許麗蕓

2003年，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》（以下簡稱“中國標(biāo)準(zhǔn)”）公布之后，各省市先后進(jìn)行了實踐，至今已經(jīng)整整12年了.2013年至今，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)正在積極修訂，有效借鑒國外高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)點，可以為我國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂提供參考.本文所涉及的美國標(biāo)準(zhǔn)是2010年6月美國州立學(xué)校首席官員委員會領(lǐng)導(dǎo)（CCSSO）和全國州長協(xié)會（NGA）最佳實踐中心聯(lián)合頒布的《州共同核心數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)》.美國成就公司（簡稱Achieve）關(guān)于課程標(biāo)準(zhǔn)的評價提出了如下的評價指標(biāo)：嚴(yán)格性（rigor）、連貫性（coherence）與聚焦性（focus）三個指標(biāo).[1]從一定程度上來說，這三條準(zhǔn)則在標(biāo)準(zhǔn)中的體現(xiàn)反映了標(biāo)準(zhǔn)的可行性和實用性.因此，本文從聚焦性、連貫性、嚴(yán)謹(jǐn)性的角度出發(fā)，進(jìn)一步比較中美最新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)彼此間的差異，引發(fā)我們對于中國新一輪數(shù)學(xué)課程改革的思考，進(jìn)而更好地實施課程改革.函數(shù)內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，中國標(biāo)準(zhǔn)中函數(shù)內(nèi)容是必修1和必修4的主要內(nèi)容.而在美國標(biāo)準(zhǔn)中“函數(shù)”內(nèi)容也是主要知識點之一.因此，我們選擇“函數(shù)”部分的內(nèi)容具體地比較中美數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的聚焦性、連貫性、嚴(yán)謹(jǐn)性.

一、聚焦性視角下的中美高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

聚焦性是指標(biāo)準(zhǔn)是否表明一個適當(dāng)?shù)钠胶庠诟拍罾斫?，程序技巧，和重點在應(yīng)用和建模的問題解決；標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該是可教的在一個學(xué)年（或在四年的高中），和應(yīng)該清楚在一個給定的年級或主題區(qū)域的關(guān)鍵想法.由此可見，所謂聚焦性，是指教學(xué)應(yīng)該聚焦于標(biāo)準(zhǔn)里所強(qiáng)調(diào)的那些概念，使得學(xué)生能獲得基礎(chǔ)性概念的深刻理解和程序技巧，以及應(yīng)用他們所知道的數(shù)學(xué)知識去解決課堂上和課堂之外數(shù)學(xué)問題的能力.

美國標(biāo)準(zhǔn)中的函數(shù)部分僅僅只是羅列了每個概念類別的綜述，并沒有具體指出教學(xué)過程中應(yīng)聚焦于哪些關(guān)鍵的概念.例如，數(shù)學(xué)Ⅰ中的函數(shù)內(nèi)容在敘述解釋函數(shù)這一部分時，僅僅是羅列了以下三個內(nèi)容：理解一個函數(shù)的概念和使用函數(shù)符號；解釋出現(xiàn)在應(yīng)用程序的上下文中的功能；分析函數(shù)使用不同的方式.從上可以看出，教師在教學(xué)過程中并不能清楚地把握哪些才是知識的要點.而中國標(biāo)準(zhǔn)在“前言”中指出了標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)要求所包括的三個方面：知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀，并將此在“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中具體化.中國標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了“知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀”所“涉及的行為動詞”，并按水平分類.例如，屬于“知識與技能”領(lǐng)域的“知識/了解/模仿”水平的動詞有“了解、體會、知道、識別、感知、認(rèn)識、初步了解、初步體會、初步學(xué)會、初步理解、求”；“過程與方法”領(lǐng)域中“經(jīng)歷/模仿”水平的動詞有“經(jīng)歷、觀察、感知、體驗、操作、查閱、借助、模仿、收集、回顧、復(fù)習(xí)、參與、嘗試”；“情感、態(tài)度與價值觀”領(lǐng)域中“反映/認(rèn)同”水平的動詞有“感受、認(rèn)識、了解、初步體會、體會”等.在“內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)”中表述函數(shù)部分內(nèi)容的同時，利用這些動詞表述出“知識與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價值觀”方面的目標(biāo).在數(shù)學(xué)1中函數(shù)概念與基本初等函數(shù)Ⅰ的第一講函數(shù)內(nèi)容包括：（1）通過豐富實例，進(jìn)一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)，體會對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.（2）在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ▓D像法、列表法、解析法）表示函數(shù).（3）通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.（4）通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解這些函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲导捌鋷缀我饬x；知道奇偶性的含義.（5）學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì).通過對于所涉及三維目標(biāo)不同水平的行為動詞的把握，教師可抓住教學(xué)中應(yīng)重點講解哪些知識.其次，中國標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容皆安排了課時，必修1中的函數(shù)有32課時，必修4中三角函數(shù)有14課時.教師可以依據(jù)課時的大小來判斷需重點講解的知識點.由此可看出，聚焦性在中國標(biāo)準(zhǔn)中體現(xiàn)的較為明顯.

二、連貫性視角下的中美高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

連貫性是指標(biāo)準(zhǔn)是否反映出有意義的結(jié)構(gòu)，揭示主題之間的重大關(guān)系和建議一個合乎邏輯發(fā)展的內(nèi)容和技能.連貫性源于知識間的聯(lián)系；標(biāo)準(zhǔn)里的一些聯(lián)系將一個年級里的數(shù)學(xué)框架編織在一起；而大多數(shù)聯(lián)系是縱向的，此套標(biāo)準(zhǔn)適用于隨著跨年級不斷增長的知識，技能的發(fā)展.由上可知，連貫性不僅包括跨年級間知識的連貫性，還包括某一部分知識點之間的聯(lián)系.

中國標(biāo)準(zhǔn)中函數(shù)知識點的聯(lián)系，不僅包括與方程、不等式、算法、微積分等內(nèi)容的橫向聯(lián)系，還包括在整個中學(xué)數(shù)學(xué)中多次接觸，反復(fù)體會，螺旋上升地學(xué)習(xí)函數(shù)的縱向聯(lián)系.例如，標(biāo)準(zhǔn)要求結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù)，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系可見，為后面的方程學(xué)習(xí)做一些準(zhǔn)備.美國標(biāo)準(zhǔn)將數(shù)學(xué)內(nèi)容分為以下五個主題：數(shù)與量、代數(shù)、函數(shù)、建模、幾何、統(tǒng)計與概率.該分類體現(xiàn)了連貫的高中數(shù)學(xué).以函數(shù)為例，學(xué)生有關(guān)函數(shù)的學(xué)習(xí)跨越了傳統(tǒng)的“數(shù)”的課程的邊界，通向微積分的內(nèi)容.例如，標(biāo)準(zhǔn)要求在指定的間隔中計算和解釋函數(shù)的平均變化率（象征性地提出或作為一個表格），從圖估計變化率，為以后微積分的學(xué)習(xí)打下一定的基礎(chǔ).可見，中美數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)均體現(xiàn)了跨年級間知識的連貫性.

但中國標(biāo)準(zhǔn)中高中數(shù)學(xué)課程分為必修和選修.必修課程由5個模塊組成，選修課程有4個系列，其中系列1、系列2由若干個模塊組成，系列3、系列4由若干專題組成.“函數(shù)”內(nèi)容主要在教材必修1和必修4中，必修1中的函數(shù)有32課時，主要內(nèi)容有：（1）函數(shù)，（2）指數(shù)函數(shù)，（3）對數(shù)函數(shù)，（4）冪函數(shù)，（5）函數(shù)與方程，（6）函數(shù)模型及其應(yīng)用，（7）實習(xí)作業(yè)；必修4中三角函數(shù)有14課時，是學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)三角函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)解決實際問題的基本思想.中國標(biāo)準(zhǔn)中將“函數(shù)”內(nèi)容劃分為一些較小的模塊，忽視了函數(shù)知識點間的內(nèi)部聯(lián)系.由此可見，我們的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是零散分布的個體，沒有較強(qiáng)的連貫性，不能體現(xiàn)相關(guān)知識點之間的關(guān)聯(lián).但美國標(biāo)準(zhǔn)中高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是按照數(shù)學(xué)主題組織的，并對每個主題中的內(nèi)容進(jìn)行分層.“函數(shù)”內(nèi)容在標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)Ⅰ、數(shù)學(xué)和Ⅱ數(shù)學(xué)Ⅲ中是集中體現(xiàn)的，是一個內(nèi)容連貫的整體.從上我們可以看出，美國標(biāo)準(zhǔn)中連貫性體現(xiàn)的較為明顯.

三、嚴(yán)謹(jǐn)性視角下的中美高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)

嚴(yán)謹(jǐn)性是指程度，標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)出關(guān)鍵內(nèi)容為學(xué)生獲得超越高中的成功做準(zhǔn)備.嚴(yán)謹(jǐn)性不僅僅包括先進(jìn)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，還需要深入理解每個年級的內(nèi)容，并提供足夠的關(guān)注使這成為可能.可見，嚴(yán)謹(jǐn)性既包括包含的先進(jìn)內(nèi)容，也包括內(nèi)容的深度.

語言有國界，但數(shù)學(xué)是沒有國界的，這兩份標(biāo)準(zhǔn)有很多共同之處和通常描述相同的內(nèi)容.例如，兩國課程標(biāo)準(zhǔn)中相同的內(nèi)容是：對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖像和應(yīng)用；方程和函數(shù)的關(guān)系；三角函數(shù)；函數(shù)模型；函數(shù)的應(yīng)用等.但是，對于這些具體內(nèi)容的呈現(xiàn)上關(guān)于被包含的內(nèi)容有一些差異.從知識的廣度上看，中國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“函數(shù)”部分的知識點是25個，而美國標(biāo)準(zhǔn)的知識點是34個，美國的函數(shù)知識點比我國多9個.由此可看出，美國涉及的函數(shù)知識點大于中國.從內(nèi)容是否深入的角度上來看，美國標(biāo)準(zhǔn)“函數(shù)”部分知識點的深度高于我國.例如，美國標(biāo)準(zhǔn)中的分段函數(shù)、跳躍函數(shù)、絕對值函數(shù)和多項式函數(shù)在中國標(biāo)準(zhǔn)中沒有提到；美國標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生會證明畢達(dá)哥拉斯同一性sin 2（θ） + cos2 （θ） = 1，而中國標(biāo)準(zhǔn)則需學(xué)生理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin 2（θ） + cos2 （θ） = 1，不需要學(xué)生掌握此證明.從嚴(yán)謹(jǐn)性的角度來看，美國課程標(biāo)準(zhǔn)包含先進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)容的范圍更廣，深度比中國標(biāo)準(zhǔn)更深.

總的來說，從連貫性和嚴(yán)謹(jǐn)性的角度來看，中國標(biāo)準(zhǔn)仍存在一些不足，美國課程標(biāo)準(zhǔn)在這兩方面的設(shè)置還是值得我們注意和借鑒的.因此，中國數(shù)學(xué)課程改革應(yīng)在理性反思的基礎(chǔ)上，應(yīng)恰當(dāng)運(yùn)用美國標(biāo)準(zhǔn)的成果，促進(jìn)我國高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的完善.

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