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高二數(shù)學(xué)測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.已知i是虛數(shù)單位,則i2 015=______.

3.按三段論式推理,進(jìn)行如下推理.大前提:所有的車子都有四個輪子.小前提:自行車是車子.結(jié)論:______.

4.已知平行四邊形ABCD的三個頂點A,B,C分別對應(yīng)復(fù)數(shù)3+3i,-2+i,-5i,則第四個頂點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為______.

5.若復(fù)數(shù)z滿足(3-4i)z=5,則z的虛部為______.

6.如圖,直線l是曲線y=f(x)在x=5處的切線,則f(5)+f′(5)=______.

7.用反證法證明命題“a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”時,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為“a,b______能被5整除”.

8.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且滿足關(guān)系式f(x)=x2+3xf′(2)+lnx,則f′(2)的值等于______.

10.若z∈C且|z+2-2i|=1,則|z-2-2i|的最小值為______.

11.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=a[x2+(1-a)x-a] (a≠0),若函數(shù)f(x)在x=a處取到極大值,則實數(shù)a的取值范圍是______.

13.設(shè)動直線x=t與函數(shù)f(x)=x3,g(x)=lnx的圖象分別交于點M,N,則MN的最小值為______.

14.函數(shù)f(x)的定義域為R,f(-1)=2,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),已知y=f′(x)的圖象如圖所示,則f(x)> 2x+4的解集為______.

二、解答題(本大題共6小題,共計90分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)已知復(fù)數(shù),z1=1+2i,z2=-2+i，

(1)求z3;

(2)若復(fù)數(shù)z滿足z+z1為實數(shù),且z(z2-z3)為純虛數(shù),求z.

16.(本小題滿分14分)(1)證明:正三角形內(nèi)任一點(不與頂點重合)到三邊的距離和為定值；

(2)通過對(1)的類比,提出正四面體的一個正確的結(jié)論,并予以證明.

17.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=ax3+3x2-12x+1(a∈R),且當(dāng)Δx→ 0時,

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-3, 3]的最大值與最小值.

18.(本小題滿分16分)已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.

(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的極值;

(2)是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,說明理由;

19.(本小題滿分16分)如圖,在圓心角為變量2θ(0 < 2θ< π)的扇形OAB內(nèi)作一半徑為r的內(nèi)切圓P,再在扇形內(nèi)作一個與扇形兩半徑相切并與圓P外切的小圓Q,圓P與圓Q相切于點C,圓P和圓Q與半徑OA分別切于E,D兩點.

20.(本小題滿分16分)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),a∈R.

(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象在x=ln 2處的切線l的傾斜角為0,求切線l的方程;

(2)記函數(shù)y=f(x)圖象為曲線C,設(shè)點A(x1,f(x2)),B(x2,f(x2))(x1

參考答案

一、填空題

3.自行車有四個輪子 ;

10.3;11.-1 < a < 0;

二、解答題

15.(1)由z1=1+2i,z2=-2+i,得

互聯(lián)網(wǎng)的普及，讓高校和社會之間的聯(lián)系越發(fā)緊密，學(xué)生通過網(wǎng)絡(luò)就能接觸到社會上的各種思想。但有些學(xué)生還未形成自己獨立的思想，容易受到社會上各種思潮的影響，尤其是一些負(fù)面的拜金思想、實用思想以及享樂思想的影響，這些不良影響極易將學(xué)生引入歧途?；ヂ?lián)網(wǎng)環(huán)境有著極大的開放性和自由度，高校學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境中發(fā)表言論較為自由，缺少約束，這種放縱的虛擬環(huán)境容易讓學(xué)生迷失方向，從而給高校思政教育工作帶來一定的難度。

=-1+2i,

故z3=-1-2i;

(2)設(shè)z=x+yi(x,y∈R).

由z+z1為實數(shù),得y+2=0,即y=-2.

又z2-z3=-2+i+1+2i=-1+3i,

則z(z2-z3)=(x-2i)(-1+3i)

=6-x+(3x+2)i.

∴x=6,∴z=6-2i.

點P到正三角形三邊的距離分別為h1,h2,h3,三角形邊長為a高為h,則三角形的面積

即h=h1+h2+h3.

所以,正三角形內(nèi)任一點(不與頂點重合)到三邊的距離之和為定值.

(2)類比的結(jié)論是:正四面體內(nèi)任一點(不與頂點重合)到它的四個面的距離和為定值.

下面給出證明:如圖，設(shè)點P為正四面體A-BCD內(nèi)部任一點,且點P到四個面的距離分別為PM1,PM2,PM3,PM4,正四面體的高為h,則點P將四面體分成四個共頂點的三棱錐.

由VP-BCD+VP-ACD+VP-ABD+VP-ABC=VA-BCD,

因為ABCD為正四面體,所以四個面面積相同,故

PM1+PM2+PM3+PM4=h.

又f′(x)=3ax2+6x-12,則3a+6-12=0,故a=2，

所以f′(x)=6x2+6x-12.

令f′(x)>0,解得x<-2或x>1,

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-2)和(1,+∞).

令f′(x)<0,解得-2

(2)f(x)=2x3+3x2-12x+1.

由(1)列表如下：

x-3(-3,-2)-2(-2,1)1(1,3)3f'(x)+0-0+f(x)10↗21↘-6↗46

從上表可知,函數(shù)在x=3處取得極大值,在x=1時取得極小值,

又因為f(-3)=10>-6,f(3)=46>21,

所以函數(shù)在區(qū)間[-3, 3]上的最大值是46,最小值是-6.

令f′(x)> 0, 得1

所以函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，e]上單調(diào)遞增，且當(dāng)x∈(0,e]時，f(x)有極小值f(1)=1.

(2)由f(x)=ax-lnx，得

綜上，當(dāng)a=e2時滿足條件.

(3)由(1)知,當(dāng)(0, e]時,f(x)有極小值f(1)=1.

當(dāng)x∈(0, e] 時,g(x)> 0, 則g(x)在(0, e] 上單調(diào)遞增，

所以f(x)min>g(x)max.

整理得10sin2θ-7sinθ+1≤0,

(2)BH=OBsin 2θ

=2cosθ(1+sinθ)r,

則f′(θ)=-sinθ(1+sinθ)+cosθcosθ

=-2sin2θ-sinθ+1.

令f′(θ)>0,

即-2sin2θ-sinθ+1>0,

故“最理想扇形”的面積為

20.f′(x)=ex-a.

(1)由函數(shù)y=f(x)的圖象在x=ln 2處的切線l的傾斜角為0,即f′(ln 2)=tan 0=0,

則eln 2-a=0,即a=2.

又f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-2ln 2,

故切線l的方程為y=2-2ln 2.

(2)由題意知

曲線C在點N處切線斜率k′=f′(0)=1-a.

假設(shè)曲線C在點N處的切線平行于直線AB,

則g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則

g(x)>g(0)=0,

因此曲線C在點N處的切線不平行于直線AB.