劉巧云

【摘要】隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平的不斷提高，素質(zhì)教育改革在深入開展，數(shù)學(xué)是素質(zhì)教育階段一項(xiàng)非常重要的課程，是素質(zhì)教育階段必須研修的課程，數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中不僅要使學(xué)生掌握到最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)，更要培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力增強(qiáng)對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.本文對(duì)數(shù)學(xué)建模中常用微分方程應(yīng)用進(jìn)行了探討，使數(shù)學(xué)模型更具有基礎(chǔ)性、直觀性與應(yīng)用性.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模；常微分方程；素質(zhì)教育

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的過程，其目的就是分析、描述模型內(nèi)的關(guān)系、規(guī)律等，進(jìn)而構(gòu)建出一個(gè)科學(xué)、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)關(guān)系，并能夠轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題，使用數(shù)學(xué)系統(tǒng)和數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，對(duì)現(xiàn)實(shí)問題作出解釋.為此，應(yīng)用微分方程對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行抽象，并在此基礎(chǔ)上構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，能夠演示數(shù)學(xué)模型，雖然過程較為復(fù)雜，但是在結(jié)果上則非常簡明，使解釋過程更為直觀、明朗.

一、在人口普查中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)建?？梢愿鶕?jù)劃分標(biāo)準(zhǔn)的不同，演變出不同的分法，例如，可以按照已經(jīng)建立的分類法劃分，將數(shù)學(xué)模型劃分為：初級(jí)模型、規(guī)劃模型、微分方程、統(tǒng)計(jì)概論方程等.實(shí)際生活中，使用微分方程理論可以構(gòu)造，出動(dòng)態(tài)模型，對(duì)事物演化的時(shí)間進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而掌握到最有效的方法.

隨著人口的不斷增長，人口普查成為一項(xiàng)繁重的工作，即使能源不斷增多，但能源儲(chǔ)量卻在不斷減少.為此，世界上大部分國家都在努力控制人口增長，中國實(shí)施的計(jì)劃生育也有30多年的歷史.而人口遷移、自然災(zāi)害等都會(huì)影響到人口預(yù)測(cè)模型的變量構(gòu)建，而在模型構(gòu)建上還必須考慮這些變量，無形中為工作人員增加了工作負(fù)擔(dān).為此，數(shù)學(xué)建模中使用微分方程能夠建立起因子模型，并對(duì)其進(jìn)行不斷完善，進(jìn)而得到最準(zhǔn)確的模型.

建模前要先進(jìn)行數(shù)據(jù)收集，比如，按照某國100年嬰兒出生量制作統(tǒng)計(jì)表；首先，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析：通過分析將人口的出生率設(shè)為不變量，并建立起馬爾薩斯人口模型.再針對(duì)問題提出假設(shè)：在自然條件不變的情況下，人口相對(duì)穩(wěn)定，比例設(shè)為r.最后將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建出人口與時(shí)間的變化關(guān)系式.

解 將時(shí)間設(shè)為t，人口設(shè)為N（t），N（t）會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化，按照上面的分析作出假設(shè)，在t到了（t+Δt）時(shí)刻時(shí)，人口的增長量為：

N（t+Δt）—N（t）=rN（t）Δt.

假設(shè)t=t0，則N（t）=N0可以將方程設(shè)為：

N（t0）=N0，Dndr=rN.

對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行求解，最終可以獲得人口隨時(shí)間變化的指數(shù)關(guān)系.

第三步就是將模型應(yīng)用到實(shí)際問題中，并對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn).使用馬爾薩斯模型能夠?qū)θ丝谧鞒鰷?zhǔn)確預(yù)測(cè)，得出了人口增長率、未來幾年人口數(shù)量等.

二、在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用

懸鏈線問題是工程開展當(dāng)中常會(huì)遇到的問題.具體見下圖所示，該位置具有一個(gè)均勻的電纜線，電纜線質(zhì)地柔軟，韌性較強(qiáng)，將其懸掛在A、B兩點(diǎn)位置處，利用重力作用使其一直保持平衡狀態(tài)，進(jìn)而構(gòu)建出曲線方程.

圖1 懸鏈線

這一問題最初是由科學(xué)家提出來的，分別是James Bernoulli（詹姆斯·貝努利）與Galileo（伽利略），兩位科學(xué)家對(duì)這一問題以拋物線形式進(jìn)行了猜想，但是得出的結(jié)論不準(zhǔn)確.但最終依然被James Bernoulli求解了.懸鏈線被廣泛應(yīng)用在了工程領(lǐng)域.

將曲線方程設(shè)為y=y（x），p表示懸鏈線單位長度所受的重力，取曲線上的任意一點(diǎn)P（x，y）位置處，該位置處的張力由T（x）表示，得出了該處切點(diǎn)與x軸的夾角值，進(jìn)而得出：

T（x）cos[θ（x）]，T（x）sin[θ（x）].

表示的是P點(diǎn)的水平張力與垂直張力.

再依據(jù)以上內(nèi)容設(shè)P在點(diǎn)x處的增量，增量用dx表示，則Q點(diǎn)橫坐標(biāo)表示為x+dx，隨著懸鏈線的重力不斷下降，水平位置處會(huì)有：

T（x）cos[θ（x）]=T（x=dx）cos[θ（x+dx）].

進(jìn)而，懸鏈處于平衡狀態(tài)時(shí)，張力在任意一點(diǎn)處相等，可以將懸鏈線上的某水平張力常數(shù)表示為：

T（x）cos[θ（x）]=H，H∈R.

通過將上述這些公式帶入求解，能夠最終得到的懸鏈線方程為：

y=HpchpH（x-x0）+h-Hp.

將懸鏈線使用在高壓架空線路中是非常常見的，對(duì)兩座相鄰的、距離相等的鐵塔進(jìn)行擬設(shè)，垂直度設(shè)為a，結(jié)合上述方程，則最終的坐標(biāo)表示如下：

圖2 高空架設(shè)

等到假設(shè)出來的懸鏈線與某頂點(diǎn)相互垂直，則可以將其看成是一段拋物線，為此，工程中能夠?qū)⑦@一拋物線當(dāng)成懸鏈線使用，其中，p表示的是該線段上的重力值.H值可以表示為：

y=HpchpHx-Hp.

三、電工學(xué)方面的應(yīng)用

一個(gè)電路與機(jī)械裝置包含了擴(kuò)音器與永磁體，其模型就是一個(gè)常微分方程.具體如下圖3所示

圖3 擴(kuò)音器模型

一個(gè)變電源電壓E（t）能夠驅(qū)動(dòng)音圈轉(zhuǎn)換器，進(jìn)而將系數(shù)轉(zhuǎn)換為T，再通過轉(zhuǎn)換器推動(dòng)揚(yáng)聲器的振動(dòng)膜振動(dòng).音圈是組成能換器的重要部件，其實(shí)質(zhì)是在永磁場(chǎng)內(nèi)運(yùn)行.一旦出現(xiàn)過多的變化電流經(jīng)過音圈，音圈將在電流與磁力作用下運(yùn)行.可以用f表示的是揚(yáng)聲器與轉(zhuǎn)換器間的相互作用力，而R表示電阻器，L為轉(zhuǎn)換的感應(yīng)系數(shù).c表示的是阻尼系數(shù)，k表示彈簧的彈性系數(shù)，T與變量間的相互關(guān)系式為：

e=Tdx[]dt，f=-Ti.

E表示是音圈兩端存在的電壓值，x表示音圈位移，運(yùn)用牛頓二定律與回路電壓定律進(jìn)行計(jì)算，可以得出的微分方程為：

md2x[]dt2+cdx[]dt+kx=Ti，

Tdx[]dt+Ldi[]dt+Ri=E（t），

可以看出，通過設(shè)C這個(gè)任意常數(shù)量，能夠?qū)σ羧ξ灰苮進(jìn)一步求解，其與轉(zhuǎn)換器電流i可以表示為：

使用常微分方程解決了電工學(xué)中各種復(fù)雜的問題，能夠使參數(shù)提取、關(guān)系構(gòu)建更為直觀、有效，對(duì)基礎(chǔ)模型建立有重要意義.

結(jié)束語

本文主要對(duì)數(shù)學(xué)建模中常微分方程在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用，通過上述這些應(yīng)用實(shí)例表現(xiàn)了建模中微積方程的作用，在不同領(lǐng)域中提供了建模支持.

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