☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)陳敏☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)方莉

全面踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——《三角函數(shù)的應(yīng)用》教學(xué)實(shí)錄

☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)陳敏☉江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)方莉

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的人的關(guān)鍵能力與必備品質(zhì).也就是個(gè)體面對(duì)復(fù)雜的、不確定的情境時(shí)，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、觀念、方法解決實(shí)際問(wèn)題所表現(xiàn)出來(lái)的關(guān)鍵能力與必備品質(zhì).東北師范大學(xué)史寧中教授與首都師范大學(xué)王尚志教授在修訂《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》時(shí)，認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括數(shù)學(xué)抽象、運(yùn)算能力、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等幾個(gè)方面.用一句話概括，就是“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界”.

數(shù)學(xué)建模是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、建構(gòu)模型、求解結(jié)論、驗(yàn)證結(jié)果并改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題.數(shù)學(xué)模型構(gòu)建了數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式.數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的基本手段和推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要?jiǎng)恿?

數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)是運(yùn)用模型思想解決實(shí)際問(wèn)題的綜合實(shí)踐活動(dòng)，是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，在數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)過(guò)程中，逐步提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和直觀想象素養(yǎng)，可以說(shuō)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)全面指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展.

現(xiàn)實(shí)生活中有許多周期現(xiàn)象，如彈簧振子、摩天輪、大海潮汐、日出日落、月圓月缺、四季交替、人體節(jié)律變化等都可以用三角函數(shù)進(jìn)行模擬，三角函數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.通過(guò)這部分內(nèi)容的教學(xué)，能很好地培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)地觀察、數(shù)學(xué)地思考、數(shù)學(xué)地表達(dá)”的習(xí)慣，全面踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟如下：

以上解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟的“內(nèi)環(huán)”就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要方面，“外環(huán)”就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一句話概括.

下面以高中數(shù)學(xué)蘇教版《三角函數(shù)的應(yīng)用》課堂實(shí)錄為例具體說(shuō)明，以饗讀者.

教學(xué)實(shí)錄：

我們知道物體做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移s和時(shí)間t的關(guān)系式為s=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0），如彈簧振子，現(xiàn)實(shí)生活中還有許多周期現(xiàn)象，如摩天輪、大海潮汐等也可以用三角函數(shù)進(jìn)行模擬嗎？這節(jié)課我們就來(lái)探討三角函數(shù)的應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖：指出三角函數(shù)能夠模擬許多周期現(xiàn)象，它在解決實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，引出課題.

一、課題引入

引例：如圖1，點(diǎn)O為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí).

（1）求物體對(duì)平衡位置的位移x（cm）和時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）求該物體在t=5s時(shí)的位置.

圖1

呈現(xiàn)方式：用Flash動(dòng)畫(huà)演示彈簧振子的周期運(yùn)動(dòng)，并形成三角函數(shù)曲線運(yùn)動(dòng)軌跡.

設(shè)計(jì)意圖：引例比較簡(jiǎn)單，通過(guò)引例的解決，學(xué)生大致形成用三角函數(shù)模型在解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟.

師生互動(dòng)：教學(xué)中設(shè)置“問(wèn)題串”引導(dǎo)學(xué)生步步思考，層層深入.

師：根據(jù)物理知識(shí)和前面所學(xué)的知識(shí)，應(yīng)選擇怎樣的函數(shù)模擬物體的運(yùn)動(dòng)？

生1：用函數(shù)x=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）來(lái)表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)物體對(duì)平衡位置的位移x（cm）和時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系.

師：由已知條件怎樣求A、ω和初相φ？物體向右運(yùn)動(dòng)到距平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)的數(shù)學(xué)含義是什么？

師：該物體在t=5s時(shí)的位置在哪里？

二、數(shù)學(xué)建構(gòu)

學(xué)生回顧引例的解決過(guò)程，試著總結(jié)出用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟.

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

游樂(lè)場(chǎng)里的摩天輪，用于發(fā)電的大風(fēng)車，隨水而轉(zhuǎn)的水輪這些都是生活中常見(jiàn)的，能否用三角函數(shù)進(jìn)行模擬？若可以，按照三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟，可以解決一些相關(guān)問(wèn)題.

教材原題:

如圖2，一個(gè)半徑為3m的水輪，水輪圓心O在水面上方且距離水面2m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

圖2

（1）將點(diǎn)P距離水面的高度Z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；

（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多長(zhǎng)時(shí)間？%

這是蘇教版教材中的原題，考慮到該水輪的圓心不在水面上，學(xué)生理解上有些困難，再加上φ不是特殊角，計(jì)算起來(lái)數(shù)據(jù)也比較煩瑣，考慮到無(wú)錫學(xué)生熟悉的生活環(huán)境，使問(wèn)題解決有坡度，筆者搭了一個(gè)“腳手架”，鋪設(shè)了一個(gè)臺(tái)階，這樣學(xué)生就可以拾級(jí)而上，數(shù)學(xué)思維層層遞進(jìn).

呈現(xiàn)方式：幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示水輪的轉(zhuǎn)動(dòng)以及P點(diǎn)離水面的高度隨時(shí)間的變化軌跡.

設(shè)計(jì)意圖：教師一個(gè)重要的任務(wù)就是把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)，以學(xué)生為中心，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，“蹲下來(lái)”從學(xué)生的角度出發(fā)，適當(dāng)搭設(shè)思維的“腳手架”——接題.

教材原題的入口銜接：

例1如圖3，美麗的蠡湖湖畔有一個(gè)半徑為3m的水輪，水輪圓心O恰在水面上，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.試將點(diǎn)P距離水面的高度z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；

圖3

思考一：幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示水輪的轉(zhuǎn)動(dòng)以及P點(diǎn)離水面的高度隨時(shí)間的變化軌跡表明，點(diǎn)P距離水面的高度Z關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為z=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0），然后根據(jù)A，ω，φ各自的物理意義求之.

思考二：利用點(diǎn)P距離水面的高度與P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義解決.

本題中，建立坐標(biāo)系，用P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角來(lái)表示P點(diǎn)的縱坐標(biāo)是解題的重點(diǎn)和難點(diǎn)，為此筆者設(shè)計(jì)了如下教學(xué)過(guò)程：

師：水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，那么t秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角是多少？

師：根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，P點(diǎn)距水面的高度與P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度有何聯(lián)系？

生2：P點(diǎn)距地面的高度與P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度的正弦值有關(guān).

師：筆者們可以嘗試?yán)萌呛瘮?shù)定義來(lái)解決，先建立平面直角坐標(biāo)系，再利用P點(diǎn)的縱坐標(biāo)來(lái)表示P距離水面的高度，如何用P點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角來(lái)表示P點(diǎn)的縱坐標(biāo)呢？

生3：建立如圖所示的坐標(biāo)系，P點(diǎn)經(jīng)過(guò)t秒后對(duì)應(yīng)的以O(shè)x為始邊，OP為終邊的

有了上述“腳手架”，教材中原來(lái)的例題的解決便水到渠成.

教材原題的優(yōu)化改進(jìn)：

考慮到教材中原來(lái)的例題的數(shù)據(jù)是一個(gè)近似值，可以在符合實(shí)際意義的前提下加以優(yōu)化改進(jìn)（如圖4），把水輪圓心O在水面上方且距離水面2m改為P點(diǎn)縱坐標(biāo)特殊角，沒(méi)有降低數(shù)學(xué)思維的考查要求，而計(jì)算起來(lái)就方便多了.

圖4

變式：一個(gè)半徑為3m的水輪，水輪圓心O在水面上方且距離水面1.5m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.

（1）將點(diǎn)P距離水面的高度z（m）表示為時(shí)間t（s）的函數(shù)；

（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

解：（1）方法一：設(shè)函數(shù)關(guān)系式為z=Asin（ωt+φ）（A＞0，ω＞0），然后根據(jù)A，ω，φ各自的物理意義求之.

方法二：利用點(diǎn)P距離水面的高度與P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義解決.

設(shè)計(jì)意圖：教材例題解決了不能就此作罷，為進(jìn)一步挖掘它的教育教學(xué)功能，可以在教材例題改編的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，設(shè)計(jì)一個(gè)意境優(yōu)美的問(wèn)題考查學(xué)生三角不等式的解法，也為接下來(lái)海水潮汐問(wèn)題埋下伏筆.同時(shí)也大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

教師追問(wèn)：假設(shè)這鳥(niǎo)兒只顧欣賞美景，不小心被卡在點(diǎn)P處不能動(dòng)彈，而且這只鳥(niǎo)兒在水中一次憋氣最長(zhǎng)4秒鐘，從愛(ài)護(hù)鳥(niǎo)類的角度考慮，結(jié)合本題的三角函數(shù)模型，你能設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題嗎？

學(xué)生異常興奮，積極思考，踴躍發(fā)言.

學(xué)生設(shè)計(jì)問(wèn)題：水輪每分鐘至少轉(zhuǎn)幾圈，這只鳥(niǎo)兒才不會(huì)被憋死？

事實(shí)上，設(shè)水輪每分鐘至少轉(zhuǎn)n圈，則每秒鐘轉(zhuǎn)過(guò)=5（s），故點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)需要5s.

教材原題的拓展延伸：

拓展：美麗的蠡湖湖畔有一個(gè)半徑為3m的水輪，水輪圓心O在水面上方且距離水面1.5m，已知水輪每分鐘逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)P0）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間.假設(shè)一只鳥(niǎo)兒在點(diǎn)P處，而且它離水面至少3m才能鳥(niǎo)瞰蠡湖全景，試問(wèn)這只鳥(niǎo)兒飽覽蠡湖全景的時(shí)間有多長(zhǎng)？

設(shè)計(jì)意圖：增強(qiáng)學(xué)生提出問(wèn)題的意識(shí)和能力，同時(shí)也呼喚學(xué)生善待生命的仁愛(ài)之心以及人與自然和諧相處的環(huán)保意識(shí).

例1小結(jié)：圓周運(yùn)動(dòng)可以用三角函數(shù)模擬，要注意結(jié)合任意角三角函數(shù)的關(guān)系以及和物理中簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識(shí)求出三角函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)建立三角方程或三角不等式解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題.

四、拓展探究

例2（根據(jù)教材《探究案例：港口水深的變化與三角函數(shù)》改編）

海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.下表是某港口某一天從0:00時(shí)至24:00時(shí)記錄的時(shí)間t（h）與水深y（m）的關(guān)系如下表：

時(shí)刻0 : 0 0 3 : 0 0 6 : 0 0 9 : 0 0 1 2 : 0 0 1 5 : 0 0 1 8 : 0 0 2 1 : 0 0 2 4 : 0 0水深1 0 . 0 1 3 . 0 9 . 9 7 . 0 1 0 . 0 1 3 . 0 1 0 . 1 7 . 0 1 0 . 0

（1）選用一個(gè)函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系.

（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為7m，安全條例規(guī)定至少要有4.5米的安全間隙（船底與海底的距離），船舶在港內(nèi)停留時(shí)可以不考慮安全間隙，那么該船在什么時(shí)候可以進(jìn)港？若該船要當(dāng)天安全離港，一次進(jìn)港后，它在港內(nèi)停留最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？

呈現(xiàn)方式：幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示海港的潮汐現(xiàn)象；利用Excel畫(huà)出散點(diǎn)圖.

分析：對(duì)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，作出散點(diǎn)圖.從散點(diǎn)圖的形狀可以判斷，這個(gè)港口的水深與時(shí)間的關(guān)系可以用形如y=Asin（ωx+φ）+h的函數(shù)來(lái)刻畫(huà).其中x是時(shí)間，y是水深，根據(jù)數(shù)據(jù)可以具體確定A，ω，φ，h的值.

解析：（1）以時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)，畫(huà)出散點(diǎn)圖（如圖5）.

根據(jù)圖象，可以考慮用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+h刻畫(huà)水深于時(shí)間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.從數(shù)據(jù)和圖像可以得出：A=口的水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系可［0，24］近似描述.由上述關(guān)系易得港口在整點(diǎn)時(shí)水深的近似值.

圖5

（2）貨船需要的安全水深為7+4.5=11.5（m），

所以當(dāng)y≥11.5時(shí)就可以進(jìn)港.

設(shè)計(jì)意圖：蘇教版教材中《探究案例：港口水深的變化與三角函數(shù)》，敘述煩瑣，數(shù)據(jù)復(fù)雜，學(xué)生不易理解，在不減少考查內(nèi)容、不降低考查要求的前提下，筆者“得其意，忘其形”，進(jìn)行了改編.

例2小結(jié)：用三角函數(shù)擬合實(shí)際問(wèn)題一般步驟為：（1）畫(huà)散點(diǎn)圖；（2）確定擬合函數(shù)；（3）構(gòu)建三角函數(shù)或三角不等式；（4）回到實(shí)際問(wèn)題檢驗(yàn)說(shuō)明.

五、課堂小結(jié)

三角函數(shù)在解決具有周期現(xiàn)象的實(shí)際問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課同學(xué)們通過(guò)建立三角函數(shù)模型，解決了一些實(shí)際問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想，提高了數(shù)據(jù)分析處理的能力，基本掌握了用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的主要步驟，有了初步的實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化的意識(shí)與能力.希望同學(xué)們平時(shí)能夠數(shù)學(xué)地觀察、數(shù)學(xué)地思考、數(shù)學(xué)地解決、數(shù)學(xué)地表達(dá)！

六、作業(yè)布置

除本節(jié)課設(shè)計(jì)的彈簧振子、水輪圓周運(yùn)動(dòng)、大海潮起潮落外，生活中還存在著大量的周期現(xiàn)象，如日出日落、月圓月缺、四季交替、脈搏跳動(dòng)、人體節(jié)律變化、波的傳播、交流電等等，請(qǐng)你就某一個(gè)周期現(xiàn)象留心觀察，采集、分析、處理數(shù)據(jù)，深入思考，建立三角函數(shù)模型數(shù)學(xué)地解決，撰寫(xiě)一份研究報(bào)告.G