【摘要】數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)基本活動的“過程”與“對象”的有機統(tǒng)一，是數(shù)學(xué)思維模式與認知方式的綜合習(xí)得，數(shù)學(xué)直覺為其最高表現(xiàn)層次。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的本原與根基。問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)活動教學(xué)能有效促進學(xué)生獲得生動且深刻的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗。

【關(guān)鍵詞】經(jīng)驗；數(shù)學(xué)基本活動；數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；問題驅(qū)動

【中圖分類號】G623.5 【文獻標(biāo)志碼】A 【文章編號】1005-6009（2016）21-0032-03

【作者簡介】陸曉林，江蘇省海安縣實驗小學(xué)（江蘇海安，226600），高級教師，南通市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人。

不同學(xué)科在學(xué)生核心素養(yǎng)的涵育中具有獨特且不可替代的功能和價值。鄭毓信教授認為，學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的著力點是通過數(shù)學(xué)學(xué)會思維，尤其是創(chuàng)造性思維。創(chuàng)造的心理本質(zhì)是基于問題解決活動經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的直覺、靈感與頓悟，因此，基本活動經(jīng)驗成為數(shù)學(xué)課程的直接目標(biāo)是課改的必然要求。

一、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗內(nèi)涵再探：數(shù)學(xué)基本活動“過程”與“對象”的有機統(tǒng)一

1.什么是經(jīng)驗？

對“經(jīng)驗”一詞常見的理解主要有三：一是經(jīng)歷、體驗；二是泛指由實踐得來的知識、技能或由歷史證明了的結(jié)論；三是指感性認識。在教育哲學(xué)領(lǐng)域，美國教育家杜威認為，經(jīng)驗包括經(jīng)驗的事物和經(jīng)驗的過程，是活動的過程和結(jié)果，也是課程與教學(xué)的基礎(chǔ)構(gòu)件。

經(jīng)驗不同于知識，知識是經(jīng)驗的結(jié)晶，經(jīng)驗是知識的源泉。經(jīng)驗也不同于技能與能力，技能與能力有強弱和不同方面的表現(xiàn)，直接影響活動的效率，通過訓(xùn)練獲得，經(jīng)驗更為綜合、內(nèi)隱，是個性化的感悟，難以說明其強弱或有無。從廣義上講，經(jīng)驗是人們在實踐中形成的一種過程性知識與活動圖式，是行事方式與思維模式的綜合、個性化、原生態(tài)的內(nèi)部習(xí)得。普遍認為，經(jīng)驗由知識的、技能的、情感的和觀念的四種成分構(gòu)成，如同一個完美的四面體，四種成分是其不同的側(cè)面，相輔相成，相生相融。

2.什么是數(shù)學(xué)基本活動？

數(shù)學(xué)活動在歷史上有兩條不同的路徑：一是以中國古代數(shù)學(xué)為代表的歸納體系，重視經(jīng)驗性算法；二是以古希臘數(shù)學(xué)為代表的演繹體系，強調(diào)形式化證明。美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“數(shù)學(xué)具有兩個面……以歐幾里得方式表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在形成過程中的數(shù)學(xué)看上去是一種實驗性的歸納科學(xué)。”最基本、最核心的數(shù)學(xué)活動是以經(jīng)驗為特征的歸納發(fā)現(xiàn)活動和以邏輯為特征的演繹論證活動，數(shù)學(xué)歸納活動與數(shù)學(xué)演繹活動應(yīng)稱為“數(shù)學(xué)基本活動”。

依據(jù)新課標(biāo)提出的“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗需要在‘做的過程和‘思考的過程中積淀”和十個核心概念，教學(xué)實踐層面的數(shù)學(xué)基本活動及經(jīng)驗可以具體化為三類：一是“做數(shù)學(xué)”的“操作—探究”類活動，獲得的是直接的實踐經(jīng)驗；二是“想數(shù)學(xué)”的“思辨—建構(gòu)”類活動，獲得的是間接的思維經(jīng)驗；三是“用數(shù)學(xué)”的“情境—問題”類活動，獲得的是兼顧直接與間接的復(fù)合經(jīng)驗。

3.什么是數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗？

從哲學(xué)的視角看，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)基本活動“過程”（經(jīng)歷活動的所有程序和階段）與“對象”（在活動過程中形成的感性認識、情緒體驗、思維方法、應(yīng)用意識等）的有機統(tǒng)一，體現(xiàn)了活動過程、情緒體驗與思維經(jīng)歷的完整性和自然性。過程是第一性的，是經(jīng)驗的物質(zhì)所在；對象是第二性的，是經(jīng)驗的精神存在。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是學(xué)習(xí)者參與數(shù)學(xué)基本活動過程（經(jīng)歷歸納與演繹的完整過程）形成的過程性知識與活動圖式，是生成積淀的數(shù)學(xué)思維模式和認知方式的綜合。

完整的數(shù)學(xué)基本活動始于數(shù)學(xué)歸納、完善于數(shù)學(xué)演繹，以直觀的操作探究性活動和特例的觀察、分析與聯(lián)想為起始，通過算法化與形式化的過程逐步涵育思維模式，進而形成個性化的數(shù)學(xué)直覺。即數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗可分為三個層次：底層是直觀活動和特例觀察的經(jīng)驗，中間層是算法化與形式化的經(jīng)驗，最高層是數(shù)學(xué)直覺。

二、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗價值再思：數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“營養(yǎng)基”

1.從“事實性課程”到“實踐性課程”的必然選擇。

過去，數(shù)學(xué)課程一味追求知識的系統(tǒng)性、邏輯性、抽象性，注重知識傳遞，課程即知識，課程即教材，學(xué)生缺乏再創(chuàng)造的數(shù)學(xué)化經(jīng)驗，好奇心、判斷力、創(chuàng)造力等被缺席。事實上，數(shù)學(xué)的產(chǎn)生、發(fā)展并不是嚴(yán)格按照邏輯逐步推演出來的，邏輯只是數(shù)學(xué)生長、發(fā)展過程中“體檢”“保健”與“治療”的手段，問題與經(jīng)驗才是數(shù)學(xué)繁衍、發(fā)育、成長的“一日三餐”，在與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題中，直覺比嚴(yán)密的邏輯過程起著更為重要的作用。數(shù)學(xué)是可誤、可糾正、動態(tài)發(fā)展的，是學(xué)生在活動中“生產(chǎn)”出的若干經(jīng)驗之間的意義、關(guān)系與過程。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗成為課程目標(biāo)，是數(shù)學(xué)課程由“事實”（數(shù)學(xué)概念、定理、法則等知識）堆積到“實踐”（操作、探究、實驗或經(jīng)歷、體驗數(shù)學(xué)化與形式化的過程等數(shù)學(xué)活動）存在的必然選擇。

創(chuàng)新意識與能力是核心素養(yǎng)的構(gòu)成與表征，數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程是高度聚焦某個數(shù)學(xué)問題產(chǎn)生的直覺與頓悟，依賴于長期的基本活動經(jīng)驗積累。數(shù)學(xué)的實踐性決定了基本活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)核心知識、創(chuàng)造性思維、基本思想方法和積極情感態(tài)度形成、發(fā)展的基礎(chǔ)，可稱為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“營養(yǎng)基”。

2.從“以知識為目的”到“以兒童為目的”的本原回歸。

靜態(tài)數(shù)學(xué)觀下的數(shù)學(xué)是一門純粹的演繹科學(xué)，課程只是預(yù)設(shè)的學(xué)習(xí)“跑道”。以知識為目的的數(shù)學(xué)教育，課程是中心，課中無“人”，輕視個人體驗，漠視甚至反對主觀知識。新課標(biāo)把基本活動經(jīng)驗作為學(xué)生必須獲得的發(fā)展基礎(chǔ)之一，提倡“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，是對主體經(jīng)驗及經(jīng)驗價值的認可，是課程以兒童為目的的本原回歸。要獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，必須回到數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的初始樣態(tài)，讓學(xué)生在再創(chuàng)造的過程中收獲“經(jīng)驗的數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)的經(jīng)驗”。關(guān)注基本活動經(jīng)驗，本質(zhì)是關(guān)注兒童生命發(fā)展的狀態(tài)。課程只有聚焦于兒童與兒童經(jīng)驗才有意義，因為只有在經(jīng)驗中，任何理論才具有活力和證實的意義。

三、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗教學(xué)策略再尋：問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)活動教學(xué)

德國數(shù)學(xué)家希爾伯特說：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題的缺乏則預(yù)示著這門科學(xué)獨立發(fā)展的衰亡或終止……數(shù)學(xué)這門科學(xué)究竟以什么作為其問題的源泉呢？在每個數(shù)學(xué)分支中，那些最初、最古老的問題肯定是起源于經(jīng)驗?！碧K聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認為：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)……提高學(xué)生數(shù)學(xué)活動能力的最有效的方法是‘通過問題教學(xué)?！笨梢姡瑪?shù)學(xué)研究、發(fā)展與學(xué)習(xí)以問題為動力和核心，問題來自經(jīng)驗，也是數(shù)學(xué)活動教學(xué)的關(guān)鍵所在。圍繞讓學(xué)生獲得生動且深刻的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗與良好的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)，我們提出了問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)活動教學(xué)的基本策略。

1.課堂結(jié)構(gòu)板塊化：聚焦核心知識整體性經(jīng)驗的生成與結(jié)晶。

課堂結(jié)構(gòu)板塊化，即課堂數(shù)學(xué)活動呈現(xiàn)以核心知識（核心知識通常用突出關(guān)鍵內(nèi)容與知識本質(zhì)、彰顯基本思想與方法、反映主要聯(lián)系的本原性問題來表征）為中心、板塊的組織形態(tài)具有開放性、多維性、多向鏈接性，板塊的劃分與安排要基本遵循數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、教材結(jié)構(gòu)、學(xué)生認知與能力結(jié)構(gòu)動態(tài)統(tǒng)一的原則，其中每個板塊又可以根據(jù)需要以衍生知識點為次級中心，形成多層次、蛛網(wǎng)式的板塊結(jié)構(gòu)。

以蘇教版二下《認識角》一課為例。全課圍繞“角是什么樣的圖形”這一本原問題，安排了三個板塊（如圖1），對核心知識的探究各有指向，讓學(xué)生從角的外顯特征（不封閉）、角的靜態(tài)描述（從一點引出兩條射線）、角的動態(tài)刻畫（一條射線繞端點旋轉(zhuǎn)而成）三個層面豐富體驗、積累經(jīng)驗、深化認知，逐步貼近角的數(shù)學(xué)本質(zhì)。板塊間也是相互聯(lián)系與驗證的，角的外顯特征是由邊的特性、數(shù)量所決定的，靜態(tài)意義與動態(tài)意義只是研究視角不同，能為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)、深入研究角的知識儲備較完整且貼近本質(zhì)意義的形式化“前經(jīng)驗”。板塊化的教學(xué)更整體、更上位，更大的思考與探究空間有利于積淀豐富鮮活、生長力強、聚焦核心知識的活動經(jīng)驗。

2.板塊設(shè)計活動化：關(guān)注“再創(chuàng)造”的數(shù)學(xué)化經(jīng)驗與基本思想的持續(xù)沉積。

課程內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學(xué)思想方法，過程與結(jié)果、經(jīng)驗生成與思想積淀的有機融合必須依附于數(shù)學(xué)活動的有效組織與教學(xué)。數(shù)學(xué)活動是一個組織經(jīng)驗領(lǐng)域的活動，學(xué)習(xí)的過程必須含有直接創(chuàng)造的側(cè)面，用“發(fā)生的方法”來教數(shù)學(xué)，抓住數(shù)學(xué)實踐性的本質(zhì)，突出再創(chuàng)造的數(shù)學(xué)化過程，持續(xù)滲透歸納、演繹的基本思想。

以蘇教版二上《認識厘米》一課的教學(xué)為例。一是討論辨析活動：為什么要有長度單位？創(chuàng)設(shè)沖突情境，引導(dǎo)學(xué)生體會度量標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一的必要性。二是體驗建構(gòu)活動：1厘米有多長？引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、比劃、試畫、尋找1厘米建立概念表象。三是操作探究活動：直尺是怎么創(chuàng)造出來的？引導(dǎo)學(xué)生用1厘米小棒首尾相連粘貼成“小棒尺”，復(fù)演直尺的創(chuàng)造過程。四是應(yīng)用實踐活動：直尺怎么使用？引導(dǎo)學(xué)生用直尺測量和畫線段，內(nèi)化度量的技能。教學(xué)著力于復(fù)演前人為什么要創(chuàng)造和怎樣創(chuàng)造直尺的活動，學(xué)生能直觀地“看見”并“做出”數(shù)學(xué)本身，教學(xué)的過程與結(jié)果真正實現(xiàn)了統(tǒng)一。

3.活動教學(xué)問題化：涵育積極的問題意識與求

知態(tài)度。

以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的一條基本原則。問題既能反映數(shù)學(xué)知識的組織結(jié)構(gòu)，也能引領(lǐng)、驅(qū)動學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動。問題從何而來？一是學(xué)生提出的觸及內(nèi)容本質(zhì)的本原性問題；二是教師預(yù)設(shè)的反映課程內(nèi)容的關(guān)鍵性問題。教師應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)問意識和質(zhì)疑能力，以學(xué)生問題為起點，以教師問題為引導(dǎo)，以學(xué)科本原性問題為目標(biāo)，在這樣的教學(xué)中，學(xué)生興趣度高，探究主動性強，體驗會更深刻，生成積淀更豐富，創(chuàng)造性也最活躍。

以蘇教版五下《圓的認識》一課的教學(xué)為例。在學(xué)生提出想要探究的問題后，師生共同梳理，明確本課的本原性問題：圓有什么基本特征？帶著這一問題，學(xué)生思考三個不同的問題并動手操作：怎樣才能畫出圓？怎樣畫更大的圓？利用有彈性的橡皮筋能畫出圓嗎？先讓學(xué)生學(xué)會畫圓技能，種植直接經(jīng)驗；再使學(xué)生明白“半徑?jīng)Q定大小”，生長間接經(jīng)驗；最后直抵知識的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)“一中同長”是圓的本質(zhì)特征。

綜上所述，板塊化的設(shè)計更顯數(shù)學(xué)活動的簡約，問題驅(qū)動的策略、再創(chuàng)造的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式能使學(xué)生生成的經(jīng)驗更加豐富、生動且深刻。教師應(yīng)堅持把核心知識、創(chuàng)造性思維、基本思想方法、積極的問題意識和求知態(tài)度根植于數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，如此，學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的生長與發(fā)展將會更加枝繁葉茂。

【參考文獻】

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[3]約翰·杜威.民主主義與教育[M].王承旭，譯.北京：人民教育出版社，2001.

[4]希爾伯特.數(shù)學(xué)問題[M].李文林，袁向東，譯.大連：大連理工大學(xué)出版社，2009.

[5]A.A.斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].丁爾陞，等，譯.北京：人民教育出版社，1984.

[6]曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.