◇岳增成

HPM與小學數(shù)學教師專業(yè)成長

◇岳增成

隨著數(shù)學史的教育價值在數(shù)學教學中的逐漸顯現(xiàn)，HPM（History and Pedagogy of Mathematics，數(shù)學史與數(shù)學教學）越來越受到人們重視，在德國漢堡舉行的ICME-13上，甚至設置了兩個主題討論組TSG24和TSG25來介紹這方面的成果。但是小學階段的成果并不多見，國內的研究也證實了這一點。比如，2016年7月全國數(shù)學教育研究會在武漢召開的國際學術年會上，汪曉勤教授的團隊所作的題為“數(shù)學史融入中小學數(shù)學教學的實踐與案例”的報告指出，小學HPM 是一個亟待開拓的領域。那么HPM 在小學中的應用情況真的是這樣嗎？如果是，小學數(shù)學教師的數(shù)學史素養(yǎng)是否有待提高？

在回答上述兩個問題的基礎上，本文將進一步介紹ICME-13上希臘學者瓦西利基·恰帕斯（Vasiliki Tsiapou ）的報告“劉徽與希臘小學生分享他的數(shù)學觀點”[1]，希望從她的報告中得到提高小學數(shù)學教師數(shù)學史素養(yǎng)的啟示，最后利用一個個案來看一下如何提高我國小學數(shù)學教師的數(shù)學史素養(yǎng)。

一、來自文獻研究與問卷調查的現(xiàn)狀剖析

1.數(shù)學史在小學課堂中的使用情況。

通過中國知網檢索發(fā)現(xiàn)，2016年6月之前與小學HPM 有關的文章共有86篇，涉及數(shù)學史的教育價值與如何將數(shù)學史融入課堂教學、HPM 視角下的教學設計與教學案例等5個主題，其中HPM 視角下的4個教學設計和12個教學案例與教學實踐的聯(lián)系最為密切，也最能反映數(shù)學史在一線教學中的運用情況與運用水平。從教學設計與教學案例的數(shù)量上看，數(shù)學史在小學課堂中的應用相當少。借用汪曉勤教授對數(shù)學史融入數(shù)學教學的附加式、復制式、順應式、重構式等4種方式[2]對教學設計與教學案例進一步分析發(fā)現(xiàn)，有11個僅運用了一種方式，其中3個運用了附加式，8個運用了重構式，其余5個運用了附加式和重構式兩種方式，可見，小學數(shù)學教師運用數(shù)學史的方式不夠多元。以國內某重點師范大學在職數(shù)學教育碩士為研究對象，通過問卷調查發(fā)現(xiàn)平均教齡為4.25年，來自上海、杭州、蘇州、溫州、珠海、蕪湖、廈門等地的24名小學數(shù)學教師中，僅有3人所在學校的教研活動中有對數(shù)學史內容的討論，盡管有11人所在的學校中有教師將數(shù)學史融入了數(shù)學教學，但這樣的教師并不多見，且將數(shù)學史融入的主題有限。這些進一步印證了數(shù)學史在小學教學一線運用得不夠普遍且運用程度不高的現(xiàn)狀。

2.我國小學數(shù)學教師數(shù)學史素養(yǎng)現(xiàn)狀。

在上述24名被調查對象中，有4人在工作之前選修過與數(shù)學史相關的課程，僅有1人在在職培訓中學習過與數(shù)學史有關的課程，有4人閱讀過與數(shù)學史有關的論文或書籍，可見，被調查對象的數(shù)學史知識儲備不足。在對學生的數(shù)學史教育價值的認識方面：在相關的34條敘述中，沒有人提到方法之美、探究之樂等教育價值，在提到的知識之諧、能力之助、文化之魅、德育之效中，教師更多地強調德育之效與能力之助。（具體見表1）可見，被調查對象對數(shù)學史的教育價值認識不夠全面，且側重點存在較大差異。這恰恰反映出我國小學數(shù)學教師數(shù)學史素養(yǎng)不高的現(xiàn)狀，也反映出提高小學數(shù)學教師數(shù)學史素養(yǎng)的迫切性。

表1小學數(shù)學教師對數(shù)學史教育價值的認識

二、來自希臘學者的報告

希臘學者恰帕斯具有小學數(shù)學教師與高校研究者的雙重身份。在日常的教學中，她發(fā)現(xiàn)學生的數(shù)學觀存在問題。為了改善學生的數(shù)學觀，恰帕斯將目光投向了數(shù)學史，而學生對數(shù)學史的學習恰恰能達到這一目的。因此，通過對歷史素材的精當選取、教學活動的精心設置及研究方法的恰當運用，恰帕斯的教學實驗取得了相當不錯的效果。以下是對該報告的述評。

1.將數(shù)學史融入小學數(shù)學課堂的原因與目的。

很多學生對數(shù)學持有柏拉圖式的觀點（認為數(shù)學是靜態(tài)的、一成不變的、與歷史無關的）和工具性觀點（認為數(shù)學是法則和程序的集合），顯然這樣的數(shù)學觀是不完美的。我們期望學生有一個動態(tài)的數(shù)學觀，即將數(shù)學視為歷史演變和不斷進化的人類探索的學科，而原始素材恰好具有提升這一動態(tài)觀點的潛質。因此，恰帕斯試圖通過將歷史文本融入課堂教學的干預實驗，達到促進數(shù)學學習、形成有關數(shù)學本質的多種觀點、欣賞數(shù)學作為文化傳承的目的。

恰帕斯選擇了以下三段素材，作為培養(yǎng)學生動態(tài)數(shù)學觀的教學材料。

（1）成書于公元1世紀的《九章算術》中的“問題1.32”，此問題在探尋計算圓形土地的面積時，假定圓周率為3。

（2）公元3世紀具有創(chuàng)造性的中國古代數(shù)學家劉徽對上述問題的注釋。他從圓內接正六邊形開始，通過不斷加倍多邊形的邊數(shù)，得到了一個面積等于（圓周長）×（直徑）的正多邊形，并通過計算得到圓周率在3.141024與3.142704之間。他在注釋的結尾對假定圓周率為3這一錯誤評價道：世代傳用這種方法，不肯精確地核驗；學者跟隨著古人的腳步，沿襲他們的謬誤。如果沒有明晰的證明，辯論這個問題就很困難。

（3）劉徽對數(shù)學與教育事業(yè)看法的節(jié)選：各種事物按照它們的類別相互推求，分別有自己的歸宿。所以，它們的枝條雖然分離而具有同一個本干的原因就在于都來源于一個端。如果用言辭表述對原理的分析，用圖形表示對事物的分解，那差不多就會使其簡約而周密，通達而不煩瑣，讓閱讀的人理解其大半的內容。

2.理論基礎。

社會文化理論將數(shù)學視為文化的產物，所以數(shù)學學習是建立在與文化背景的社會互動、社會文化產物的語義修正之上的內化過程。師生之間的社會互動包含具有個性色彩的口頭、書面產物。恰帕斯采用了他人關于社會文化產物的分類：一類是物理、多媒體工具，另一類是在知識保存與傳承中產生及使用的語言。任何文化產物都具有潛在的語義性，只要它能促使學生從個性化語言中產生元數(shù)學語言（介于一般語言與規(guī)范的數(shù)學語言之間的一般數(shù)學語言，是小學階段學生學習的主要內容）。數(shù)學史料作為第二類文化產物，可以進入史料作者與學生的對話當中，因此也就有了語義學的意義。但是為了解釋清楚，需要將這些史料背后的文化背景揭示出來。學生也不可能不通過元數(shù)學語言的學習而直接進入規(guī)范數(shù)學語言的學習。所以，讓學生討論數(shù)學及相關的史料可以幫助他們鞏固元數(shù)學語言。

3.程序。

干預實驗在塞薩洛尼基一所公立城市小學的數(shù)學、信息技術課堂及專門的項目開發(fā)時段中開展，每周兩次，持續(xù)兩個月，參與對象是14名六年級的學生。干預運用間接策略，即呈現(xiàn)歷史作者及作者生活年代的文化背景素材。比如，數(shù)學知識和檢驗體系的傳承，劉徽所處的三國時代的政治動蕩，《九章算術》囊括問題的類型及它對中國數(shù)學的影響，劉徽在《九章算術》中對術的注釋，特別是對“問題1.32”的注釋。

對前面素材的分析分三個階段進行：（1）閱讀第一段素材；（2）對第二段素材進行閱讀、分析與探索；（3）將前兩個階段與引導性的展示聯(lián)系起來，從而將過去的片段結合起來形成對整體的全局性理解。圖1與圖2是分析過程中的兩個操作性活動成果，其中圖1展示的是學生梳理出的“哲學卡片”概念圖，它由很多哲學卡片組成，每一個卡片包括圖片及來自二手資源的簡要信息，卡片之間存在順序與內在關聯(lián)。兩個主要的目標支撐著這些內容：讓學生意識到文化和歷史因素對數(shù)學實踐的影響，認可通過訴諸理論和運用表征證明一個數(shù)學論斷的價值。為了達到第一個目標，學生被告知中國漢代傳統(tǒng)的儒學學校是怎樣影響社會，進而影響數(shù)學家工作的，道教的社會等級分類是怎樣被漢代統(tǒng)治者和學者用以合法化君王權威的。相反的，公元3世紀，中國進入政治動蕩、社會秩序崩潰、正統(tǒng)信仰衰微的時期，這恰恰促進了自由的、不受禁錮的思想的發(fā)展，數(shù)學進入了理論時期。在這樣的背景下，劉徽自如地檢驗先輩得出的結論。參照二手資源，學生試圖說明劉徽痛斥因為對先輩推理的依賴而不情愿為精確性去奮斗的片段。為了達到第二個目標，學生必須解釋劉徽所說的“如果沒有明晰的證明，辯論這個問題就很困難”這一觀點，在參與歷史證明的過程中反思自己的數(shù)學實踐。圖2“數(shù)學樹”活動以劉徽“樹”的數(shù)學概念為依據。在郭書春重構的劉徽“樹”的希臘版本的幫助下，學生首先繪制了在他們證明期間使用的、他們列舉的、看似與劉徽“樹”相關的數(shù)學領域，然后用他們使用過的各個數(shù)學領域制作卡片，圖2中左側的卡片是幾何領域的分支，圖2中右側的卡片是算術與代數(shù)領域，所有的都與實驗過程中的例子相聯(lián)系。最后，學生組合成這棵“數(shù)學樹”，并用粉筆畫出了箭頭，以此來展示各個卡片之間的關聯(lián)。

圖1“哲學卡片”概念圖

圖2“數(shù)學樹”活動

4.結果與討論。

恰帕斯運用類型多樣的前后測題目來說明這一干預實驗對學生的影響。比如，對于“知道一個幾何公式并將其應用于一個問題就足夠了”這一觀點，在前測中僅有4人不同意，而在后測中，10人有了正向的轉變。在“你是否相信數(shù)學是一成不變的”這一開放題的前測中，7人回答不知道；3人同意但沒有解釋或采用柏拉圖式的觀點，如“是的，數(shù)學需要邏輯，這需要穩(wěn)定的觀點”；僅有4人認為數(shù)學是一門進化的學科，如“不是的，因為人們逐漸地而不是直接地思考數(shù)學”。在后測中，有2人趨向動態(tài)的觀點，其解釋見表2。由此恰帕斯總結道：“前后測的對比結果表明，干預后很多學生從持有柏拉圖式的數(shù)學觀和工具性數(shù)學觀轉向了動態(tài)數(shù)學觀”“但是許多學生的回答自相矛盾，一方面，當他們判斷他們個人參與數(shù)學活動的過程中接觸到的觀點時，他們表達出工具性觀點；另一方面，當他們判斷本質上更抽象的觀點，如關于數(shù)學發(fā)展的原因時，他們采用動態(tài)數(shù)學觀：歷史的整體情感影響多少有些模糊，即使是為人人所稱贊的數(shù)學與歷史的結合，當被問及這項干預最有趣的部分時，很少有人提及歷史方面”。

表2持動態(tài)數(shù)學觀的學生對否定“數(shù)學一成不變”的解釋

最后，恰帕斯探討了小學水平的原始資料的益處與障礙。毫無疑問，對教師而言，將歷史文本融入日常的數(shù)學教學中既有益處又有障礙，特別是在障礙方面，因為對原始素材的分析需要運用解釋學的方法。恰帕斯借用了解釋學的素材分析方法，即解析素材，提出問題，總結、定位仍然需要澄清的問題。同時她指出，為了更好地將數(shù)學史融入課堂教學，需要加強學科內容知識與學科教學知識的融合。對學生而言，有一個好處就是因為擺脫了書面測試帶來的焦慮，所以他們?yōu)槟茉谛〗M項目、口頭討論和展示中展現(xiàn)聰明才智而感到自由。當然，由于評價方式的轉變，在干預過程中，學生也遇到了一些問題。對整個干預實驗而言，小樣本的確是一個問題，但是作者正計劃通過提供教與學過程的細節(jié)性描述來避免作普遍性推廣。另外，并不是所有的歷史素材在小學階段都適合，發(fā)現(xiàn)并分析這樣的文本對教師和其他教育研究者而言是一個好的合作起點。但是恰帕斯也不得不承認試圖通過實施短期干預而達到對數(shù)學多樣觀點的發(fā)展是不現(xiàn)實的。要達到預期的效果，一個建議就是在小學課程中融入歷史項目，以及教師之間通過實施相同的項目來交換經驗和獲得反饋的合作。報告的結尾，恰帕斯總結道：“總之，這一干預實驗為學生轉變數(shù)學觀播下了種子。”

5.對報告的評價。

為了改變學生的數(shù)學觀，恰帕斯借用中國古代歷史素材實施了她的教學干預，學生感悟到了知識之諧、方法之美、能力之助、探究之樂、文化之魅、德育之效，特別是圖1、圖2分析結果的呈現(xiàn)，著實令人驚嘆。那么，是什么使得數(shù)學史融入的教學取得了如此好的效果？這與恰帕斯較高的數(shù)學史素養(yǎng)密不可分：一方面，盡管她對中國古代的歷史文化乃至數(shù)學成就知之甚少，但是通過教育取向的數(shù)學史研究，通過運用解釋學的素材分析方法，她獲得了對數(shù)學史料的深刻認識，進而選取出合適的數(shù)學史素材應用于教學；另一方面，在教學過程中，她能夠利用社會文化理論引導學生分階段對歷史素材進行語義修正，從而幫助學生內化這些素材，獲得對素材的理解，從而實現(xiàn)數(shù)學觀的轉變。

三、來自上海小學數(shù)學教師專業(yè)成長的個案研究

采用恰帕斯的方法來提高我國數(shù)學教師的數(shù)學史素養(yǎng)是不現(xiàn)實的（比如，花費大量的課堂時間用于講授看似與數(shù)學學習無關的歷史文化背景，以達到改善學生數(shù)學觀的目的），但是她的經驗為提高我國數(shù)學教師的數(shù)學史素養(yǎng)提供了很好的啟示。那么，該采用什么樣的方式提高我國數(shù)學教師的數(shù)學史素養(yǎng)呢？無疑嘗試HPM視角下的案例教學是促進教師自身數(shù)學史素養(yǎng)提高的重要途徑。下面簡述一下“角”的案例開發(fā)對上海某小學數(shù)學教師L思想觀念轉變的影響。

L畢業(yè)于某工程大學的非師范專業(yè)，已有3年工作經驗，在以往的教學中，她從未嘗試將數(shù)學史融入課堂教學中。在案例開發(fā)前，她持有絕對主義的數(shù)學觀，認為數(shù)學是一門非常理性且具有邏輯性的學科，因此在教學中也要具有理性和邏輯性，要以嚴謹、科學的態(tài)度對待數(shù)學，同時她認為數(shù)學史是可有可無的課堂點綴物。但在“角”的案例開發(fā)過程中（具體流程見圖3），在經歷了4個階段的教學設計修改、4次磨課后，L的知識發(fā)生了一些改變。比如，L的HCK[水平內容知識，指對整個數(shù)學課程中數(shù)學主題之間的聯(lián)系的了解，它是MKT（為了教學的數(shù)學知識）的重要組成部分，MKT是用以分析數(shù)學教師知識的重要框架]發(fā)生了較大的改變。與“角”相關的HCK包括特殊角的認識、三角形的分類、角的動態(tài)定義等。對于后兩者，授課后L已有比較深刻的認識，特別是在教授三角形的分類時，L能夠從三角形三個內角關系的獨特性對三角形進行分類、定義，并讓學生探究這一過程。但對于特殊角（平角、周角等）的認識，L沒有意識到“學生不認同平角也是角與學生沒有學習過射線有密切關聯(lián)”。通過案例研究，L的信念也發(fā)生了一些改變。比如，在認識到歷史相似性的存在后，她意識到學生犯錯誤是一件正常的事情，因此更加包容學生，更能從學生的角度思考問題。設計教學活動時，她也不再視數(shù)學史為可有可無的課堂點綴，而是將數(shù)學史看作小學數(shù)學教學不可或缺的組成部分。

圖3HPM教學設計、實施、評價與案例寫作

四、結語

盡管希臘與中國的數(shù)學教育傳統(tǒng)不同，希臘學者與我們的研究范式也不盡相同，但在HPM與數(shù)學教育領域，我們有很多共識。特別地，恰帕斯提到的教育取向的數(shù)學史研究、合作、教師專業(yè)發(fā)展，也是解決目前數(shù)學史在小學課堂中運用不夠普遍且運用程度不高等問題最重要的途徑。因此，我們不妨通過案例開發(fā)，以教育取向的數(shù)學史研究為出發(fā)點，通過教師、HPM專家、教研員及他們之間的合作，在實現(xiàn)數(shù)學教育價值的同時，促進教師的專業(yè)成長，以汪曉勤教授提到的“五個一”，即一門課程、一個論壇、一種模式、一批案例、一個團隊，讓HPM在小學生根、發(fā)芽、開花、結果。[2]

[1]VasilikiTsiapou.LIUHUISHARESHIS VIEWS ABOUT MATHEMATICS WITH STUDENTS OF A GREEK PRIMARY SCHOOL[R].漢堡：2016（第13屆國際數(shù)學教育大會報告）.

[2]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學數(shù)學月刊，2012（2）.

（作者單位：華東師范大學數(shù)學系）