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高三數(shù)學(xué)綜合測試

一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)

1.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+2i)z=3(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的實部為______.

3.下圖是一個算法流程圖,則輸出的k的值是______.

4.為了解一批燈泡(共5 000只)的使用壽命,從中隨機抽取了100只進行測試,其使用壽命(單位:h)如下表:

使用壽命[500,700)[700,900)[900,1100)[1100,1300)[1300,1500)只數(shù)52344253

根據(jù)該樣本的頻數(shù)分布,估計該批燈泡使用壽命不低于1 100 h的燈泡只數(shù)是______.

5.電視臺組織中學(xué)生知識競賽,共設(shè)有5個版塊的試題,主題分別是:立德樹人、社會主義核心價值觀、依法治國理念、中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、創(chuàng)新能力.某參賽隊從中任選2個主題作答,則“立德樹人”主題被該隊選中的概率是______.

6. 已知函數(shù)f(x)=loga(x+b)(a>0且a≠1,b∈R)的圖象如圖所示,則a+b的值是______.

8.在等比數(shù)列{an}中,a2=1,公比q=±1.若a1,4a3,7a5成等差數(shù)列,則a6的值是______.

11. 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且對于任意的x∈[0,+∞),滿足f(x+2)=f(x).若當(dāng)x∈[0,2)時,f(x)=|x2-x-1|,則函數(shù)y=f(x)-1在區(qū)間[-2,4]上的零點個數(shù)為______.

二、解答題(本大題共6小題,共計90分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)在斜?ABC中,tanA+tanB+tanAtanB=1.

(1)求C的值;

16.(本小題滿分14分)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別為棱AB,BC,C1D1的中點.求證:

(1)AP∥平面C1MN;

(2)平面B1BDD1⊥平面C1MN.

17.(本小題滿分14分)植物園擬建一個多邊形苗圃,苗圃的一邊緊靠著長度大于30 m的圍墻.現(xiàn)有兩種方案：方案①多邊形為直角?AEB(∠AEB=90°)，如圖(1)所示，其中AE+EB=30 m；方案②多邊形為等腰梯形AEFB(AB>EF),如圖(2)所示,其中AE=EF=BF=10 m.請你分別求出兩種方案中苗圃的最大面積,并從中確定使苗圃面積最大的方案.

(1)若k=0,解不等式

(2)若k≥0,求關(guān)于x的方程f(x)=x·g(x)實根的個數(shù).

(1)求證:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;

(i)求數(shù)列{bn}公比q的最小值(用k表示);

(ii)當(dāng)n≥2時,bn∈N*,求數(shù)列{bn}的通項公式.

參考答案

一、填空題

二、解答題

15.(1)tanA+tanB+tanAtanB=1,

即tanA+tanB=1-tanAtanB.

因為在斜?ABC中,1-tanAtanB≠0,

即tan(180°-C)=1,亦即tanC=-1.

因為0°

(2)在?ABC中，A=15°,C=135°,則

B=180°-A-C=30°，

由正弦定理,得

CA=2sin 30°=1.

所以?ABC的周長

16.(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為M,P分別為棱AB,C1D1的中點,所以AM=PC1.

又AM∥CD,PC1∥CD,故AM∥PC1,

所以四邊形AMC1P為平行四邊形，

從而AP∥C1M.

又AP?平面C1MN,C1M?平面C1MN,

所以AP∥平面C1MN.

(2)連結(jié)AC,在正方形ABCD中,AC⊥BD，又M,N分別為棱AB,BC的中點,故MN∥AC，所以MN⊥BD.

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD，

又MN?平面ABCD,

所以DD1⊥MN.

而DD1∩DB=D,DD1,DB?平面BDD1B1,

所以MN⊥平面BDD1B1.

又MN?平面C1MN,

所以平面B1BDD1⊥平面C1MN.

17.設(shè)方案①,② 中多邊形苗圃的面積分別為S1,S2.

方案①設(shè)AE=x,則

當(dāng)且僅當(dāng)x=15時,“=”成立.

方案②設(shè)∠BAE=θ,則

θ0,π3()π3π3,π2()S'2+0-S2↗極大值↘

①

②

由① ②,得a2=2,b2=1,

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),

代入橢圓方程,得

=1,

③

因為A,B在橢圓上,所以

④

⑤

19.(1)k=0時,

即2x2+x-3≥0,

所以原不等式的解集為[1,+∞).

(2)由方程f(x)=xg(x)，得

①

x≥0,x-k+1>0.

方程① 兩邊平方,整理得

(2k-1)x2-(k2-1)x-k(k+1)2=0(x≥k).

②

Δ=(k+1)2(3k-1)2.

所以原方程有唯一的解.

[(2k-1)x+k(k+1)](x-k-1)=0,

故原方程有兩解.

而x2=k+1>k,故原方程有唯一解.

故方程② 兩實根均大于k,所以原方程有兩解.

①

②

①-②,得

(an+an-1)(an-an-1-2)=0,n≥2.

因為數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),所以an+an-1>0,n≥2，

從而an-an-1=2,n≥2,

所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

(2)(1)① 中,令n=1,得a1=1,所以

an=2n-1,Sn=n2.

③

k4q2n-2k≥n4,

④

當(dāng)n=k時,④ 恒成立；

當(dāng)n≥k+1時,④ 兩邊取自然對數(shù),整理,得

⑤

記g(t)=1-t+lnt,0

故g(t)為(0,1)上增函數(shù),所以g(t)

(2)依題意,q∈N*,

從而q∈{2,3,4}.

當(dāng)q=2時,

當(dāng)q=3時,

當(dāng)q=4時,

只能k=2,此時bn=22n-3,符合.

綜上,bn=22n-3.