劉明偉，張禹濤，賈春霞，唐海波，劉小娟

(湖南科技大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

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物理光學(xué)共軛波概念教學(xué)探討

劉明偉，張禹濤，賈春霞，唐海波，劉小娟

(湖南科技大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，湖南 湘潭 411201)

摘要：物理光學(xué)中定義的共軛波和非線性光學(xué)中定義的相位共軛波本質(zhì)上是一樣的，都包含了前向共軛波和后向共軛波；由于參照入射波的時(shí)間相位因子，物理光學(xué)中的共軛波容易被理解為后向共軛波，但教材中的共軛波實(shí)例實(shí)際上又是前向共軛波。建議教學(xué)中在以復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛引入共軛波概念后，強(qiáng)調(diào)共軛波的時(shí)間相位因子有2種選取方式，具體化為前向共軛波和后向共軛波，省去“波都來(lái)自波前的同一側(cè)”等假設(shè)和注釋。

關(guān)鍵詞：物理光學(xué)；共軛波；課程教學(xué)；時(shí)間反演

共軛波或相位復(fù)共軛波是非線性光學(xué)和光學(xué)全息中非常重要的概念。特別是相位復(fù)共軛技術(shù)可以對(duì)光波相位信息進(jìn)行實(shí)時(shí)空間和時(shí)間處理，在自適應(yīng)光學(xué)、光學(xué)信號(hào)處理、光學(xué)成像和超低噪聲探測(cè)等方面有重要的應(yīng)用[1-2]；在光學(xué)全息中，正確使用共軛波也有利于拍攝得到優(yōu)質(zhì)全息圖[3]。在本科物理光學(xué)課程教學(xué)中，一般是在“光的電磁理論”部分講授共軛波概念。然而，現(xiàn)有的物理光學(xué)和光學(xué)教材中，要么不提共軛波概念；要么以“復(fù)振幅互為復(fù)數(shù)共軛的波稱為共軛波”來(lái)定義共軛波，但以z=0時(shí)的特定波前來(lái)舉例說(shuō)明共軛波，且注明“若不特別說(shuō)明，我們總假設(shè)波都來(lái)自波前的同一側(cè)”[4]，或者直接定義為“波函數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個(gè)光波”[5]，所分析的結(jié)果更加讓人困惑。文獻(xiàn)[6]從光強(qiáng)度表達(dá)式中引入共軛波概念，盡管相對(duì)于入射平面波，注明“反方向傳播的平面波也是共軛波”，但該教材中關(guān)于共軛波的分析圖與文獻(xiàn)[4]實(shí)際上是一樣的。所以，文獻(xiàn)[7]認(rèn)為共軛波應(yīng)定義為“在某一波前上復(fù)振幅互為復(fù)數(shù)共軛、且由該波前同一側(cè)入射的波，稱為該波前的共軛波”，并提到“相位共軛波與共軛波應(yīng)為兩個(gè)不同的概念”。

物理光學(xué)課程中通常以復(fù)數(shù)形式的波函數(shù)來(lái)表示光場(chǎng)，以相應(yīng)空間復(fù)振幅分布來(lái)講授光的干涉和衍射等波動(dòng)光學(xué)核心內(nèi)容，這些都會(huì)涉及到光強(qiáng)度計(jì)算和光矢量空間復(fù)振幅分布的共軛表達(dá)式。因此，進(jìn)一步厘清共軛波概念，不僅有助于對(duì)后續(xù)課程的學(xué)習(xí)，而且對(duì)物理光學(xué)課程教學(xué)同樣具有非常重要的意義。

1共軛波的定義

物理概念的引入和建立都有相應(yīng)的物理圖像，共軛波也一樣，可以用數(shù)學(xué)方法來(lái)定義和描述相應(yīng)物理圖像。根據(jù)現(xiàn)有的共軛波或相位復(fù)共軛波定義[1-7]，都表明共軛波是區(qū)別于入射波的“另一束光波”，且通常的表述是共軛波與入射波的復(fù)振幅互為復(fù)數(shù)共軛[1-4,6-7]。考慮一個(gè)頻率為ω的單色光波：

(1)

(2)

既然共軛波也是真實(shí)光波，就可以討論其產(chǎn)生方式和所具有的性質(zhì)。比較后向共軛波和入射光波的表達(dá)式，可見(jiàn)

(3)

即后向共軛波等價(jià)于入射波的時(shí)間反演波，其波陣面空間分布與入射波的波陣面空間分布相同，只是傳播方向相反。產(chǎn)生后向共軛波最簡(jiǎn)單的方式是利用相位共軛鏡反射平面波或球面波[3]，也可以通過(guò)簡(jiǎn)并的四波混頻和受激布里淵散射等非線性過(guò)程獲得[1-2]。

但是，前向共軛波并不具有類似于后向共軛波的時(shí)間反演性質(zhì)：

(4)

圖1　獲得前向共軛光波的三波混頻(a)和四波混頻(b)波矢量關(guān)系圖

以上是用實(shí)函數(shù)來(lái)描述入射波和共軛波，并可以通過(guò)入射光波與介質(zhì)的非線性相互作用來(lái)獲得共軛波。但在如光的干涉和衍射(包括光學(xué)全息)等線性光傳播問(wèn)題中，光波頻率不變，波函數(shù)中的時(shí)間相位因子就無(wú)關(guān)緊要，且通常忽略[6]；此時(shí)，所關(guān)心的是光場(chǎng)的空間分布，而條紋可見(jiàn)度等也涉及到光強(qiáng)度計(jì)算，

(5)

為計(jì)算方便，引入振幅和空間相位因子構(gòu)成的函數(shù)

(6)

也稱為復(fù)振幅，記為第二類復(fù)振幅定義。因此，式(1)所描述的波函數(shù)可以用復(fù)函數(shù)

(7)

從形式上來(lái)代替，真實(shí)的光矢量為式(7)的實(shí)數(shù)部分。需要強(qiáng)調(diào)的是，共軛波的定義規(guī)定了空間復(fù)振幅之間滿足復(fù)數(shù)共軛關(guān)系，而對(duì)時(shí)間相位因子沒(méi)有限定。根據(jù)復(fù)振幅的第二類定義式(6)，復(fù)振幅為

(8)

的光波都滿足該入射波的共軛波條件，共軛波的時(shí)間因子可以取為exp(iωt)或exp(-iωt)，即分別有后向共軛波

(9)

和前向共軛波

(10)

在光學(xué)全息中，反映了前向共軛波和后向共軛波都可以存在。對(duì)于傳統(tǒng)全息照相，物光波的共軛波形成物體的共軛實(shí)像，此時(shí)，物光波和共軛波相對(duì)于全息圖成鏡像對(duì)稱，是前向共軛波；而簡(jiǎn)并的四波混頻過(guò)程類似于實(shí)時(shí)全息照相過(guò)程，成像光波是物光波的后向共軛波[2]。

2共軛波概念教學(xué)方法探討

物理光學(xué)(或光學(xué))教材中是由于計(jì)算光強(qiáng)度引入共軛波概念，以復(fù)數(shù)形式的波函數(shù)來(lái)進(jìn)行討論。其中，文獻(xiàn)[5]直接用類似式(7)的波函數(shù)的復(fù)數(shù)共軛來(lái)定義共軛波，限定了共軛波中的時(shí)間相位因子，得到的實(shí)際上是前向共軛波；文獻(xiàn)[4,6-7]以類似式(6)的復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛來(lái)定義共軛波，但暗含共軛波的時(shí)間相位因子取為與入射波相同的形式，得到后向共軛波，因此教材中有關(guān)于反向傳播波的標(biāo)注。但是，文獻(xiàn)[4,6]對(duì)共軛波的討論中，圖示結(jié)果顯示共軛波波陣面空間分布與入射波成鏡像對(duì)稱，分析的是前向共軛波，也類似于圖1(b)所示的四波混頻產(chǎn)生前向共軛波過(guò)程。文獻(xiàn)[7]中強(qiáng)調(diào)要以相對(duì)于某一波前來(lái)理解復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛概念，在光學(xué)全息和薄透鏡理想成像中自動(dòng)滿足；實(shí)際上已經(jīng)包含在四波混頻產(chǎn)生前向共軛波的相位匹配條件中，如介質(zhì)有效長(zhǎng)度L足夠小時(shí)，就簡(jiǎn)化為相對(duì)于一定波前有波陣面鏡像對(duì)稱分布，共軛波和相位共軛波是同一個(gè)概念。

在物理光學(xué)教學(xué)中，雖然主要是討論光的干涉和衍射等問(wèn)題時(shí)需計(jì)算光強(qiáng)度而引入共軛波概念，但并不涉及光與介質(zhì)的非線性相互作用。采用類似于式(7)的復(fù)函數(shù)在形式上表示光場(chǎng)，以式(6)所示的第二類復(fù)振幅來(lái)定義共軛波在數(shù)學(xué)上是自洽的，因?yàn)椴](méi)有限定共軛波的時(shí)間相位因子的取舍方式，同時(shí)定義了前向共軛波和后向共軛波。后向共軛波的物理圖像可以用相位共軛鏡反射光波來(lái)直觀描述[2-3]；相應(yīng)地，文獻(xiàn)[4,6-7]中實(shí)例分析的共軛波，可以簡(jiǎn)單明了地以薄透鏡理想成像或光學(xué)全息照相加以說(shuō)明，也并不需要光波與介質(zhì)的非線性相互作用。

不管是前向共軛波還是后向共軛波，都具有真實(shí)的物理圖像和意義。但在物理光學(xué)課程中講授共軛波的概念時(shí)，需要強(qiáng)調(diào)光強(qiáng)度計(jì)算中利用復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛僅僅是一類數(shù)學(xué)技巧，光強(qiáng)度表示的是時(shí)間平均的能流密度，而不代表兩個(gè)光波的相互作用。課程中我們主要討論光的干涉和衍射等線性光傳播問(wèn)題，也不涉及光波與物質(zhì)的非線性相互作用。同時(shí)，在教學(xué)中應(yīng)明確提出，按照類似式(6)給出的復(fù)振幅來(lái)定義共軛波并沒(méi)有限定共軛波的時(shí)間相位因子選取方式。對(duì)時(shí)間相位因子的兩種不同選擇，恰好使得共軛波定義更加具體化前向共軛波和后向共軛波。因此，也不需要“波都來(lái)自波前的同一側(cè)”等條件假設(shè)。

3結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)上復(fù)共軛描述的是相對(duì)于特定面的對(duì)稱關(guān)系，共軛波討論的就是等相面(波面)的對(duì)稱關(guān)系；如在波動(dòng)光學(xué)中，平面光波在z=0平面被相位共軛鏡反射，則在z≤0位置上反射波和入射波的波面具有相反的空間分布，相應(yīng)背向共軛波與原波場(chǎng)在空間位置上處處共軛。在物理光學(xué)課程教學(xué)中，從光強(qiáng)度計(jì)算引入的共軛波概念，不僅在數(shù)學(xué)上自洽，而且可以使得幾何光學(xué)成像、波動(dòng)光學(xué)、信息光學(xué)甚至非線性光學(xué)等前后課程的內(nèi)容有機(jī)銜接起來(lái)?？梢詮臄?shù)學(xué)上按照復(fù)振幅的復(fù)數(shù)共軛嚴(yán)格定義共軛波，也可以從產(chǎn)生機(jī)制和應(yīng)用等方面清晰地把共軛波具體化為前向共軛波和后向共軛波，但不能把共軛波和相位共軛波割裂為兩個(gè)不同的概念。

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(責(zé)任校對(duì)晏小敏)

doi:10.13582/j.cnki.1674-5884.2016.03.016

收稿日期：20151110

基金項(xiàng)目：湖南科技大學(xué)教學(xué)研究與改革一般項(xiàng)目(G31417)

作者簡(jiǎn)介：劉明偉(1977-)，男，湖南洞口人，副教授，博士，主要從事光學(xué)研究及教學(xué)。

中圖分類號(hào)：G642.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1674-5884(2016)03-0048-03