黃金波， 李仲飛， 姚海祥

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院， 廣州 510320； 2. 中山大學(xué)管理學(xué)院， 廣州 510275；3. 廣東外語外貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院， 廣州 510006)

基于CVaR兩步核估計(jì)量的投資組合管理①

黃金波1， 李仲飛2*， 姚海祥3

(1. 廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院， 廣州 510320； 2. 中山大學(xué)管理學(xué)院， 廣州 510275；3. 廣東外語外貿(mào)大學(xué)金融學(xué)院， 廣州 510006)

摘要:在不做任何分布假設(shè)的條件下，利用非參數(shù)核估計(jì)方法對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(conditional value-at-risk, CVaR)進(jìn)行估計(jì)，得到CVaR的兩步核估計(jì)公式.然后用估計(jì)出來的CVaR代替理論上的CVaR建立均值-CVaR模型，實(shí)現(xiàn)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)與投資組合優(yōu)化同時(shí)進(jìn)行，并基于迭代思想設(shè)計(jì)求解該模型的簡(jiǎn)單算法.蒙特卡洛模擬結(jié)果表明基于兩步核估計(jì)方法的投資組合優(yōu)化模型和算法比現(xiàn)有的方法更加有效，估計(jì)出來的組合邊界誤差更小.引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后，文中的模型和算法同樣適用.最后，為說明其應(yīng)用價(jià)值，采用中國A股市場(chǎng)的日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)例分析.

關(guān)鍵詞:均值-CVaR模型； 兩步核估計(jì)量； 組合邊界； 中國A股市場(chǎng)

0引言

投資組合選擇的定量分析可追溯到Markowitz[1]建立的均值-方差模型，此后，均值-風(fēng)險(xiǎn)框架成為現(xiàn)代投資組合選擇理論的基本分析框架之一.用期望收益率度量投資收益已被廣泛接受，然而，以收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，則受到多方面的批評(píng).許多學(xué)者在批判方差的基礎(chǔ)上發(fā)展了多種風(fēng)險(xiǎn)度量工具，從而推動(dòng)了現(xiàn)代投資組合選擇理論的發(fā)展.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(value-at-risk，VaR)和條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值(conditionalvalue-at-risk，CVaR)風(fēng)險(xiǎn)度量正是在這個(gè)背景下被提出并很快被運(yùn)用于投資組合選擇和風(fēng)險(xiǎn)管理研究中.VaR是指給定置信水平下某一個(gè)資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在未來一定期限內(nèi)的最大可能損失[2].由于VaR不滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量理論的次可加性公理[3-4]，從而破壞投資組合理論中的風(fēng)險(xiǎn)分散化原理.另外，VaR不能對(duì)超過VaR水平的損失給出任何信息.所以在VaR基礎(chǔ)上，Rockafellar和Uryasev[5-6]給出了CVaR的概念.CVaR度量的是損失超過VaR水平的條件期望值.CVaR滿足一致性風(fēng)險(xiǎn)度量要求，彌補(bǔ)了VaR不滿足次可加性、未考慮尾部風(fēng)險(xiǎn)等缺陷.

VaR和CVaR被提出之后，對(duì)它們的研究沿著兩個(gè)方向展開，一個(gè)是VaR和CVaR估計(jì)問題的研究，另一個(gè)是基于均值-VaR和均值-CVaR模型的投資組合優(yōu)化問題研究.一直以來，這兩個(gè)方向的研究相對(duì)獨(dú)立發(fā)展.風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)問題的研究注重開發(fā)更加精確的計(jì)量模型和方法來捕捉金融市場(chǎng)的特征，進(jìn)而更加準(zhǔn)確地估計(jì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)，目前這方面的研究已相當(dāng)完備，并始終處于不斷發(fā)展中.相對(duì)而言，因VaR和CVaR的優(yōu)化問題較難處理，基于VaR和CVaR的投資組合研究大多在特定分布下進(jìn)行，這使得投資組合選擇理論的應(yīng)用受到局限.

關(guān)于均值-VaR模型和均值-CVaR模型較為成熟的研究大多在正態(tài)(或橢球)分布假設(shè)下進(jìn)行[7-8].在正態(tài)(或橢球)分布的假設(shè)下，VaR和CVaR可以表達(dá)成均值和方差的線性函數(shù)，均值-VaR模型和均值-CVaR模型退化成均值-方差模型[5]，而均值-方差模型的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟.所以，在正態(tài)(或橢球)分布假設(shè)下，VaR和CVaR與方差在風(fēng)險(xiǎn)度量方面沒有本質(zhì)區(qū)別，這將無法凸顯VaR和CVaR在風(fēng)險(xiǎn)度量方面的優(yōu)越性.另外，在實(shí)際的金融市場(chǎng)上，金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)通常表現(xiàn)出尖峰厚尾、非對(duì)稱等非正態(tài)(或橢球)分布特征，簡(jiǎn)單的正態(tài)(或橢球)分布假設(shè)將會(huì)導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)的系統(tǒng)偏差，進(jìn)而會(huì)誤導(dǎo)投資者，使得人們無法進(jìn)行有效的風(fēng)險(xiǎn)管理和組合優(yōu)化.因此，在不做任何分布設(shè)定的條件下，如何利用計(jì)量方法估計(jì)出現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中的實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)，進(jìn)而把實(shí)際風(fēng)險(xiǎn)嵌入到投資組合優(yōu)化模型中進(jìn)行投資決策是非常有意義的課題.

針對(duì)VaR和CVaR的估計(jì)問題，理論界提出了很多方法.Engle和Manganelli[9]將它們分為3大類.第1類是參數(shù)法，主要包括GARCH族模型和Copula函數(shù)法.第2類是半?yún)?shù)法，主要包括極值理論EVT(extremevaluetheory)和條件自回歸VaR.第3類是非參數(shù)法，主要包括經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)法和核估計(jì)方法.參數(shù)法與半?yún)?shù)法都假設(shè)收益率(在極值理論下是尾部收益率)服從某一事先設(shè)定的模型，然后估計(jì)出模型中的參數(shù)，進(jìn)而得到風(fēng)險(xiǎn)度量VaR和CVaR的估計(jì)值[10-11].相對(duì)于參數(shù)法與半?yún)?shù)法，非參數(shù)法不需要對(duì)收益率做任何形式的模型設(shè)定，避免人為的模型設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)估計(jì)偏差，能夠給出較為準(zhǔn)確的風(fēng)險(xiǎn)估計(jì).更重要的是，非參數(shù)核估計(jì)方法允許金融時(shí)間序列之間相互依賴[12-13]，Bellini和Figa-Talamanca[14]證實(shí)收益率序列數(shù)據(jù)顯示出非常強(qiáng)的尾部依賴，而參數(shù)法與半?yún)?shù)法對(duì)于這類相互依賴變量問題的處理較為棘手[12].

近年來，非參數(shù)核估計(jì)法因具備上述幾方面的優(yōu)勢(shì)而備受廣大學(xué)者關(guān)注.利用核估計(jì)法估計(jì)金融風(fēng)險(xiǎn)始于Gourieroux等[15]的研究，他們首次考察了VaR的核估計(jì).隨后Scaillet[16-17]把核估計(jì)法應(yīng)用到對(duì)期望損失(expectedshortfall，簡(jiǎn)稱ES)*在分布函數(shù)滿足連續(xù)性的條件下，ES與CVaR是同一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)的兩個(gè)不同稱呼.的估計(jì).Scaillet[16]提出ES的兩步核估計(jì)法，并用它來估計(jì)資產(chǎn)組合的期望損失和期望損失對(duì)組合頭寸的敏感性.Scaillet[17]研究了條件VaR和條件ES的非參數(shù)核估計(jì)，并在平穩(wěn)過程滿足強(qiáng)混合條件下，導(dǎo)出了條件ES核估計(jì)量的漸進(jìn)性質(zhì).Chen[18]同時(shí)用經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)和核平滑分布函數(shù)估計(jì)ES，得出二者在估計(jì)的方差和均方誤差方面并無明顯的差異.劉靜和楊善朝[19]放松Scaillet[16]的前提條件，在α混合序列具有冪衰減混合系數(shù)條件下，用兩步核估計(jì)法估計(jì)ES，得到了ES核估計(jì)量的Bahadur表示、均方誤差和漸近正態(tài)性的收斂速度.劉曉倩和周勇[20]比較兩步核光滑ES估計(jì)與ES完全經(jīng)驗(yàn)估計(jì)及一步核光滑估計(jì)的優(yōu)劣，得到兩步光滑化并不能減小ES估計(jì)的方差，該發(fā)現(xiàn)與Chen[18]的結(jié)論一致.由于CVaR的核估計(jì)量具有良好的連續(xù)性和光滑性，可以方便地處理投資組合優(yōu)化問題，這一優(yōu)點(diǎn)是ES完全經(jīng)驗(yàn)估計(jì)不具備的.所以，許多學(xué)者傾向于利用核估計(jì)法來研究組合的CVaR及相關(guān)優(yōu)化問題[16,21].

雖然近年來，學(xué)者對(duì)CVaR的非參數(shù)核估計(jì)法做了諸多研究，但還鮮有學(xué)者把CVaR的核估計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)優(yōu)化、投資組合選擇問題結(jié)合起來考慮.問題是不僅需要知道風(fēng)險(xiǎn)有多大，而且還要知道如何去對(duì)沖和管理風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)只是解決了前面的問題，而后面的問題往往更為重要.Yao等[21]對(duì)此做了有益嘗試，他們利用Rockafellar和Uryasev[5]給出的CVaR特殊表達(dá)式并結(jié)合非參數(shù)核估計(jì)方法，得到核估計(jì)框架下的均值-CVaR模型，并利用優(yōu)化算法求解模型得到投資組合的組合邊界.不同Yao等[21]的研究，本文直接利用兩步核估計(jì)方法對(duì)CVaR進(jìn)行估計(jì)，并將CVaR的兩步核估計(jì)式嵌入均值-CVaR模型，這樣就不需要借助于Rockafellar和Uryasev[5]的CVaR特殊形式，而且模型的自變量維數(shù)比Yao等[21]的少.本文基于迭代思想設(shè)計(jì)了簡(jiǎn)單的算法對(duì)該模型進(jìn)行求解.蒙特卡洛模擬結(jié)果顯示，在偏差意義下，基于兩步核估計(jì)方法的均值-CVaR模型和算法準(zhǔn)確有效，比現(xiàn)有方法的估計(jì)誤差小*誤差指標(biāo)的定義可見后文的式(19)..最后將模型和算法拓展到存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的情形，并將它們應(yīng)用到中國A股市場(chǎng).

1組合風(fēng)險(xiǎn)CVaR的兩步核估計(jì)

1.1非參數(shù)核估計(jì)方法基礎(chǔ)

(1)

分布函數(shù)的核估計(jì)量考慮了局部加權(quán)平均，在每個(gè)點(diǎn)處的分布函數(shù)估計(jì)值都利用了所有的樣本數(shù)據(jù)，比經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)包含了更多的樣本信息.Chen和Tang[12]得出分布函數(shù)的核估計(jì)量和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)都是真實(shí)分布函數(shù)的一致估計(jì)量，但前者的方差更小.在核估計(jì)中，核函數(shù)起到平滑的作用，由于非參數(shù)核估計(jì)結(jié)果對(duì)不同的核函數(shù)并不太敏感，所以只要滿足一定的正則性條件，核函數(shù)可由研究者根據(jù)問題的不同自由選取.如果是對(duì)單變量的密度函數(shù)或分布函數(shù)進(jìn)行估計(jì)，二階Gauss核函數(shù)能夠給出更穩(wěn)健的結(jié)果.所謂二階Gauss核函數(shù)就是g(·)取標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù).可以驗(yàn)證二階Gauss核函數(shù)滿足前面對(duì)核函數(shù)的5點(diǎn)要求.通常情況下，非參數(shù)核估計(jì)方法需要大量的觀察數(shù)據(jù)才能夠擬合得比較準(zhǔn)確，證券市場(chǎng)上大量的高頻數(shù)據(jù)可以滿足這一要求.

1.2組合風(fēng)險(xiǎn)CVaR的兩步核估計(jì)

根據(jù)VaR的定義，投資組合的VaR數(shù)學(xué)表達(dá)式為

v(x,α)∶=-inf{z:FR(z)≥α}?

FR(-v(x,α))=α

(2)

式中FR(·)為R的分布函數(shù)，設(shè)其連續(xù)可導(dǎo).

根據(jù)CVaR的定義，投資組合的CVaR數(shù)學(xué)表達(dá)式為[16]

u(x,α)∶=E[-R|-R>v(x,α)]

(3)

式中fR(·)為R的密度函數(shù)，E[·]為期望算子，邊際CVaR (marginal CVaR，MCVaR)被定義為組合CVaR對(duì)頭寸的導(dǎo)數(shù)[16]

Δxu(x,α)=E[-r|-R>v(x,α)]

(4)

其中g(shù)(·)為核函數(shù)，h為窗寬，則R的密度函數(shù)fR(z)和分布函數(shù)FR(z)的核估計(jì)量分別為

(5)

(6)

(7)

1.3組合風(fēng)險(xiǎn)CVaR的凸性

引理1[23]組合風(fēng)險(xiǎn)CVaR對(duì)組合頭寸的二階導(dǎo)數(shù)矩陣的解析式為

V[r|R=-v(x,α)]

(8)

式中p(·)為-R-v(x,α)的概率密度函數(shù)；P(·)為它的分布函數(shù)；V[·]為方差算子.

(9)

又

則其核估計(jì)公式為*這里用到非參數(shù)核估計(jì)的回歸技術(shù)，具體可見參考文獻(xiàn)[22]的第60-66頁.

(10)

由此可得二階導(dǎo)數(shù)矩陣的核估計(jì)量為

(11)

此定理的證明可參見文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[23].

2均值-CVaR模型基礎(chǔ)知識(shí)

假設(shè)存在n(n>1)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，資產(chǎn)交易無摩擦，市場(chǎng)上不存在賣空限制，投資者的財(cái)富標(biāo)準(zhǔn)化為1，其它條件同上.記e為元素全為1的n維列向量，R為投資者要求的最低期望收益率，u為投資者愿意承受的用CVaR度量的最大風(fēng)險(xiǎn)，λ為投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)，均值-CVaR最優(yōu)化模型可由以下3種方式構(gòu)建

令參數(shù)R,u,λ變動(dòng)，便產(chǎn)生了各自意義下的均值-CVaR組合邊界.Krokhmal等[24]證明在一定條件下，3種模型得到的組合邊界是等價(jià)的，所以，下文只討論模型Ψ1.

假設(shè)市場(chǎng)引入一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，rf為無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率.x=(x1,x2,…,xn)′為投資者在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上持有的頭寸，則(1-x′e)為投資者在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上持有的頭寸.投資組合的收益率R=(1-x′e)rf+x′r.根據(jù)CVaR的平移不變性[4]，存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)組合CVaR為

u(rf,x,α)=-(1-x′e)rf+u(x,α)

(12)

由此，可以建立含有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的均值-CVaR模型

2.2正態(tài)分布假設(shè)下的均值-CVaR模型與顯示解

記p=[p1,p2,…,pn]T，q=[q1,q2,…,qn]T，將脈沖控制協(xié)議式 (2) 代入系統(tǒng)式 (1) 得

在n(n>1)種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率r服從聯(lián)合正態(tài)分布N(μ,Σ)的假設(shè)下，投資組合的CVaR可表達(dá)成期望和標(biāo)準(zhǔn)差的線性組合[25]

利用均值-方差的組合邊界表達(dá)式，可以得出均值-CVaR的組合邊界表達(dá)式為[25]

(13)

其中A=e′Σ-1μ；B=μ′Σ-1μ；C=e′Σ-1e；D=BC-A2.

在引入一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，均值-CVaR的組合邊界方程為[25]

(14)

3基于CVaR兩步核估計(jì)量的均值-CVaR模型

3.1模型與求解

條件1h滿足窗寬的估計(jì)公式

設(shè)定Lagrange函數(shù)

μ2(x′e-1)

(15)

記y=(x′,μ1,μ2)′，則一階條件為

其中

(16)

Lμ2=x′e-1

(17)

其中

(18)

為了保證上面迭代算法能夠順利進(jìn)行，本文得到以下兩個(gè)定理.

?(v)為嚴(yán)格單調(diào)減函數(shù)，所以方程?(v)=α有且僅有1個(gè)解.

證畢.

定理3如果集合

B={x|x∈

3.2蒙特卡洛模擬

本節(jié)給出一些模擬算例，驗(yàn)證3.1節(jié)模型和算法的準(zhǔn)確性.假設(shè)n(n>1)種資產(chǎn)收益率向量r服從n維正態(tài)分布N(μ,Σ)，協(xié)方差陣Σ正定，則由Cholesky分解得Σ=Q′Q，Q為上三角矩陣.令r=μ+Q′ε，ε為n維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過簡(jiǎn)單推導(dǎo)可知r～ N(μ,Σ)，這樣通過ε就可以生成多維正態(tài)分布N(μ,Σ)的隨機(jī)數(shù).本文以下模擬數(shù)據(jù)都通過Cholesky分解法生成.

令μ=(1.0 1.5 2.0)′*需要說明的是，這里的數(shù)據(jù)是虛擬數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)的量綱(或單位)可以是任意的.如果是金融資產(chǎn)的收益率數(shù)據(jù)，單位為1%或1‰.，

模擬1設(shè)定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)數(shù)量n=3，資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布N(μ,Σ)，模擬過程如下.

第1步，采用Cholesky分解生成多元正態(tài)分布的樣本，取樣本容量T= 500，1 000，1 500，2 000，4 000，8 000，設(shè)定損失概率分別為1%，5%和10%.

第2步，在每個(gè)樣本容量和概率下，取30個(gè)不同的收益率Ri,i=1,2,…,30，用以下4種方法計(jì)算每個(gè)收益率對(duì)應(yīng)的最小CVaR.1)把Ri,μ,Σ代入式(13)，得到真實(shí)的最小CVaR，記為utrue；2)基于兩步核估計(jì)框架下的非參數(shù)模型和優(yōu)化算法(記為NP方法)估計(jì)出最小CVaR，記為unp,i；3)利用Yao等[21]的模型(記為YL方法)估計(jì)出最小CVaR，記為uyl,i；4)基于Rockafellar和Uryasev[5-6]的線性規(guī)劃方法(記為LP方法)，估計(jì)出最小CVaR，記為ulp,i.為比較后3種估計(jì)方法的精度，以NP方法為例，定義如下誤差指標(biāo)：絕對(duì)誤差(absolute error，Ae)和相對(duì)誤差(relative error，Re), 有

(19)

第3步，重復(fù)前面兩個(gè)步驟40次，即進(jìn)行40次蒙特卡洛模擬.然后將40次得到的誤差指標(biāo)進(jìn)行平均，得到平均絕對(duì)誤差和平均相對(duì)誤差(見表1和表2).

表1　平均絕對(duì)誤差模擬結(jié)果

從表1可以得出以下結(jié)論：1)3種估計(jì)方法的平均絕對(duì)誤差都隨著樣本容量的增加而減小，反映基于3種估計(jì)方法得到的組合邊界隨著樣本容量的增加而收斂于真實(shí)的組合邊界.基于兩步核估計(jì)方法和YL方法得到的組合邊界收斂是因?yàn)殡S機(jī)變量的分布函數(shù)的核估計(jì)量一致收斂于真實(shí)的分布函數(shù)；2)3種估計(jì)方法的平均絕對(duì)誤差都隨著損失概率的增加而減小.這是因?yàn)镃VaR度量的是損失超過VaR的期望值，各種CVaR估計(jì)方法準(zhǔn)確性受到質(zhì)疑的重要方面就是極端風(fēng)險(xiǎn)的樣本數(shù)據(jù)太少，以至不能全面反映尾部分布的特征.α值越大，α分位數(shù)以上的樣本點(diǎn)越多，從而能夠有效利用的數(shù)據(jù)信息越多，估計(jì)也更加準(zhǔn)確.另外α值越大，CVaR的絕對(duì)數(shù)值越小，從而估計(jì)的絕對(duì)誤差也越小是符合預(yù)期的；3)從3種估計(jì)方法的平均絕對(duì)誤差的大小來看.3種方法的估計(jì)精度相當(dāng)，在不同的樣本容量和損失概率下，各有優(yōu)劣.但當(dāng)損失概率較小，比如取1%，或者樣本容量較大時(shí)，LP方法失效.這是因?yàn)長P模型里有n+1+T個(gè)自變量，2個(gè)等式約束和2T個(gè)不等式約束[21]，LP模型里的自變量數(shù)和約束方程數(shù)隨樣本容量增加而增加，當(dāng)樣本容量T太大時(shí)，LP算法的收斂速度會(huì)降低甚至失效(表1和表2中，∞表示優(yōu)化算法失效).而NP方法的模型里只有n個(gè)自變量，2個(gè)等式約束，而且隨著樣本容量T增加，兩步核估計(jì)方法的估計(jì)精度越來越高.YL方法的模型里有n+1個(gè)自變量，3個(gè)等式約束[21].絕對(duì)誤差指標(biāo)沒有考慮真值的大小，CVaR的真實(shí)值越大，它的估計(jì)值與真實(shí)值之間的絕對(duì)誤差也會(huì)越大，所以剔除了這種水平效應(yīng)的相對(duì)誤差指標(biāo)更有意義.

表2　平均相對(duì)誤差模擬結(jié)果

從表2可以得出以下結(jié)論：1)同絕對(duì)誤差指標(biāo)相同，3種估計(jì)方法的平均相對(duì)誤差都隨著樣本容量的增加而減小，這說明3種估計(jì)方法滿足大樣本性質(zhì)；2)除了α=5%,T=500和α=5%，T=4 000外，NP方法的平均相對(duì)誤差都小于YL方法，說明NP方法的估計(jì)精度在大多數(shù)時(shí)候高于YL方法，這可能是因?yàn)镹P方法里的自變量和約束條件更少；3)與LP方法相比，NP方法在小概率和大樣本情況下表現(xiàn)更好，在實(shí)際的金融風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)管和金融機(jī)構(gòu)的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)算中，通常要計(jì)算小概率(小于1%)下的CVaR，所以NP方法在實(shí)際應(yīng)用中更加有效.

限于篇幅，圖1僅給出了樣本容量為4 000，損失概率為10%時(shí)某一次的模擬結(jié)果(共模擬40次)，圖上直觀地顯示：基于NP方法得到的組合邊界幾乎與真實(shí)的組合邊界重合，而基于YL方法和LP方法得到的組合邊界偏差較大.表2的數(shù)據(jù)也顯示樣本容量為4 000，損失概率為10%時(shí)，NP方法的相對(duì)誤差(0.060 9)小于YL方法(0.070 4)和LP方法(0.062 7).

圖1　3種估計(jì)方法的精度比較

模擬2假設(shè)資產(chǎn)數(shù)量n=3，資產(chǎn)收益率向量r服從3維t分布tm(μ,Σ)，其中均值μ和散度Σ取值同上，m為自由度，本例取5.設(shè)定樣本容量為8 000，損失概率為1%，t分布隨機(jī)數(shù)的生成可采用Cholesky分解法*多維t分布隨機(jī)數(shù)的生成過程可見參考文獻(xiàn)[26]..本文分別基于NP方法、YL方法和傳統(tǒng)方法(記為MN方法)估計(jì)多維t分布下的均值-CVaR曲線，并與真實(shí)的均值-CVaR曲線比較.在多維t分布的情形下CVaR可表達(dá)成均值和方差的線性函數(shù)[23]

u(x,α)=-E[R]+kασ(R)

(20)

其中

式中t1-α為自由度為m的經(jīng)典一維t分布的下1-α分位數(shù)；Γ(·)為Gama函數(shù).將式(13)中的φ(zα)/α替換成kα可得到多維t分布下真實(shí)的均值-CVaR曲線.

結(jié)果見圖2.從圖中可以得出以下結(jié)論：首先，MN方法，即傳統(tǒng)方法，是在正態(tài)分布假設(shè)下將樣本均值和樣本方差陣代入式(13)得到均值-CVaR曲線的估計(jì)，如果真實(shí)分布不是正態(tài)分布(本例中是多維t分布)，這種方法將是有偏的，圖2直觀地顯示MN方法系統(tǒng)地低估投資組合的風(fēng)險(xiǎn)；其次，對(duì)比圖1和圖2可以發(fā)現(xiàn)，在相同的均值向量、方差陣(或散度)和損失概率下，多維t分布下的極端(即小概率下)風(fēng)險(xiǎn)值要大于正態(tài)分布，即在相同收益率下，多維t分布下的有效前沿的CVaR更大.第三，NP方法和YL方法估計(jì)出來的均值-CVaR曲線與真實(shí)的均值-CVaR曲線比較接近，而NP方法的估計(jì)偏差更小一些.

圖2　多維t分布下的‘均值-CVaR’曲線估計(jì)

本節(jié)選取我國A股市場(chǎng)10只股票的日收益率數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析，它們是：萬科A、深物業(yè)A、深深寶A、云南白藥、銅陵有色、格力電器、羅牛山、承德露露、新希望和青島啤酒.數(shù)據(jù)期間為2007-01-01～2012-12-31，由于在某些交易日，有些股票由于各種原因會(huì)停盤，所以必須選出那些每只股票都有交易的交易日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，經(jīng)過刪減和匹配處理后，每只股票的可用日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)為1 278個(gè).由于日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)都很小，為了方便，把所有的日對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)都乘以100.容易算得10只股票日對(duì)數(shù)收益率的樣本均值和樣本協(xié)方差陣分別為

本文分別基于傳統(tǒng)方法(即MN方法)、NP方法、YL方法和LP方法4種估計(jì)方法得到α=5%時(shí)的組合邊界(見圖3).傳統(tǒng)方法假設(shè)這10支股票的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，而另外3種估計(jì)方法都不需要對(duì)分布進(jìn)行事前設(shè)定.在實(shí)踐中，事先并不知道這10只股票的收益率服從何種分布，從估計(jì)的結(jié)果來看，如果這10只股票的聯(lián)合分布確實(shí)服從正態(tài)分布，那么傳統(tǒng)方法與另外3種方法得到的組合邊界趨向一致，圖3并沒有顯示出這種趨勢(shì).特別是在組合邊界的下半部分，傳統(tǒng)方法估計(jì)出來的組合邊界明顯不同于其它3種估計(jì)方法得到的結(jié)果，而其它3種估計(jì)方法得到的組合邊界趨向于一致，這也就說明這10只股票的聯(lián)合分布不服從正態(tài)分布.在不服從正態(tài)分布情況下，傳統(tǒng)方法將是有偏的，它給出的組合邊界不是最有效的，也就是說它基于正態(tài)分布假設(shè)給出的CVaR估計(jì)式本身是不恰當(dāng)?shù)?，所以在?yōu)化模型里得到的最小化CVaR并不是真正的最小CVaR.

圖3　中國A股市場(chǎng)的‘均值-CVaR’曲線估計(jì)

4引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)

4.1模型與求解

4.2蒙特卡洛模擬

模擬3仿照基于均值-方差模型的資本市場(chǎng)線定義，本文把存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)均值-CVaR模型的有效邊界定義為資本市場(chǎng)線(capitalmarketline,CML).假設(shè)存在3種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和1種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率服從聯(lián)合正態(tài)分布N(μ,Σ)，μ和Σ取值同上.無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率為0.5，取樣本容量為4 000，損失概率5%.將真實(shí)參數(shù)代入式(13)和式(14)可以得到真實(shí)的組合邊界曲線和CML，基于兩步核估計(jì)框架可以得到估計(jì)出來的組合邊界曲線和CML.從模擬結(jié)果來看(見圖4)，基于兩步核估計(jì)方法得到的CML和真實(shí)CML非常接近，說明利用兩步核估計(jì)方法對(duì)CVaR進(jìn)行估計(jì)是合適的，引入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)后，本文的模型和算法也是可行且準(zhǔn)確的.

圖4　均值-CVaR’曲線和CML(α=5%)

4.3實(shí)例分析

繼續(xù)使用3.3節(jié)的10只股票作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，取無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益率為1%*由于前面10只股票的日收益率都乘以100，此處無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的日利率取為1%是合適的.，分別估計(jì)損失概率為3%和5%時(shí)的組合邊界曲線與CML.值得注意的是，與基于均值-方差模型的資本市場(chǎng)線不同，基于均值-CVaR模型的資本市場(chǎng)線不過點(diǎn)(0,rf)，而是過點(diǎn)(-rf, rf)*此時(shí)所有資產(chǎn)投在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)上，組合的收益率為rf，組合的CVaR為-rf；實(shí)際上，當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率服從聯(lián)合正態(tài)分布時(shí)，可以從式(14)直接推出這個(gè)結(jié)論.，模擬結(jié)果也證實(shí)了這一點(diǎn)，即CML與縱軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)不是1%(見圖5).另外，雖然沒有嚴(yán)格的證明，但模擬的結(jié)果顯示在各自的損失概率下，組合邊界曲線和CML相切，這一點(diǎn)說明在非正態(tài)分布情況下，CAPM依然成立.最后值得一提的是，這里的估計(jì)結(jié)果完全是利用樣本數(shù)據(jù)基于本文的兩步核估計(jì)方法建模并通過簡(jiǎn)單迭代算法計(jì)算得到，不需要任何的分布假設(shè)和參數(shù)設(shè)定，只需要一組樣本數(shù)據(jù)，前面的蒙特卡洛模擬說明這種方法是準(zhǔn)確有效的.

圖5　中國A股市場(chǎng)的‘均值-CVaR’曲線和CML估計(jì)

5結(jié)束語

一直以來，金融風(fēng)險(xiǎn)的估計(jì)和基于均值-風(fēng)險(xiǎn)模型的投資組合選擇理論相對(duì)獨(dú)立發(fā)展，本文嘗試將二者結(jié)合起來，建立一個(gè)完整框架實(shí)現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)與投資組合優(yōu)化同步進(jìn)行.近年來核估計(jì)方法因具有模型設(shè)定靈活、能夠抓住金融序列的尾部風(fēng)險(xiǎn)特征、允許數(shù)據(jù)序列相依等優(yōu)點(diǎn)，備受國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，是對(duì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行估計(jì)的理想方法.本文不需對(duì)分布函數(shù)做任何假設(shè)，也不需要知道CVaR的函數(shù)形式，直接利用核估計(jì)方法得到CVaR的兩步核估計(jì)式，進(jìn)而將CVaR的兩步核估計(jì)式嵌入均值-CVaR模型，并設(shè)計(jì)個(gè)簡(jiǎn)單算法對(duì)該模型進(jìn)行求解.蒙特卡洛模擬結(jié)果表明基于兩步核估計(jì)方法的模型和算法得到的結(jié)果同已知真實(shí)分布情況下的結(jié)果高度一致，這要?dú)w功于非參數(shù)核估計(jì)方法能夠很好地?cái)M合分布函數(shù).進(jìn)一步，基于我國A股市場(chǎng)數(shù)據(jù)的實(shí)例分析說明我國金融市場(chǎng)的收益率數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布，基于正態(tài)分布假設(shè)的投資組合選擇模型會(huì)誤導(dǎo)投資者.

當(dāng)然，如何結(jié)合風(fēng)險(xiǎn)估計(jì)和投資組合優(yōu)化是目前學(xué)者思考的前沿課題，本文的研究是初步的.下一步的研究可以沿著兩個(gè)方向進(jìn)行：1)將本文核估計(jì)框架擴(kuò)展到其它風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)，如VaR、半方差、下偏矩、絕對(duì)偏差、安全首要、EaR、CaR、WCT等；2)放松本文的假設(shè)，加入賣空限制、不同借貸利益、存在交易費(fèi)用等約束，在更加現(xiàn)實(shí)的市場(chǎng)環(huán)境下拓寬本文的研究.

參 考 文 獻(xiàn)：

[1]MarkowitzH.Portfolioselection[J].JournalofFinance, 1952, 7(1): 77-91.

[2]JorionP.ValueatRisk[M]. 2ndEdition.NewYork:McGraw-Hill, 2001.

[3]ArtznerP,DelbaenF,EberJM,etal.Thinkingcoherently[J].Risk, 1997, (10): 68-71.

[4]ArtznerP,DelbaenF,EberJM,etal.Coherentmeasuresofrisk[J].MathematicalFinance, 1999, 9(3): 203-228.

[5]RockafellarRT,UryasevS.Optimizationofconditionalvalue-at-risk[J].TheJournalofRisk, 2000, 2(3): 21-41.

[6]RockafellarRT,UryasevS.Conditionalvalue-at-riskforgenerallossdistributions[J].JournalofBankingandFinance, 2002, 26(7): 1443-1471.

[7]AlexanderG,BaptistaA.Economicimplicationsofusingamean-varmodelforportfolioselection:Acomparisonwithmean-varianceanalysis[J].JournalofEconomicDynamicsandControl, 2002, 26 (7/8): 1159-1193.

[8]姚京, 李仲飛. 基于VaR的金融資產(chǎn)配置模型[J]. 中國管理科學(xué), 2004, 12(1): 8-14.

YaoJing,LiZhongfei.TheassetallocationmodelbasedonVaR[J].ChineseJournalofManagementScience, 2004, 12(1): 8-14. (inChinese)

[9]EngleRF,ManganelliS.CAViaR:Conditionalautoregressivevalueatriskbyregressionquantiles[J].JournalofBusiness&EconomicsStatistics, 2004, 22 (4): 367-381.

[10]林宇, 黃登仕, 魏宇. 胖尾分布及長記憶下的動(dòng)態(tài)EVT-VaR測(cè)度研究[J]. 管理科學(xué)學(xué)報(bào), 2011, 14(7): 71-82.

LinYu,HuangDengshi,WeiYu.StudyonfinancialmarketsdynamicEVT-VaRmeasuringbasedonfated-taildistributionandlongmemoryvolatility[J].JournalofManagementSciencesinChina, 2011, 14(7): 71-82. (inChinese)

[11]葉五一, 繆柏其. 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)與日內(nèi)價(jià)差條件下的CVaR估計(jì)[J]. 管理科學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 15(8): 60-71.

YeWuyi,MiaoBaiqi.EstimatingofCVaRwithconsiderationofrealizedvolatilityandpricerange[J].JournalofManagementSciencesinChina, 2012, 15(8): 60-71. (inChinese)

[12]ChenSX,TangCY.Nonparametricinferenceofvalue-atriskfordependentfinancialreturns[J].JournalofFinancialEconometrics, 2005, 3(2): 227-255.

[13]趙曉玲, 陳雪蓉, 周勇. 金融風(fēng)暴中基于非參估計(jì)VaR和ES方法的風(fēng)險(xiǎn)度量[J]. 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理, 2012, 31(3): 381-383.

ZhaoXiaoling,ChenXuerong,ZhouYong.RiskmeasurebasedonnonparametricestimateofVaRandESinfinancialcrisis[J].JournalofAppliedStatisticsandManagement, 2012, 31(3): 381-383. (inChinese)

[14]BelliniF,Figa-TalamancaG.Detectingandmodelingtaildependence[J].InternationalJournalofTheoreticalandAppliedFinance, 2004, 7(3): 269-287.

[15]GourierouxC,LaurentJP,ScailletO.Sensitivityanalysisofvaluesatrisk[J].JournalofEmpiricalFinance, 2000, (7): 225-245.

[16]ScailletO.Nonparametricestimationandsensitivityanalysisofexpectedshortfall[J].MathematicalFinance, 2004, 14(1): 115-129.

[17]ScailletO.Nonparametricestimationofconditionalexpectedshortfall[J].InsuranceandRiskManagementJournal, 2005, (74): 639-660.

[18]ChenSX.Nonparametricestimationofexpectedshortfall[J].JournalofFinancialEconometrics, 2008, 6(1): 87-107.

[19]劉靜, 楊善朝. 風(fēng)險(xiǎn)度量ES的非參數(shù)估計(jì)[J]. 工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 26(4): 577-585.

LiuJing,YangShanchao.Nonparametricestimationofexpectedshortfall[J].ChineseJournalofEngineeringMathematics, 2009, 26(4): 577-585. (inChinese)

[20]劉曉倩, 周勇. 金融風(fēng)險(xiǎn)管理中ES度量的非參數(shù)方法的比較及其應(yīng)用[J]. 系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐, 2011, 31(4): 631-642.

LiuXiaoqian,ZhouYong.NonparametricestimationandcomparativeanalysisofESinriskmeasurewithapplications[J].SystemsEngineering-Theory&Practice, 2011, 31(4): 631-642. (inChinese)

[21]YaoHX,LiZF,LaiYZ.Mean-CVaRportfolioselection:Anonparametricestimationframework[J].Computers&OperationsResearch, 2013, 40(4): 1014-1022.

[22]LiQ,RacineJS.NonparametricEconometrics:TheoryandPractice[M].Princeton:PrincetonUniversityPress, 2007.

[23]劉小茂, 李楚霖. 資產(chǎn)組合的CVaR風(fēng)險(xiǎn)的敏感度分析[J]. 數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào), 2004, 24A(4): 442-448.

LiuXiaomao,LiChulin.Sensitivityanalysisofconditionalvalueatrisk[J].ActaMathematicaScientia, 2004, 24A(4): 442-448.(inChinese)

[24]KrokhmalP,PalmquistJ,UryasevS.Portfoliooptimizationwithconditionalvalue-at-riskobjectiveandconstraints[J].JournalofRisk, 2002, 4(4): 43-68.

[25]劉小茂, 李楚霖, 王建華. 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的均值-CVaR有效前沿(II)[J]. 管理工程學(xué)報(bào), 2005, 19(1): 1-5.

LiuXiaomao,LiChulin,WangJianhua.Mean-CVaRefficientfrontieranditseconomicimplications(II)[J].JournalofIndustrialEngineering/EngineeringManagement, 2005, 19(1): 1-5. (inChinese)

[26]CuiXT,ZhuSS,SunXL,etal.NonlinearportfolioselectionusingapproximateparametricValue-at-Risk[J].JournalofBanking&Finance, 2013, 37(6): 2124-2139.

Investmentportfoliomanagementbasedonthetwo-stepkernelestimatorofCVaR

HUANG Jin-bo1, LI Zhong-fei2*, YAO Hai-xiang3

1.SchoolofFinance,GuangdongUniversityofFinance&Economics,Guangzhou510320,China;2.SunYat-SenBusinessSchool,SunYat-SenUniverstiy,Guangzhou510275,China;3.SchoolofFinance,GuangdongUniversityofForeignStudies,Guangzhou510006,China

Abstract:The paper first applies nonparametric kernel estimation method to estimating CVaR which is currently a popular risk measurement tool, then derives a two-step kernel estimator of CVaR with distribution-free specification. Next, a two-step kernel estimator of CVaR is embed into the mean-CVaR portfolio optimization models to derive financial risk estimation and portfolio optimization at the same time. A simple iterative algorithm is designed to solve these models. Monte Carlo simulation result shows that the portfolio optimization models and the algorithm based on the two-step kernel estimator of CVaR is feasible and effective, and that the estimated error of portfolio frontier is very small. The models and algorithm above apply to a risk-free security. Finally, an empirical analysis of daily return data from Chinese A-stock market is presented to illustrate the application of this research.

Key words:mean-CVaR model; two-step kernel estimator; portfolio frontier; Chinese A-stock market

收稿日期：① 2013-08-17；

修訂日期：2014-03-24.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(71231008)； 國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71471045)； 中國博士后科學(xué)基金特別資助項(xiàng)目(2015T80896)； 中國博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2014M562246; 2014M560658)； 全國統(tǒng)計(jì)科學(xué)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(2013LY101)； 廣東省自然科學(xué)基金研究團(tuán)隊(duì)資助項(xiàng)目(2014A030312003)； 廣東省高等學(xué)校高層次人才資助項(xiàng)目； 廣東省高等院?？萍紕?chuàng)新資助項(xiàng)目(2012KJCX0050)； 廣東省普通高校特色創(chuàng)新資助項(xiàng)目(人文社科類)； 廣州市哲學(xué)社會(huì)科學(xué)規(guī)劃資助項(xiàng)目(14G42).

通信作者：李仲飛(1963—)， 男， 內(nèi)蒙古鄂爾多斯人， 博士， 教授， 博士生導(dǎo)師. Email: lnslzf@mail.sysu.edu.cn

中圖分類號(hào):F830.9; O212.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

文章編號(hào):1007-9807(2016)05-0114-13