孔令明

初中的數(shù)學(xué)教師通常都有這樣的體會(huì)：大多數(shù)學(xué)生探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)的能力不強(qiáng)，在通常情況下，即使是一般的探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生也很難獲得成功，更談不上難度較大的探究性數(shù)學(xué)活動(dòng).怎樣才能讓學(xué)生的探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)順利獲得成功？我認(rèn)為在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教師的指導(dǎo)性教學(xué)策略是關(guān)鍵.

案例

1.已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，CP為△ABC的角平分線，延長(zhǎng)CP交△ABC的外接圓于D.

（1）如圖1，求證：AC·BC=CP·CD.

（2）若AB是⊙的直徑，AC=6，CD=72，如圖2.（1）求⊙的半徑以及PD的長(zhǎng).

圖1圖2

（出示題目后，教師提出問題）

師：同學(xué)們能不能在1分鐘的時(shí)間內(nèi)自主探究解決第一個(gè)小問題？

（同學(xué)們很快在下面自主探究起來，同學(xué)們根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)很快發(fā)現(xiàn)：結(jié)論中的四條線段AC，CP，CD，BC分別在兩個(gè)三角形△ACP和△DCB中.于是1分鐘后大多數(shù)同學(xué)都舉起了手）

生1：連接DB.（老師將圖1中的兩點(diǎn)D、B連起來，如圖3）

在△ACP和△DCB中，

∵CP為△ABC的角平分線，∴∠ACP=∠DCB.

根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到∠CAP=∠CDB；

∴△ACP∽△DCB，∴ACDC=PCBC，∴AC·BC=CP·CD.

圖3圖4

師：同學(xué)們說，生1的解答正確嗎？

（同學(xué)們齊聲回答道：正確）

師：生1的解答太棒了，同學(xué)們掌聲鼓勵(lì).

（掌聲過后，老師提出問題）

師：同學(xué)們能不能用3分鐘的時(shí)間自主探究解決.

第二個(gè)小問題求⊙O的半徑呢？說出你的方法.

（同學(xué)們迅速在下面自主探究，老師在各個(gè)小組的行間巡視.

老師在巡視的過程中，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)同學(xué)都在嘗試著用解決第

一個(gè)小問題的方法△ACP∽△DCB以及用解Rt△ABC來思考探索

解決第二個(gè)小問題.3分鐘的時(shí)間到了，可是同學(xué)們探索來探索去，還是沒有結(jié)果.

（正在同學(xué)們愁眉苦臉，一籌莫展的時(shí)候，老師提出）

師：同學(xué)們可以再延長(zhǎng)2分鐘的時(shí)間小組合作交流一下.

（同學(xué)們迅速在下面小組合作交流，2分鐘的時(shí)間又到了，同學(xué)們交流來交流去，還是沒有結(jié)果，此時(shí)，老師提問）

師：∠ACD等于多少度呢？（同學(xué)們應(yīng)聲：45°）

師：AC=6，∠ACD=45°，CD=72 這三個(gè)已知條件是在哪一個(gè)三角形中呢？

（同學(xué)們應(yīng)聲：△ACD）

師：這就對(duì)了，同學(xué)們根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在一個(gè)三角形中，有了三個(gè)已知條件，這個(gè)三角形可以怎么樣？

（同學(xué)們這才恍然大悟，齊聲回答道：這個(gè)三角形可以解出來.根據(jù)同學(xué)們的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，可以將一般的三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形來解.于是，同學(xué)們迅速在下面動(dòng)起手來.不一會(huì)兒，就有不少的同學(xué)舉起了手）

生2：連AD，BD，作AE⊥CD于點(diǎn)E.（老師在圖2中作圖，如圖4）

在Rt△ACD中，∵∠ACE=45°，AC=6.根據(jù)勾股定理可以得到AE=CE=32.

又∵CD=72，∴DE=42.在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理可以得到AD=52.

由條件得到：△ADB是等腰直角三角形.

∵AD=DB=52，∴根據(jù)勾股定理可以得到AB=10，∴⊙O的半徑為5.

師：同學(xué)們?cè)诮鉀Q第二個(gè)小問題時(shí)要注意：在運(yùn)用第一個(gè)小問題的結(jié)論不能解決第二個(gè)小問題情況下，同學(xué)們要立即轉(zhuǎn)換思維方式，從其他角度尋找已知條件，然后再根據(jù)自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步深入探究，最后解決問題.

探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心是任務(wù)驅(qū)動(dòng)，在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，要讓探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)有效甚至高效，教師要準(zhǔn)確地把握學(xué)情，分析難點(diǎn)形成的原因，針對(duì)各種難點(diǎn)的具體特點(diǎn)，采取相應(yīng)的措施，指導(dǎo)并幫助學(xué)生克服障礙.

綜上所述，學(xué)生是探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)的主人，他們都有成為探究者，發(fā)現(xiàn)者，創(chuàng)造者的愿望.要想讓學(xué)生的探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)順利獲得成功，教師要為學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)搭建腳手架.因此，在探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)中，教師要重視對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)性教學(xué)策略，要從多個(gè)不同的角度不斷地指導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，深入探究；從而讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維創(chuàng)新能力向著更高的深度層次和廣度層次方向發(fā)展，這是新課程改革的要求，也是時(shí)代賦予我們的要求.