姚廷富,施妮沙,吳宗顯,戴先勝

(1.貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng)　550005;2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng)　550001)

一類無(wú)限維Cartan型Lie代數(shù)的Witt子代數(shù)與模

姚廷富1,施妮沙1,吳宗顯1,戴先勝2*

(1.貴陽(yáng)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng)550005;2.貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng)550001)

摘要：主要討論了與Witt代數(shù)相關(guān)的一類無(wú)限維Cartan型Lie代數(shù)G的結(jié)構(gòu)，同時(shí)通過(guò)構(gòu)造法給出它的一類Witt子代數(shù)與一類模。

關(guān)鍵詞：無(wú)限維李代數(shù)；Witt子代數(shù)；模

0引言

Lie代數(shù)相關(guān)理論源于對(duì)李群的探討與研究，目前已經(jīng)成為代數(shù)學(xué)及其相關(guān)研究方向的一個(gè)主要內(nèi)容.Witt代數(shù)是一類重要的無(wú)限維的Lie代數(shù)，Lie代數(shù)的一些相關(guān)基本知識(shí)見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。研究一個(gè)Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其子代數(shù)，討論其表示即模，是Lie代數(shù)的主要研究課題，非常有意義。文獻(xiàn)[2]研究了廣義Witt代數(shù)V=L(dα;α∈Q)的子結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[3]研究與W代數(shù)相關(guān)聯(lián)的幾類無(wú)限維Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示。本文討論了與Witt代數(shù)相關(guān)的一類無(wú)限維Cartan型Lie代數(shù)G的結(jié)構(gòu)，同時(shí)給出它的一類Witt子代數(shù)與一類模，本文的結(jié)果對(duì)豐富無(wú)限維Lie代數(shù)及其表示理論具有重要意義,而且為研究無(wú)限維Lie代數(shù)G的子代數(shù)的性質(zhì)以及模的性質(zhì)奠定了一定的基礎(chǔ)。

1基本知識(shí)

定義1.1[1]設(shè)L為域F上的向量空間，具有括積運(yùn)算L×L→L,記為(x,y)|→[x,y],如果以下條件(L1)(L2)(L3)被滿足，則稱L為域F上的Lie代數(shù)。

(L1)括積運(yùn)算是雙線性的；

(L2)[x,x]=0(?x∈L);

(L3)[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0(?x,y,z∈L)。(L3)稱為Jacobi等式.

定義1.2[1]設(shè)L為域F上的Lie代數(shù),V為域F上的向量空間,V被賦予一個(gè)運(yùn)算L×V→V(記為(x,v)|→x·v)后，如果以下條件(M1)(M2)(M3)成立，則V被稱為域F上的一個(gè)L-模。

(M1)(ax+by)·v=a(x·v)+b(y·v);

(M2)x·(av+bw)=a(x·v)+b(x·w);

(?x,y∈L；?v,w∈V；?a,b∈F)。

2Lie代數(shù)(G，[,])的Witt子代數(shù)

2.1Lie代數(shù)(G，[,])的結(jié)構(gòu)

顯然G成為一個(gè)線性空間。

定理2.1設(shè)G為定義2.1所述，括積運(yùn)算如下，

事實(shí)上，

2.2Lie代數(shù)(G，[,])的Witt子代數(shù)

于是

=(k-m)Lk+m∈L。

[Lk，Lm]=(k-m)Lk+m

具有Witt代數(shù)括積運(yùn)算特征，因此L=(L，[，])成為上的Lie代數(shù)(G，[，])的Witt子代數(shù).證畢.

3Lie代數(shù)(G，[,])的模

則V必定一個(gè)G-模。

=αg·vk+βh·vk。

2)g·(αvk+βvt)=αg·vk+βg·vk顯然成立，因?yàn)镚,V均為線性空間。

3)需要證[g,h]·vk=g·h·vk-h·g·vk成立。事實(shí)上，

右邊=g·h·vk-h·g·vk

經(jīng)計(jì)算得，

所以右邊=

故左邊=右邊。證畢。

參考文獻(xiàn)：

[1] 蘇育才,盧才輝,催一敏.有限維半單李代數(shù)簡(jiǎn)明教程[M].北京：科學(xué)出版社，2008.

[2] 周敏，王憲棟，張燕燕.一類無(wú)限維李代數(shù)的子結(jié)構(gòu)和性質(zhì)[J].青島大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2013，26(4):32-35.

[3] 姚廷富，于亞峰，辛斌.非有限階化無(wú)中心的超Virasoro代數(shù)[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010，28(1)：100-103.

[4]YANGHY,YUYF,YAOTF.DerivationalgebraandautomorphismgroupofgeneralizedtopologicalN =2superconformalalgebra[J].FrontMathChina,2013,8(4):973-986.

[5]YANGHY,YAOTF,YUYF.LieSuper-bialgebraStructuresonGeneralizedRamondN =2Super-VirasoroAlgebras[J].AlgebraColloquium,2013,20(2)：269-284.

[6] 戴先勝，辛斌.與Virasoro代數(shù)密切相關(guān)的非有限分次李代數(shù)的導(dǎo)子[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2011,29(4)50-53.

[7]SUYC.SimplemodulesoverthehighrankVirasoroalgebras[J].JCommAlgebra,2001,29:2067-2080.

[8]SUYC，XIAOQY.Classificationof2-gradedmodulesofintermediateseriesoveraBlock-typeLiealgebra[J].CommunicationsinContemporaryMathematics,2015,17(5):20-34.

Witt sub-algebras and modules of a class infinite dimensional Cartan type Lie algebras

YAO Tingfu1，SHI Nisha1，WU Zongxian1，DAI Xiansheng2*

(1.College of Mathematics and Information Science, Guiyang University, Guiyang ,Guizhou 550005;2.College of Mathematics and Computer Science, Guizhou Normal University, Guiyang ,Guizhou 550001)

Abstract:In this paper,the structures of a class infinite dimensional Cartan type Lie algebra relate to Witt algebra are mainly discussed. In accordance with structured approach,it given a class Witt sub-algebra and some modules of the Lie algebra.

Key words:infinite dimensional Lie Algebra;Witt sub-algebra;module

文章編號(hào)：1004—5570(2016)02-0064-04

收稿日期：2016-02-20

基金項(xiàng)目：貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目(黔科合J字LKG[2013]31號(hào)；黔科合J字LKG[2013]30號(hào))；貴陽(yáng)學(xué)院重點(diǎn)課程建設(shè)項(xiàng)目(離散數(shù)學(xué))；貴陽(yáng)學(xué)院教學(xué)團(tuán)隊(duì)建設(shè)項(xiàng)目(數(shù)學(xué)建模教學(xué)團(tuán)隊(duì)；應(yīng)用數(shù)學(xué)教學(xué)團(tuán)隊(duì))

作者簡(jiǎn)介：姚廷富(1984-)，男，講師、碩士，研究方向：李代數(shù)及其表示，數(shù)據(jù)分析，E-mail:ytfwdm520@163.com. *通訊作者：戴先勝(1977-)，男,講師、在讀博士，研究方向：李理論，E-mail:daisheng158@126.com.

中圖分類號(hào)：O152.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A