凱歌張偉

（1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）（2.內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特市 010070）

一類非線性金融系統(tǒng)的數(shù)值研究*

凱歌1，2張偉1?

（1.北京工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，北京 100124）（2.內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特市 010070）

利用數(shù)值模擬的方法研究了一類非線性金融系統(tǒng)的動力學(xué)行為.建立了由生產(chǎn)、資金、股份、勞動力四個部分構(gòu)成的一類非線性金融系統(tǒng)的動力學(xué)模型.首先運用四維微分方程來描述由利率、投資需求、價格指數(shù)和平均利潤率構(gòu)成的四個狀態(tài)變量隨時間的變化，然后將金融系統(tǒng)簡化為四維自治微分方程組.通過對四維自治微分方程組進(jìn)行數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)了非線性金融系統(tǒng)的動力學(xué)特性，從數(shù)值模擬獲得的三維相圖反映了金融系統(tǒng)的非線性特性.從數(shù)值模擬結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在特定的條件下非線性金融系統(tǒng)存在周期運動和混沌運動.除此之外，還觀察到參數(shù)的改變對四維自治金融系統(tǒng)的非線性特性有著顯著的影響.

非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)， 混沌金融系統(tǒng)， 復(fù)雜的動力學(xué)行為， 混沌運動， 經(jīng)濟(jì)動力學(xué)

引言

金融系統(tǒng)是一個由眾多要素組成的，是開放的，遠(yuǎn)離平衡態(tài)的極其復(fù)雜的非線性系統(tǒng).在這個非線性系統(tǒng)中，隨著各種參數(shù)的變化，系統(tǒng)的運動狀態(tài)由于失穩(wěn)而出現(xiàn)混沌狀態(tài)是相當(dāng)普遍的現(xiàn)象.

近年來，非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)在當(dāng)代經(jīng)濟(jì)學(xué)中已成為研究熱點.非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究迅速發(fā)展，并成為非線性問題的研究領(lǐng)域中非?；钴S的問題之一.非線性經(jīng)濟(jì)動力學(xué)理論分析有助于預(yù)測和解決經(jīng)濟(jì)市場中存在的一些非線性問題，對于非線性經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的研究具有重要的理論和實踐意義.

1980年，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家Stutzer［1］首次在Havvelmo經(jīng)濟(jì)增長方程中揭示了宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象，使人們認(rèn)識到建立在傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)之上的經(jīng)濟(jì)模型的局限性，并且最早將混沌模型應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)［3-4］.

最近十年，很多專家研究了非線性經(jīng)濟(jì)學(xué).Stutzer［1，3］發(fā)現(xiàn)，在宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)增長方程中存在著混沌現(xiàn)象.他們的研究使人們認(rèn)識到了傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)理論基礎(chǔ)上的經(jīng)濟(jì)模式的局限性.此后學(xué)者們開始應(yīng)用混沌理論來研究經(jīng)濟(jì)學(xué).馬和陳［4］研究了分岔拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及一類非線性金融系統(tǒng)的全局復(fù)雜性.Ishiyama和Saiki［5］研究了嵌入在混沌吸引子中的不穩(wěn)定軌道和混沌經(jīng)濟(jì)增長周期.建立宏觀經(jīng)濟(jì)增長周期模型，解決了嵌入在混沌吸引子中的定性和定量相關(guān)的不穩(wěn)定周期解.陳［6］運用數(shù)值模擬分析復(fù)雜的動力學(xué)特性，如周期性、準(zhǔn)周期性和金融系統(tǒng)的延時反饋中的混沌行為等.Jian［7］利用全局指數(shù)吸引集和Lyapunov穩(wěn)定性理論的定義研究了很多金融系統(tǒng)的全局指數(shù)吸引集和同步問題.Zhao［8］利用Lyapunov穩(wěn)定性理論和Routh-Hurwitz標(biāo)準(zhǔn)研究了三維混沌金融系統(tǒng)的全局漸進(jìn)同步策略.Yu［9］運用數(shù)值模擬分析了混沌金融系統(tǒng)的平衡、穩(wěn)定、混沌吸引子、Lyapunov指數(shù)及分岔.Cantore和Levine［10］研究宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中具有評估參數(shù)的重新參數(shù)化模型，得出重新參數(shù)化的方法與標(biāo)準(zhǔn)是等效的.王［11］和邱等人［12］指出非線性動力學(xué)可以研究黃金價格的波動、及其導(dǎo)致國際黃金價格總水平變動的主要因素，對金融危機(jī)具有預(yù)測、預(yù)警的作用.張偉等人［13-14］指出非線性動力學(xué)不僅涉及學(xué)科發(fā)展的前沿問題，還涉及了國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的國家重大工程建設(shè)關(guān)鍵技術(shù)問題.馬等人［15］建立了一類復(fù)雜動態(tài)宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，研究了時間延遲影響到儲蓄率及動態(tài)金融穩(wěn)定性.

本文建立了一類具有混沌特性的非線性金融學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)模型，運用非線性理論和方法研究了金融系統(tǒng)的動力學(xué)行為.通過數(shù)值方法，運用計算機(jī)軟件MATLAB來研究非線性金融系統(tǒng)中的周期運動、擬周期運動及混沌運動.經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)改變金融系統(tǒng)的參數(shù)時，能得到不同的周期運動及混沌運動行為.

1 金融系統(tǒng)的非線性動力學(xué)方程

基于Jian［7］的研究，金融系統(tǒng)由四個子模塊組成，分別為：生產(chǎn)、資金、股份及勞動力，它們由三個一階微分方程表示.該系統(tǒng)描述了三個狀態(tài)變量的時間變化：利率x、投資需要y及價格指數(shù)z.從經(jīng)濟(jì)學(xué)的角度出發(fā)，影響利率的因素不僅與投資需求和價格指數(shù)有關(guān)，而且與平均利潤率也息息相關(guān).并且平均利潤率和利率之間成正比.因此對于金融系統(tǒng)給出如下方程［9］

其中u表示平均利潤率，a是存儲量，b是投資增長率，c是供求系數(shù)，參數(shù)d和k是為正的常數(shù).

金融系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為表現(xiàn)為不同的周期運動及混沌運動.周期運動、混沌運動響應(yīng)可通過幾種常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)來確定，如波形、相圖、功率譜、Poincare圖和分岔圖等.在本文中，上述判斷標(biāo)準(zhǔn)將被用來說明金融系統(tǒng)中的周期運動與混沌運動的存在性.

2 四維超混沌金融系統(tǒng)的動力學(xué)分析

四維混沌映射經(jīng)過初步設(shè)計后，還需要數(shù)學(xué)分析和數(shù)值模擬來分析其動力學(xué)特性，證明該映射是超混沌映射，同時說明金融系統(tǒng)中的周期運動與混沌運動的存在性.

2.1 吸引子的耗散性及有界性

當(dāng)a＝0.1，b＝0.2，c＝1.2，d＝0.1，k＝0.15時，四維系統(tǒng)（1）的散度是

所以當(dāng)a+b+c+k＞0時，可知該映射系統(tǒng)是一個耗散系統(tǒng).系統(tǒng)的相體積元以指數(shù)率收縮，隨著t→∞，系統(tǒng)的軌線會漸變演化到一個不變的吸引子集合中.從而說明吸引子的存在性.

即體積元V0在時刻t時收縮為體積元V0e-（a+b+c+k）t.這意味著，當(dāng)t→∞時，包含系統(tǒng)軌線的每一個體積元以指數(shù)率-（a+b+c+k）收縮到0.因此，系統(tǒng)軌線最終會被限制在一個體積0的集合上，且它漸進(jìn)運動固定在一個吸引子上.

2.2 映射的平衡點及其穩(wěn)定性的分析

四維超混沌系統(tǒng)（1）的平衡點滿足方程（2）

當(dāng)參數(shù)a，b，c，d，k滿足

超混沌系統(tǒng)（2）有三個平衡點：

在平衡點P0（0，1／b，0，0）的Jacobi矩陣為

用MATLAB軟件很容易證明當(dāng)

a＝0.1，b＝0.2，c＝1.2，d＝0.1，k＝0.15時，Jacobi矩陣J0特征值為

λ1＝9，λ2＝-0.9，λ3＝-0.1，λ4＝-0.6可知，四維金融系統(tǒng)中P0是一個不穩(wěn)定的鞍點.

在平衡點P1的Jacobi矩陣為

同理，在平衡點P2處，Jacobi矩陣J2的特征值為

由此，可知新的混沌映射的平衡點都是不穩(wěn)定的.

3 金融系統(tǒng)參數(shù)變化的動力學(xué)性質(zhì)和數(shù)值模擬

3.1 金融系統(tǒng)的周期運動

圖1說明了當(dāng)投資增長率為b＝0.2時金融系統(tǒng)發(fā)生周期性運動.其他參數(shù)和初始條件的選取如下：

a＝0.1，b＝0.2，c＝1.2，d＝0.1，k＝0.15，

x0＝1，y0＝1，z0＝0.6，u0＝0.6.

圖1（a）表示在空間（x，y，u）上的三維相圖，圖1（b）和（c）分別表示平面（x，u）上的二維相圖和平面（y，u）上的二維相圖，圖1（d）和（e）分別表示表示平面（t，x）和平面（t，y）上的波形圖.數(shù)值計算得到金融系統(tǒng)發(fā)生了周期運動.

圖1 金融系統(tǒng)的周期運動：（a）-（c）相圖，（d）（e）時間歷程Fig.1 Periodicmotion of the financial system：（a）-（c）phase，（d）（e）time history

在圖2（a）-（e）中，投資增長率b被選為b＝0.15，其他參數(shù)和初始條件都與圖1相同.通過數(shù)值計算得到金融系統(tǒng)發(fā)生了擬周期運動.

3.2 金融系統(tǒng)的混沌運動

圖3（a）-（e）給出了當(dāng)投資增長率b減為b＝0.1時，金融系統(tǒng)發(fā)生混沌運動，其他參數(shù)和初始條件都與圖1時的相同.與圖2和圖3對比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)投資成本參數(shù)b變小時，相圖上會出現(xiàn)差異.

圖2 金融系統(tǒng)的擬周期運動：（a）-（c）相圖，（d）（e）時間歷程Fig.2 Quasi-periodic motion of the financial system：（a）-（c）phase，（d）（e）time history

圖3 金融系統(tǒng)的第一類混沌運動：（a）-（c）相圖，（d）（e）時間歷程Fig.3 The first class of chaoticmotion for the financial system：（a）-（c）phase，（d）（e）time history

圖4（a）-（e）說明了當(dāng)投資增長率參數(shù)減少為b＝0.05時，金融系統(tǒng)存在混沌運動，其他參數(shù)和初始條件與圖1相同.從圖3和圖4的三維相圖中可得知，它們的形狀完全不同.

圖5說明了當(dāng)投資增長率參數(shù)變?yōu)閎＝0.01時，金融系統(tǒng)存在混沌運動，其他參數(shù)和初始條件都與圖1相同.從圖4和圖5三維相圖得出，它們的形狀是完全不同的.對比圖3、圖4和圖5三維相圖可得出，參數(shù)b變小時混沌運動的圖形也發(fā)生變化.

圖4 金融系統(tǒng)的第二類混沌運動：（a）-（c）相圖，（d）（e）時間歷程Fig.4 The second class of chaotic motionfor the financial system（a）-（c）phase，（d）（e）time history

圖5 融系統(tǒng)的第三類混沌運動：（a）-（c）相圖，（d）（e）時間歷程Fig.5 The third class of chaotic motion for the financial system：（a）-（c）phase，（d）（e）time history

基于圖1～5可以得知，當(dāng)投資增長率參數(shù)b變化時，此金融系統(tǒng)的動力學(xué)行為從周期運動、擬周期運動變?yōu)榛煦邕\動.我們推測b＝0.15和b＝0.1之間存在分岔.分岔是系統(tǒng)某一參數(shù)連續(xù)變化到達(dá)某一臨界值時，系統(tǒng)的全局性態(tài)會發(fā)生突然的變化，參數(shù)產(chǎn)生兩條或更多條的分支.利用Runge-Kutta算法和Poincare映射理論得到分岔圖的數(shù)值解.在周期運動中，Poincare映射是幾個獨立分散的點；在混沌運動中，Poincare映射是由被限制在Poincare截面上的點組成的.本文中，我們只運用了波形、相圖等幾種常規(guī)標(biāo)準(zhǔn)來判別金融系統(tǒng)的周期運動及混沌運動的發(fā)生.

4 結(jié)論

本文利用數(shù)值方法研究了一類具有混沌特性的非線性金融學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)行為.運用計算機(jī)軟件MATLAB對金融系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，數(shù)值結(jié)果給出了對于金融系統(tǒng)的四個一階微分方程混沌運動的存在性的判斷.從數(shù)值模擬得出，當(dāng)選取不同的投資增長率參數(shù)b和其他的參數(shù)時系統(tǒng)存在周期性運動或者混沌運動的發(fā)生，同時也發(fā)現(xiàn)混沌運動的相圖形狀是完全不同的.此外，投資增長率參數(shù)b對四維自治非線性系統(tǒng)的非線性動力學(xué)行為具有顯著的影響.

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NUMERICAL STUDY OF A CLASSOF NONLINEAR FINANCIAL SYSTEM*

Kai Ge Zhang Wei?
（Beijing University of Technology，Beijing100124，China）
（College of Statistics and Mathematics Inner Mongolia University of Finance and Economics，Hohhot010070，China）

In this paper，the dynamic characteristics of a class of nonlinear finance system are investigated by means of numerical simulation.Themodel developed in this work is composed of four sub-blocks：production，money，stock and labor force.At first，the developmentof four state variables for the interest rate，the investment demand，the price exponent，and the average profitmargin with the time are described by four dimensional differential equations.The hyper chaotic finance system is simplified as a group of four dimensional autonomous differential equations.The nonlinear dynamic characteristics of the system are then examined by the numerical simulations of four dimensional differential equations.The three-dimensional phase diagrams illustrated the nonlinear characteristics of the financial system.Moreover，the numerical results demonstrated thatunder certain condition，periodic motion and chaoticmotion exist in the nonlinear system.In addition，it is found that system parameters and initial conditions have great influence on the nonlinear dynamical behavior of four dimensional autonomous hyper chaotic systems.

nonlinear economics， chaotic financial system， complex dynamic behavior， chaoticmotion，economic dynamics

10.6052／1672-6553-2016-38

2015-11-3收到第1稿，2016-5-26收到修改稿.

*內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項目（NJZY134），內(nèi)蒙古財經(jīng)大學(xué)校級科研項目（KY1306）

?通訊作者E-mail：sandyzhang0＠yahoo.com

Received 3 November 2015，revised 26 May 2016.

*The project supported by the Inner Mongolia Autonomous Region of Institutions of Higher Learning Scientific Research Projects（NJZY134）and Inner Mongolia University of Finance and Economics University Scientific Research Projects（KY1306）

?Corresponding author E-mail：sandyzhang0＠yahoo.com