◇張 丹

與學(xué)生一起思考
——『身高的變化』教學(xué)思考與實踐

◇張 丹

在廈門首次上公開課，我最大的感受是幸福——與學(xué)生一起思考、交流的幸福。在課堂中，我和學(xué)生一起交流能從數(shù)據(jù)中獲得什么、數(shù)據(jù)能夠幫助我們解決什么問題；在課前和課后，我不斷思考著這節(jié)課最想讓學(xué)生獲得的是什么，教師的教學(xué)能否真正順應(yīng)學(xué)生的思維……不斷思考和實踐也許是教師成長的最有效途徑之一，也是教師最大的快樂。

一 課前思考

課前，我思考的最主要的問題是，通過這節(jié)課學(xué)生到底能夠獲得什么？面對“身高的變化”這一課題，運用折線統(tǒng)計圖來描述變化對于六年級的學(xué)生來說并不困難。在對某一班級的前測中，我發(fā)現(xiàn)全班100%的學(xué)生都能正確畫圖，并從圖中獲得基本的信息。那么，學(xué)生還能進一步獲得什么呢？

1.在運用數(shù)據(jù)進行合理推斷中發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念。

無疑，首先是數(shù)據(jù)分析觀念，這也是本次會議的主題。在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）中提到的數(shù)據(jù)分析觀念的第一條是：“了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析作出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息?！贝_實，數(shù)據(jù)中是蘊涵著信息的，而信息是能夠幫助人們進行決策和推斷的。學(xué)生能夠利用這些數(shù)據(jù)進行合理的推斷，成為本節(jié)課的首要目標。

國外文獻中比較重視對“非正式統(tǒng)計推斷”的研究，并認為非正式推斷的教學(xué)目的并不主要是為學(xué)生將來學(xué)習(xí)正式統(tǒng)計推斷打基礎(chǔ)，而是加深學(xué)生對統(tǒng)計目的的理解，促使學(xué)生更一般地對數(shù)據(jù)進行使用，體會統(tǒng)計的價值。進一步，以下三個重要的原則對非正式統(tǒng)計推斷是重要的：（1）歸納，也就是要得到給定數(shù)據(jù)之外的預(yù)測；（2）以數(shù)據(jù)作為歸納的證據(jù)；（3）在描述結(jié)論時使用概率的語言，包括對所得出結(jié)論非正式地給出參考的確定性水平。在小學(xué)階段，能夠根據(jù)數(shù)據(jù)給出合理的預(yù)測無疑是最為重要的。所以，鼓勵學(xué)生能夠根據(jù)小婷0～12歲的身高去合理地預(yù)測她14歲時的身高，成為本節(jié)課的核心活動之一。

這里需要注意兩點。第一，預(yù)測需要基于數(shù)據(jù)。對于脫離數(shù)據(jù)進行預(yù)測的學(xué)生，要引導(dǎo)他用數(shù)據(jù)說話，雖然這個預(yù)測也有可能，但可能性不大。第二，為了更合理地預(yù)測，我們需要收集更多的數(shù)據(jù)。教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考：大家的預(yù)測都有道理，但是要更加合理地預(yù)測，我們還可以收集哪些信息呢？比如，可以收集曾經(jīng)和小婷差不多情況的人14歲時的身高來幫助預(yù)測；或者把小婷與當(dāng)?shù)嘏骄砀哌M行對比，看看她12歲與平均身高的對比情況，由此預(yù)測她14歲與平均身高的對比情況。當(dāng)然，無論哪種預(yù)測都不能肯定是正確的，但會比單純依靠小婷以前的情況進行預(yù)測更合理。進一步，如果條件允許的話，還可以鼓勵學(xué)生去做一做數(shù)據(jù)調(diào)查。

2.順應(yīng)學(xué)生提出的問題開展學(xué)習(xí)。

其實，還有一個重要的內(nèi)容是我一直堅持的，就是讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題不僅僅是《標準》所特別強調(diào)的，而且在不斷地交流數(shù)據(jù)能夠幫助我們解決什么問題的過程中，學(xué)生也會不斷體會數(shù)據(jù)的作用。一旦鼓勵學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題，教師就面臨著兩個“難題”。

第一，學(xué)生提不出問題，或者提出的問題比較“簡單”，怎么辦？在肯定和鼓勵的基礎(chǔ)上，教師還能做些什么？在本節(jié)課中，我選擇了鼓勵學(xué)生通過聯(lián)想來發(fā)現(xiàn)和提出問題。

第二，如果學(xué)生提出的問題與預(yù)設(shè)的問題不一致，怎么辦？我想，要盡力順應(yīng)學(xué)生的思維。如果學(xué)生提出的問題的順序與預(yù)設(shè)的不一致，那就按照學(xué)生提出的問題的順序展開教學(xué)；如果學(xué)生提出的問題預(yù)設(shè)中沒有，在可能的情況下要對這些問題進行討論；如果學(xué)生提出的問題暫時無法或者沒有條件解決，也要給予說明，鼓勵學(xué)生繼續(xù)思考下去。在北京的一次教學(xué)結(jié)束后，我請同學(xué)們寫下對這節(jié)課的感受，不少同學(xué)都表達了類似的感受：“以一種讓我們提出問題的方式來教學(xué)，我非常喜歡”“我喜歡這種方式，因為由我們的問題引入主題，更能引發(fā)大家直觀的思考”。學(xué)生的話語鼓勵了我，堅定了我順應(yīng)學(xué)生提出的問題開展教學(xué)的決心。于是，引導(dǎo)學(xué)生在具體情境中，聯(lián)想生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)和提出問題，成為這節(jié)課的另一個教學(xué)目標。

當(dāng)然，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的過程中，學(xué)生將進一步鞏固所學(xué)的統(tǒng)計知識和方法，如運用折線統(tǒng)計圖描述變化趨勢，也是教學(xué)目標之一。但由于六年級學(xué)生在前面的學(xué)習(xí)中已具備這樣的基礎(chǔ)，這個目標并不是本節(jié)課的重點和難點，只需要在合適的地方稍微加以交流和強調(diào)即可。

綜上所述，這節(jié)課形成了如下問題鏈：

（1）關(guān)于身高的變化想要討論哪些問題？

（2）從小婷0歲到12歲的身高數(shù)據(jù)中，我們能獲得哪些信息？

（3）根據(jù)這組數(shù)據(jù)，你還能想到哪些問題？

（4）預(yù)測一下，小婷14歲時的身高是多少？為了使預(yù)測更加準確，我們還需要收集什么數(shù)據(jù)？

（5）舉一反三，由這節(jié)課上身高預(yù)測的討論，你還能想到什么問題？

二 課堂實錄

1.針對身高的變化提出想要研究的問題。

師：今天我們一起來交流一個話題，有關(guān)身高的變化。看著這樣的話題，你想想，這節(jié)課我們可能會討論哪些問題呢？或者你想討論哪些問題呢？

生：我想討論我們小時候的身高是多高，長大之后的身高是多高，身高的變化是多少。

師：他想討論一個人身高的變化是什么樣的，非常好的問題。老師特別想知道你的身高從小時候到現(xiàn)在是怎么變化的，有機會我們就拿你的數(shù)據(jù)一起研究一下。還有什么想法？

生：身高的變化跟年齡有關(guān)系嗎？或者說年齡每增加1歲，身高就一定增加多少厘米嗎？

師：這個同學(xué)特別善于思考，他不但提出了身高是怎么變化的，而且提出了一個大膽的猜想，或者說提出了一個疑問，每長大1歲身高是固定增長的嗎？你們感覺會不會固定？

生：應(yīng)該不會固定。

師：還有什么問題？

生：我要提的問題是，人的身高最高是多少？比如每個人1歲的時候，最高的人的身高是多少？

師：也是一個很好的問題，我們記錄一下。這么多問題，真好，你們真是一群愛提問題的孩子。

生：我想討論每年長的高度的平均數(shù)是多少。

師：他又多了一個什么角度？

生：平均數(shù)。

師：看來大家都想具體刻畫一下一個人的身高是如何變化的。我們先從這個問題開始研究。也許在這個過程中，你們還會產(chǎn)生很多新的問題。

2.分析小婷的身高變化。

師：其實我特別希望能用你們自己的數(shù)據(jù)，但是抱歉沒有條件收集到你們從小到大的身高數(shù)據(jù)。我今天拿來了另外一名同學(xué)的身高數(shù)據(jù)。老師相信咱們今天學(xué)到的方法，你回去之后一定能用到分析自己的身高上。小婷的母親是一個有心人,她記錄了小婷從0歲到12歲的身高（如表1）。

表1 小婷從0歲到12歲的身高統(tǒng)計表

（簡單地討論了從表格中可以直接獲得的信息后，教師鼓勵學(xué)生從中進一步獲取信息）

生：我發(fā)現(xiàn)從4歲到 6歲身高增長了10厘米，從6歲到8歲這兩年身高增長了10厘米，從8歲到10歲也是增長了10厘米。所以我認為從4歲到10歲身高應(yīng)該固定地增長。

師：這位同學(xué)有個大膽的猜想：一個人從4歲到10歲的身高增長都是固定的。這個發(fā)現(xiàn)對小婷來說是不是對的？

（全班贊同）

師：這個猜想對于小婷來說是成立的，但對其他人是否成立呢？還需要更多的例子。大家還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：從出生到2歲身高增長得最快，長了35厘米。

生：從0歲到12歲平均每兩年長了19厘米。

[全班驗證后，教師給出折線統(tǒng)計圖（圖略），鼓勵學(xué)生繼續(xù)獲取信息]

生：通過這個統(tǒng)計圖，我們能比較清晰地看出小婷身高變化的趨勢。

（教師用手勢和學(xué)生一起比畫增長趨勢）

生：這個圖是彎曲的，不是直線的。

生：我發(fā)現(xiàn)相差比較大的線就比較陡，相差比較小的就比較平坦。

師：這位同學(xué)用了兩個比較直觀的詞，什么叫相差大比較陡？

生：在從50厘米長到85厘米的時候是最陡的。

師：0歲到2歲的時候這個小朋友長得比較快。那什么時候長得比較慢呢？

生：4歲到6歲、6歲到8歲、8歲到10歲。

師：我們通過一個表、一幅圖，發(fā)現(xiàn)我們的身高每年長的還真不是一個固定值，但是有點兒規(guī)律?？磥頂?shù)據(jù)還真能幫我們做點兒事。

3.根據(jù)數(shù)據(jù)進行預(yù)測。

師：我突然有一個疑問，這組數(shù)據(jù)到底能幫我們做什么呢？四人小組討論一下。

（小組討論后，全班展開交流）

生：做科學(xué)實驗。

生：我認為可以產(chǎn)生對比的作用。

師：跟誰對比？

生：可以用自己的身高跟小婷的身高形成對比。

師：他想用小婷的身高跟自己的身高進行比較。非常好，這是善于什么？

生：善于聯(lián)想。

師：這個詞用得好，他怎么會用到這個詞？

生：因為他是通過一個事情想到別的方面。

師：這就叫聯(lián)想，他善于聯(lián)想，由小婷想到了其他人。大膽的突破，誰還能接著聯(lián)想下去？

生：可以作為以后科學(xué)實驗的數(shù)據(jù)，關(guān)于人體身高變化的那種。

師：可以作為數(shù)據(jù)把它積累下來，也是個很好的角度。還能想到什么？

生：我補充一個想法，跟別的同學(xué)做對比可以測試出發(fā)育是不是正常。

（會場聽課的老師為這位同學(xué)的發(fā)言鼓掌）

師：老師們都情不自禁地給你鼓掌了。做這個事能幫我們?nèi)ズ饬恳粋€人的發(fā)育是不是均衡。多好，從數(shù)學(xué)想到了生活。還有沒有？

生：可以更清楚地了解普通人身高的變化。

師：她從一個人想到了什么？

生：更多的人。

師：有時候跟一個人比也行，還可以跟一群人比。

生：一組數(shù)據(jù)可以帶給我們這樣的信息，比如說知道乙店銷售的礦泉水?dāng)?shù)量，然后經(jīng)過與別的店比較，發(fā)現(xiàn)哪個店的銷售量比較多。

師：從身高能想到商店，都是要用統(tǒng)計解決的問題。剛才我們從一個人想到了一群人，從而去衡量一個人的身高是不是正常。我們就試著來做一做，拿小婷跟北京市女生的平均身高比較一下。能理解為什么要用小婷的身高跟北京市女生來比嗎？

生：能，因為小婷是北京市的一個女生。

師：老師為大家準備了兩份材料（如表2、圖1），每個同學(xué)拿著老師提供的材料，認真地想一想：小婷跟北京市女生的平均身高相比，到底有什么一樣的和不一樣的？你由此有沒有產(chǎn)生新的聯(lián)想？帶著這樣的思考在你的紙上寫一寫、畫一畫。

表2 小婷身高與北京市女生平均身高變化情況統(tǒng)計表

圖1 小婷身高與北京市女生平均身高變化情況

（學(xué)生獨立完成后小組討論）

師：我發(fā)現(xiàn)咱們班有不少同學(xué)好像還沒有發(fā)言。下面請有想法的同學(xué)發(fā)言。發(fā)言時最好別直接告訴大家答案，而是給同學(xué)們一個提示，讓他們也能想一想。

生：我根據(jù)這個表聯(lián)想到其他人身高的變化，同齡人的身高也不一定相同。

師：他給我們很好的提示，把小婷的跟其他人的豎著比比，看看有沒有想法。

生：我從這個折線統(tǒng)計圖可以看出有三處差距比較大。

師：跟別人比的時候看看哪兒差得比較多，哪兒差得比較少?，F(xiàn)在有想法的同學(xué)請舉手，我們交流一下。

生：小婷 0歲、4歲和12歲的身高高于北京市女生的平均身高。

師：誰能具體說說到底高多少？我們把小婷出生時比北京市女生高1厘米寫成“+1”能理解嗎？2歲的時候是“-1”……依次寫下去，還有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)小婷6歲和8歲時的身高都比北京市女生的平均身高矮。

生：我發(fā)現(xiàn)在12歲的時候，她們身高差得是最多的。

師：還有一個男孩兒做了一個很好的猜想，你說一說。

生：小婷和北京市女生的平均身高在這三處（指4歲、10歲、12歲）形成一個對比，是不是人在這三個年齡階段身高是最不均勻的？

師：大膽的猜想，真好。

師：回顧一下剛才的整個過程，我們由一個人的身高想到了平均身高，提出了一個問題；還想到了其他人的，想到了一群人的。

生：我認為可以通過之前的身高聯(lián)想到她長大以后大約有多高。

師：從現(xiàn)在想到了未來，我覺得這個想法太棒了！還能預(yù)測呢，都沒長到14歲，真的能從0歲至12歲預(yù)測到14歲嗎？誰能大膽地說一說如何預(yù)測？

生：我覺得到小婷 14歲的時候，有可能是1.72米。

生：我預(yù)測是1.71米。

師：為什么？

生：因為通常女孩子在這個時候大部分一年長5厘米，就給她算長七八厘米。

師：還有沒有不同的想法？

生：我覺得14歲應(yīng)該是1.76米，因為10歲到12歲長得挺快，所以比七八厘米要多。

生：我覺得應(yīng)該是1.74米，因為她4～10歲每兩年平均長高的都是10厘米。

生：我覺得應(yīng)該這樣預(yù)測：164厘米加上每兩年增長的平均數(shù)19厘米。

……

師：有1.71米、1.72米、1.74米、1.76米的，還有1.83米的，敢不敢肯定小婷14歲時究竟多高？

生：不敢。

4.為了使預(yù)測更加準確，需要收集新的數(shù)據(jù)。

師：為了使預(yù)測更加準確，我們還需要收集什么數(shù)據(jù)？

生：我覺得還需要其他女生14歲時的身高數(shù)據(jù)。

師：她給我一個建議，我還可以去搜集其他女生已經(jīng)長到14歲時的身高。她的建議你們同意嗎？

生：同意。

師：老師給你們北京市三個女生的數(shù)據(jù)，請你們再去預(yù)測預(yù)測。你覺得小婷14歲多高會更靠譜一些？是1.7米？1.9米？還是1.8米？由于時間關(guān)系，這個問題請同學(xué)們課后繼續(xù)思考。

5.回顧反思，產(chǎn)生新的聯(lián)想。

師：我們簡單地回顧一下這節(jié)課。有一句成語叫舉一反三，這節(jié)課的“三”是什么？我想聽聽你們的想法。

生：“三”可能是三個例子。

生：我想到用統(tǒng)計圖可以做到哪些應(yīng)用。

生：從一個人的身高變化想到他的營養(yǎng)均衡，和其他人的身高比較，和一群人的比較。

生：通過幾個人的事例從而把它應(yīng)用到現(xiàn)實生活中。

生：可以從小婷一個人的身高變化，預(yù)測出她之后的身高變化。從一個城市前幾個月的天氣變化，也許可以預(yù)測它下一個月的天氣變化。

師：她從身高預(yù)測想到了天氣預(yù)測。

生：能想到一個商店的銷售量。

生：我補充，可以預(yù)測它的銷售量，然后聯(lián)想下一步要多進點兒什么貨，或者要不要少進點兒貨。

生：還想到了一個電視臺的收視率。

師：所有你們想到的這些事情都是誰在起作用？

生：統(tǒng)計。

師：統(tǒng)計真的非常有用。帶著你們這些所有的想法、所有的思考，回去后你們選擇一個自己最感興趣的問題，真的去收集一下數(shù)據(jù)。老師特別希望能跟你們再次見面，再次交流。

三 課后反思

回顧本節(jié)課最主要的目標，“學(xué)生能夠利用這些數(shù)據(jù)進行合理的推斷”“學(xué)生能在具體情境中，聯(lián)想生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)和提出問題”，根據(jù)課堂觀察和課堂交流，這兩個目標可以說基本達到了。在課堂巡視中，發(fā)現(xiàn)只有一位同學(xué)在預(yù)測小婷 14歲身高時沒有合理的依據(jù)，但與他簡單交流后他也能夠明白了。在交流中，學(xué)生給出各自的想法，盡管最后的結(jié)果不盡相同，但都運用數(shù)據(jù)進行了合理推斷。特別是當(dāng)思考“為了使預(yù)測更為合理，還需要收集什么數(shù)據(jù)”時，同學(xué)們提出了收集一些其他學(xué)生長到14歲時的身高。可惜的是時間有限，學(xué)生沒有真正去運用新收集到的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，因此有可能的話可以在下節(jié)課中花些時間。

對于發(fā)現(xiàn)和提出問題的目標，部分學(xué)生不僅能夠提出問題，并且給出了有價值的猜想?？磥砉膭顚W(xué)生開展“聯(lián)想”是幫助他們發(fā)現(xiàn)和提出問題的好辦法。課堂中學(xué)生不斷提出的問題和猜想使我很興奮，也引來了聽課老師們的掌聲。

生：我認為可以產(chǎn)生對比的作用。

師：跟誰對比？

生：可以用自己的身高跟小婷的身高形成對比。

……

生：我補充一個想法，跟別的同學(xué)做對比可以測試出發(fā)育是不是正常。

……

生：通過幾個人的事例從而把它應(yīng)用到現(xiàn)實生活中。

生：可以從小婷一個人的身高變化，預(yù)測出她之后的身高變化。從一個城市前幾個月的天氣變化，也許可以預(yù)測它下一個月的天氣變化。

生：能想到一個商店的銷售量。

生：我補充，可以預(yù)測它的銷售量，然后聯(lián)想下一步要多進點兒什么貨，或者要不要少進點兒貨。

生：還想到了一個電視臺的收視率。

師：所有你們想到的這些事情都是誰在起作用？

生：統(tǒng)計。

當(dāng)然，也有一些學(xué)生還不能提出問題，對此的培養(yǎng)需要長期的過程、整體的設(shè)計。

進一步思考，這節(jié)課的幾個片段引起了我的深思。

師：這節(jié)課我們可能會討論哪些問題呢？或者你想討論哪些問題呢？

生：我想討論我們小時候的身高是多高，長大之后的身高是多高，身高的變化是多少。

……

生：我要提的問題是，人的身高最高是多少？比如每個人 1歲的時候，最高的人的身高是多少？

……

生：我發(fā)現(xiàn)從 4歲到 6歲身高增長了10厘米，從6歲到8歲這兩年身高增長了10厘米，從8歲到10歲也是增長了10厘米。所以我認為從4歲到10歲身高應(yīng)該固定地增長。

……

從上面學(xué)生的回答中不難看出，他們有自己想要研究的問題，如自己的身高變化，1歲時最高的人能長多高，一個人從4歲到10歲每年增長的是不是固定的數(shù)值，一個人的身高與其他人比較是否正常……

其實，從學(xué)生的這些問題入手，完全可以鼓勵學(xué)生運用數(shù)據(jù)進行合理預(yù)測，從而體會統(tǒng)計的價值。但由于無法真正預(yù)設(shè)學(xué)生的問題，所以也無法將必備的數(shù)據(jù)全部準備好。看來順應(yīng)學(xué)生的問題進行教學(xué)，需要“數(shù)據(jù)庫”的支持。如果我們能建立一個“數(shù)據(jù)庫”，不斷將學(xué)生在課堂中、校園中、生活中等收集到的數(shù)據(jù)積累下來，隨時調(diào)取研究討論，那么不僅學(xué)生的學(xué)習(xí)素材會大大豐富，而且相信學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性也會增強，對于數(shù)據(jù)的“感覺”也會越來越好。

（作者系北京教育科學(xué)研究院兒童數(shù)學(xué)教育研究所副所長，新世紀小學(xué)數(shù)學(xué)教材主編，中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會秘書長）