汪健龍李萬祥

（蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

一類沖擊碰振系統(tǒng)的分岔及混沌演化分析

汪健龍?李萬祥

（蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，蘭州 730070）

運(yùn)用Poincaré映射理論與計(jì)算機(jī)仿真，研究了三自由度含間隙碰振系統(tǒng)的分岔和向混沌演化的道路.結(jié)果表明，在Hopf-flip余維二分岔點(diǎn)附近存在倍化分岔和Hopf分岔，不動(dòng)點(diǎn)先發(fā)生倍化分岔形成周期2點(diǎn)，又經(jīng)過Hopf分岔形成了概周期運(yùn)動(dòng).Hopf-Hopf余維二分岔通過數(shù)值仿真展現(xiàn)了Hopf分岔、環(huán)面分岔以及由“近正方形”概周期吸引子轉(zhuǎn)遷為混沌的奇異過程.通過對該類系統(tǒng)的研究，可以為工程實(shí)際中的含間隙碰振系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論參考.

Poincaré映射， 間隙， 碰振， 混沌， 余維二分岔

引言

含間隙的機(jī)械構(gòu)件在工程實(shí)際中普遍存在，它是不可避免的.有間隙就會(huì)存在碰撞和沖擊，這毫無疑問會(huì)對機(jī)械設(shè)備產(chǎn)生不利的影響.例如，零件組裝時(shí)的間隙會(huì)影響系統(tǒng)的安全性和耐用性；齒輪、連桿、軸承等傳動(dòng)件間的間隙會(huì)降低傳動(dòng)效率.但是，一些機(jī)械設(shè)備是依靠碰撞振動(dòng)來達(dá)到工作目的，比如振動(dòng)落砂機(jī)、沖擊振動(dòng)成型機(jī)、振動(dòng)篩等.正是由于碰撞的存在，機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為會(huì)變得更為復(fù)雜，甚至系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都會(huì)改變.

學(xué)者們在這一方面進(jìn)行了研究，并且得出了一些鮮明的結(jié)論.文獻(xiàn)［1］以兩自由度分段線性系統(tǒng)為研究對象，分析了在一定的參數(shù)下系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)Neimark-Sacker分岔和倍化分岔.文獻(xiàn)［2］建立了轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)的模型，研究了氣流激振力下系統(tǒng)的亞諧共振問題.文獻(xiàn)［3］研究了兩自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Hopf-flip余維二分岔，分析了不動(dòng)點(diǎn)的概周期分岔與倍化分岔.文獻(xiàn)［4］研究了一類實(shí)際模型沖擊振動(dòng)成型機(jī)的周期運(yùn)動(dòng)以及發(fā)生的Hopfflip余維二分岔.數(shù)值仿真了其在該類分岔?xiàng)l件下的動(dòng)力學(xué)行為，并演化了通向混沌的過程.文獻(xiàn)［5］探討了當(dāng)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生余維二分岔時(shí)，周期1、2點(diǎn)的Hopf分岔現(xiàn)象是存在的，并揭示了概周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)環(huán)面倍化與鎖相轉(zhuǎn)遷為混沌的過程.文獻(xiàn)［6］以一單自由度含間隙的彈性約束系統(tǒng)為研究模型，通過數(shù)值計(jì)算證明了Hopf分岔在單自由度系統(tǒng)中的存在性.

本文以工程實(shí)際為出發(fā)點(diǎn)，建立了一類含間隙的碰振模型，求出了其周期解及六維的Poincaré映射.用Matlab編程仿真系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)［7-8］與過渡到混沌的過程.文中主要研究了余維二分岔點(diǎn)［9］附近復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性，用Poincaré映射投影圖、相圖、時(shí)間歷程圖、分岔圖形象地展示了系統(tǒng)隨參數(shù)變化而出現(xiàn)的分岔［10-11］行為.

1 力學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)微分方程

圖1表示存在間隙的三自由度相對碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，工程實(shí)際中許多部件的碰撞可認(rèn)為此模型的簡化.如圖1所示整個(gè)模型由質(zhì)量塊、彈簧和阻尼器相連接而成.彈簧剛度分別為K1、K2、K3、K4，阻尼系數(shù)分別為C1、C2、C3、C4，假定質(zhì)量塊M1、M2、M3只在垂向運(yùn)動(dòng)，三個(gè)振子受到的簡諧激振力為Pisin（ΩT+τ）（i＝1，2，3），當(dāng)滿足關(guān)系X1-X3＝Δ時(shí)，質(zhì)量塊M1將與質(zhì)量塊M3發(fā)生碰撞.這里的阻尼為Rayleigh型比例阻尼，碰撞過取決于碰撞恢復(fù)系數(shù)R，不計(jì)碰撞時(shí)間.

在連續(xù)兩次碰撞之間，該碰振系統(tǒng)無量綱化的運(yùn)動(dòng)微分方程表示為：

圖1 系統(tǒng)力學(xué)模型圖Fig.1 Schematic of the system mechanicalmodel

振子M1與M3碰撞時(shí)的沖擊方程及R為：

式中，下標(biāo)“+”和“-”分別表示碰撞瞬時(shí)前后.

下面對方程（1）解耦，令ψ為正則模態(tài)矩陣，ωn1和ωn2是無碰撞振動(dòng)情況下系統(tǒng)的固有頻率.這里取ψ為變換矩陣，做如下的坐標(biāo)變換

式中，X＝（x1，x2）T；ξ＝（ξ1，ξ2）T.

經(jīng)過坐標(biāo)變換，方程（1）可以寫為：

式中，ψij為正則模態(tài)矩陣ψ的元素和bj是積分常數(shù)，可通過系統(tǒng)的初始條件和模態(tài)參數(shù)確定；Aj和Bj為振幅常數(shù)，可通過穩(wěn)態(tài)解回代求得（j＝1，2，3）.

2 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的Poincaré映射

為了分析碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的概周期運(yùn)動(dòng)和相關(guān)的分岔問題，通常要確定Poincaré映射，并且基于以上周期解，可以寫出擾動(dòng)解.定義截面σ為：

式中，θ＝ωtmod2π.

這里將截面σ作為Poincaré截面.建立周期運(yùn)動(dòng)的映射方程：

式中，v∈R1；X＝X*+ΔX，X′＝X*+ΔX′，X*＝表示位于在Poincaré截面σ上的周期n單碰撞不動(dòng)點(diǎn)，ΔX與ΔX′是擾動(dòng).

文中用q＝p／n來表示周期運(yùn)動(dòng)，其中n表示周期數(shù)，p表示對應(yīng)的碰撞次數(shù).當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)后，在M1與M3碰撞后的瞬時(shí)，令時(shí)間t為0，那么下一次發(fā)生碰撞前的時(shí)間為：

由邊界條件可推得周期運(yùn)動(dòng)的Poincaré映射為：

式中，x10表示未受擾動(dòng)時(shí)質(zhì)量塊M1在t＝0時(shí)刻碰后的位移，x20同上.且

從而建立Poincaré映射，簡要地表示成：

（11）式位于不動(dòng)點(diǎn)處的雅克比矩陣為

式中，ν∈R表示分岔參數(shù)，為系統(tǒng)參數(shù)之一.

利用（12）式的特征值可判別系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性.若線性化矩陣Df（v，0）的全部特征值都位于復(fù)平面單位圓的內(nèi)部，那么周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的.只要特征值穿越單位圓的情況存在，系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)將會(huì)出現(xiàn)分岔.一般來說，由特征值穿越單位圓的位置和數(shù)量來決定分岔為何種類型.

3 數(shù)值仿真

選擇一組無量綱系統(tǒng)參數(shù)值：

um3＝1.75，um2＝0.65，uk2＝1.15，uk3＝0.016，uk4＝1.05，ζ＝0.002，R＝0.65，δ＝0.025.將激勵(lì)頻率ω作為分岔參數(shù)，特征值的穿越趨勢見圖2，依據(jù)判斷條件可知滿足Hopf-flip余維二分岔.即有一對復(fù)共軛特征值和一個(gè)-1的實(shí)特征值橫截單位圓周，剩下的特征值都位于單位圓的內(nèi)部.

圖2 特征值穿越單位圓周Fig.2 Variation of eigenvalues inside the unit circle

圖3 Poincaré映射投影圖Fig.3 Projection draw of Poincarémap

進(jìn)行數(shù)值編程仿真，當(dāng)ω＜ωc＝2.056時(shí)，該系統(tǒng)處于穩(wěn)定的q＝1／1周期運(yùn)動(dòng)，在Poincaré截面上則為一個(gè)q＝1／1不動(dòng)點(diǎn)；隨著激勵(lì)頻率ω的遞增，當(dāng)ω＝2.062時(shí)，穩(wěn)定的q＝1／1不動(dòng)點(diǎn)發(fā)生倍化分岔與Hopf分岔，變?yōu)門2／2吸引不變環(huán)，如圖3（a）、3（b）；若激勵(lì)頻率進(jìn)一步增加，吸引不變?nèi)Φ沫h(huán)面發(fā)生振蕩，如圖3（c）；當(dāng)激勵(lì)頻率ω＝2.072時(shí)，T2／2環(huán)失穩(wěn)，發(fā)生了環(huán)面倍化，在Poincaré截面上形成2T2／2吸引不變環(huán)，如圖3（d）；若激勵(lì)頻率ω繼續(xù)遞增，2T2／2環(huán)面發(fā)生振蕩，如圖3（e）；當(dāng)激勵(lì)頻率ω＝2.074時(shí)，系統(tǒng)經(jīng)環(huán)面倍化轉(zhuǎn)遷為混沌，如圖3（f）.

為了進(jìn)一步分析系統(tǒng)處于混沌運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為，在ω＝2.074的條件下，通過編程分別仿真了3個(gè)質(zhì)量塊的相圖和時(shí)間歷程圖，如圖4.由于質(zhì)塊M1和M3在運(yùn)動(dòng)的過程中會(huì)發(fā)生碰撞，所以其相圖與質(zhì)塊M2的相圖是有區(qū)別的.從圖4（a）、4（e）中，可知碰撞時(shí)“位移不變，速度突變”.從時(shí)間歷程圖可以看出，此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈非周期性，即處于混沌運(yùn)動(dòng).

圖4 ω＝2.074，相圖和時(shí)間歷程圖Fig.4 Phase diagrams and time history diagrams whenω＝2.074

取無量綱系統(tǒng)參數(shù)值為：um3＝1.1，um2＝0.44，uk2＝1.15，uk3＝0.59，uk4＝0.5，ζ＝0.0，R＝0.81，δ＝0.026.以激勵(lì)頻率ω作為分岔參數(shù)，數(shù)值仿真不動(dòng)點(diǎn)鄰域內(nèi)的特征值發(fā)展趨勢，系統(tǒng)特征值的穿越見圖5.當(dāng)ω逐漸減小經(jīng)過ωc＝1.338時(shí)，出現(xiàn)了兩對復(fù)共軛特征值穿越情況，滿足Hopf-Hopf余維二分岔的條件.圖6（a）為分岔圖，從圖中可以看出系統(tǒng)的分岔行為，圖6（b）為圖6（a）的局部放大圖.在分岔圖中難以辨別概周期運(yùn)動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)，因此還需進(jìn)行進(jìn)一步的分析.

圖5 特征值穿越單位圓周Fig.5 Variation of eigenvalues inside the unit circle

圖6 分岔圖Fig.6 Bifurcation diagrams

在這組參數(shù)值下進(jìn)行數(shù)值仿真，如圖7所示.隨著激勵(lì)頻率ω的減小，當(dāng)ω＝1.338時(shí)，穩(wěn)定的q＝1／1不動(dòng)點(diǎn)發(fā)生Hopf分岔，Poincaré截面上形成一個(gè)不變?nèi)Γ到y(tǒng)呈現(xiàn)概周期運(yùn)動(dòng)，如圖7（a）所示；當(dāng)激勵(lì)頻率繼續(xù)減小時(shí)，吸引不變?nèi)Φ墓饣灾饾u減弱并發(fā)生振蕩，如圖7（b）；當(dāng)激勵(lì)頻率ω＝1.32687時(shí)，概周期吸引子發(fā)生環(huán)面分岔，變?yōu)椤皫睢毙停鐖D7（c）；隨著激勵(lì)頻率ω進(jìn)一步遠(yuǎn)離分岔點(diǎn)時(shí)，產(chǎn)生了奇特的“近正方形”概周期吸引子，如圖7（d）；當(dāng)激勵(lì)頻率ω＝1.321時(shí)，退化出5T1／1吸引環(huán)，如圖7（e）；繼續(xù)減小激勵(lì)頻率ω，吸引不變環(huán)轉(zhuǎn)化為半吸引的，運(yùn)動(dòng)最終經(jīng)半吸引不變環(huán)通向混沌，如圖7（f）.圖8為ω＝1.3208時(shí)，質(zhì)量塊M1的相圖和時(shí)間歷程圖，由圖可知系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，從而證實(shí)了前面分析方法的正確性.

圖7 Poincaré映射投影Fig.7 Projection draw of Poincarémap

圖8 M1的相圖和時(shí)間歷程圖Fig.8 Phase diagrams and time history diagrams ofM1

4 結(jié)論

（1）通過數(shù)值仿真揭示了含間隙三自由度系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)的兩條道路.在Hopf-flip分岔中即存在倍化分岔，也存在周期2的Hopf分岔和環(huán)面倍化.當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生Hopf-Hopf分岔時(shí)，可通過環(huán)面分岔形成非常規(guī)“近正方形”概周期吸引子，展現(xiàn)了向混沌演化的精彩過程.

（2）由分析可知，系統(tǒng)參數(shù)的選取對機(jī)械的振動(dòng)特性有很大影響，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，機(jī)械系統(tǒng)可能產(chǎn)生復(fù)雜的分岔與混沌現(xiàn)象.因此，文中的參數(shù)范圍可以作為機(jī)械系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的依據(jù).

（3）文中的研究方法與所得的結(jié)論可以推廣到其它含間隙的多自由度碰撞振動(dòng)模型，為這些模型的研究分析提供有益參考，同時(shí)也是混沌控制的基礎(chǔ)理論.

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2 李忠剛，陳予恕，陳照波等.轉(zhuǎn)子-密封系統(tǒng)中氣流激振力的非線性動(dòng)力學(xué)特性分析.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2013，11（2）：126～132（Li ZG，Chen Y S，Chen Z B，et al.Nonlinear dynamic characteristics analysis of the gas exciting force in the rotor-seal system.Journal of Dynamics and Control，2013，11（2）：126～132（in Chinese））

3 Ding W C，Xie JH.Interaction of Hopf and period doubling bifurcation of a vibro-impact system.Journel of Sound and Vibration，2004，275（1-2）：29～45

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10 呂小紅，羅冠煒.沖擊鉆進(jìn)系統(tǒng)的亞諧振動(dòng)與分岔.工程力學(xué)，2013，30（3）：383～389（Lv X H，Luo G W.Subhar-monic vibrations and bifurcations of impact-progressive system.Engineering Mechanics，2013，30（3）：383～389（in Chinese））

11 王福新，胡海巖.對稱分段線性系統(tǒng)主共振的分叉.南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)，1997，29（3）：283～288（Wang F X，Hu H Y.Bifurcations of primary resonance of harmonically forced symmetrical piecewise-linear systems.Journal of Nanjing University of Aeronauticsand Astronautics，1997， 29（3）：283～288（in Chinese） ）

ANALYSISOF ROUTES TO CHAOS AND BIFURCATION OF A VIBRO-IMPACT SYSTEM

Wang Jianlong?LiWanxiang
（School of Mechatronic Engineering，Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou730070，China）

The bifurcation and the routes to chaos of the three-degree-of-freedom vibro-impact system with clearance are investigated using Poincarémapping and the computer simulation in this paper.The results show that flip bifurcation and Hopf bifurcation exist close to the bifurcation point of the Hopf-flip codimension two bifurcation.In the fixed point，the period two point is formed when Flip bifurcation firstly takes place，and the quasiperiodic motion occurs after Hopf bifurcation.It is revealed that Hopf bifurcation，torus bifurcation and the chaos evolution of the“subquadrate”quasi-period attractor through the numerical simulations are exhibited in Hopf-Hopf codimension two bifurcations.The study on this vibro-impact system with clearance provides the essential reference for its future optimize design.

Poincarémap， clearance， vibro-impact， chaos， codimension two bifurcation

10.6052／1672-6553-2015-74

2015-10-03收到第1稿，2015-10-22收到修改稿.

?通訊作者E-mail：jlwang321＠163.com

Received 3 October 2015，revised 22 October 2015.

?Corresponding author E-mail：jlwang321＠163.com