC∶VOBCD∶VOCDA∶VODAB=q∶m∶n∶p.

結(jié)論2若D、E、F分別在四面體OABC的棱OA、OB、OC上,則

下面證明猜想3.

三、 幾點(diǎn)反思

(1) 由上面的證明不難發(fā)現(xiàn),向量前面的系數(shù)無關(guān)緊要,不僅取正數(shù)時(shí)成立,而取負(fù)數(shù)并不妨礙問題的本質(zhì),即O點(diǎn)在圖形外部類似結(jié)論仍然成立.

(2) 升降維類比是類比思想的重要類型之一,這里體現(xiàn)的類比對應(yīng)關(guān)系如下:

宏觀上以“維數(shù)”為思考方向,以相似的向量式為切入點(diǎn),探求了相應(yīng)圖形的相似性質(zhì),尤其值得重視的是探究問題和解決問題的類比思想方法.

(3) 類比作為一種發(fā)現(xiàn)、拓展、創(chuàng)新的科學(xué)方法,早就被科學(xué)家們所認(rèn)識(shí).我們一線教師應(yīng)該抓住這個(gè)教育培養(yǎng)學(xué)生素質(zhì)的契機(jī),從思想上意識(shí)到和在教學(xué)中踐行如開普勒講的“我珍惜類比勝于任何別的東西,它是我最可信賴的老師,它能揭示自然界的秘密,在幾何學(xué)之中它應(yīng)該是最不容易忽視的.”這段話的精神.