吳健

摘要：解題教學是高中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，是培養(yǎng)學生分析、思維、計算能力的主要途徑。講與練是解題教學的兩個有效手段，懂與會是教學目標的兩個層次，盡管“教之道在于度，學之道在于悟”是人盡皆知的至理名言，但如何把握講與練之“度”？怎樣達成懂與會之“悟”？這兩個問題卻著實難住了不少師生，且看本文作者有何見解。

關鍵詞：解題教學；講與練；懂與會；一題多解；解題反思

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）05-075-2

如果說“問題”是數(shù)學的心臟，那么“解題”就是數(shù)學的靈魂。解題教學自然是數(shù)學教學中最重要的內(nèi)容之一。教之道在于度，學之道在于悟。章建躍先生在《數(shù)學教育心理學》中指出“有效教學的精髓應是培養(yǎng)學生的數(shù)學悟性”，然而在平時的教學中，如何把握教之“度”，從而促進學之“悟”已然成為許多老師糾結的一項課題，本文就這一問題談談個人的一絲看法。

一、講與練之“度”

講與練是解題教學的雙翼。毫無疑問，解題教學中教師需要做“慢鏡頭”式的示范和講解，學生則需要在思維的參與下順暢聽懂，在及時的練習中加以模仿，在不斷的模仿中逐漸理解，在理解的基礎上熟練運用，在運用的過程中領悟本質(zhì)。這就是我們常說的“精講多練”的內(nèi)涵。至于具體到一堂課，究竟講多長時間、練多長時間，不好一概而論。一般而言，學生基礎差、能力弱的，課堂上可能就要多講一點，反之則可以少講一點。同樣的道理，困難的問題課堂上要多講一點，容易的問題課堂上就少講一點；知識方法形成階段多講一點，鞏固階段就少講一點。講的最低要求是學生能夠“聽懂”，衡量是否“聽懂”的標準是會不會“模仿”，這也是“練”的前提條件。

講的關鍵在于解剖、暴露解法形成的思維過程，而不只是充當一個“熟練的演繹者”呈現(xiàn)完整的解題過程。

波利亞在“怎樣解題表”中給出了一個宏觀解題程序：弄清問題、擬定計劃、執(zhí)行計劃、檢查答案。具體地，我們可以把解題過程分解為以下的一串問題：

①它是一個什么范疇的問題？要解決什么問題？即“目標”是什么？

②現(xiàn)有哪些材料（條件）？有沒有“潛在”的、“隱含”的條件？從題目的敘述中獲取“符號信息”，從題目的圖形中獲取“形象信息”等。

③有哪些工具？條件與結論之間有什么聯(lián)系？從已經(jīng)學過的相關概念、定理、公式、基本模式和解題經(jīng)驗中提取。

④還缺少（需要）什么？能否以現(xiàn)有的條件，在工具的助推下滿足這個需求？

⑤在相關工具的作用下，從條件到結論，是否形成了一個和諧、縝密的邏輯結構？

⑥結論是否完備、純粹？

上述過程的順利實施既需要充分的知識儲備、基本的經(jīng)驗積累，也需要豐富的聯(lián)想、機智的策略。

例1 已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x2+（y-3）2=4相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于N，求AM·AN的值。

講解：

Q1：這是一個什么問題？——解析幾何中的“直線和圓”的位置關系。

Q2：解析幾何的本質(zhì)是什么？——借助坐標系，用代數(shù)的方法解決幾何問題。

Q3：“直線和圓”的位置關系中最關鍵的量是什么？——圓心到直線的距離。

Q4：本題要解決什么問題？——起點相同、方向相反的兩個向量的數(shù)量積。

Q5：求兩個向量的數(shù)量積有哪些辦法？——a·b=|a|·|b|·cos（符號運算）；若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2（坐標運算）；結合圖形對向量a，b做適當?shù)摹安鸱帧焙笤傩羞\算（圖形運算）。

Q6：本題宜選擇哪個辦法？——注意到在平面直角坐標系中，A點的坐標已知，只要求出M，N兩點的坐標，即可用坐標運算求AM·AN。

Q7：本題還有哪些條件？M，N兩點的坐標是否可求？怎么求？——注意到N點是直線l，m的交點，而直線m的方程已知，只需有直線l的方程，即可通過解方程組求得N點坐標，又直線l過點A，故可以設直線l的斜率（關注斜率不存在的情況）。M點是直線l被橢圓截得的弦的中點，在有直線l方程的條件下，可以通過解方程組，結合韋達定理求出M點坐標。

Q8：是否可以順利實施？——

講解題，追求的是方法形成的過程順理成章、自然流暢，學生感同身受、躍躍欲試；而不是顯示老師的功力神奇，總有巧妙的方法橫空出世，讓學生心悅誠服、頂禮膜拜，然后再進行牽強附會的解釋、一招一式的歸類。講解題，就是引導學生奔著目標有序前進。

二、懂與會之“悟”

“上課聽起來全懂，自己做的時候不會”是數(shù)學學習中普遍存在的現(xiàn)象，困擾著很多學生和家長，甚至也困擾著部分教師。這其中可能有老師講的原因，即所謂講的不得法、不到位，但更重要的原因是“懂”和“會”根本就是學習過程中的兩個相距遙遠的階段，一個是學習的起點，一個是學習的終點，其間隔著幾乎全部的學習過程，這個過程就是“悟”。所謂“悟”一定不是老師講了幾道例題之后跟學生說“你們?nèi)ノ虬伞边@么簡單?！拔颉笔窃诼牰幕A之上，在練習中模仿、模仿中理解，理解后運用、運用中反思，這么一系列思維活動所產(chǎn)生的結果。學生的悟需要有對象、有素材，這就是老師的講；學生的悟需要有載體、有行動，這就是練習中的模仿、嘗試、思考；學生的悟需要有過程、有空間，這就是練習中的理解、運用、反思。教師講的太少，學生悟的素材就單薄，悟的結果就難免片面、膚淺；教師講的太多，學生悟的空間就被擠壓，難免導致思維固化、流于模仿。

解題反思是悟的核心過程，是學生對知識方法吸收內(nèi)化的一個環(huán)節(jié)，是學習活動的一個高級階段。什么時候反思？反思什么？怎么反思？我想可以從以下幾個方面指導學生進行解題反思。

①對解題結果的反思。解題結果是否回答了題目的設問？解題結果是否和實際問題相吻合？推導的過程中是否改變了變量的范圍？邏輯上有沒有漏洞？討論的范圍是否完備？有沒有遺漏什么條件、限制？等等。對解題結果的反思能使學生的思維更加嚴謹，同時也是解決“會而不對、對而不全”這個老大難問題的有效辦法。

②對解題過程的反思。題目涉及到的知識點有哪些？它們是怎么聯(lián)系起來的？解答的切入點在哪？關鍵點在哪？警戒點（易錯的地方）在哪？還能用什么方法解（一題多解）？有哪些題也是這樣做的（多題一解）；條件可以變變嗎？設問可以改改嗎？我們不必要求學生對每一道題都做如此這般的大動作，但也絕不能每一道題都做完就丟。

“一題多解”對于促進學生溝通知識點之間的聯(lián)系，對于培養(yǎng)學生思維的開闊、靈敏、深刻、創(chuàng)新，即提升學生的思維品質(zhì)，對于激發(fā)學生的學習興趣，對于充分發(fā)揮一道題的教學功能等方面確有其價值。解題教學中雖不必刻意追求“一題多解”，但也不能以“問題解決”為唯一目標，而應該讓自然生動的各種解法競相呈現(xiàn)。在上例中，Q8之后，可以繼續(xù)：

Q9：上述解答中，求M，N兩點坐標的過程運算量較大，特別是求M點的坐標。能否回避M點的坐標？——由Q5知道，用符號運算和圖形運算都有可能。

Q10：如果選擇符號運算，注意到AM和AN方向相反，只需要求出它們的模即可求得數(shù)量積。求|AN|仍需要N點的坐標，但求|AM|可以由“垂徑定理”結合“勾股定理”實現(xiàn)——因為M是PQ的中點，所以|CM|即為C到直線l的距離，|CM|=|k-3|k2+1，

有|AC|=10，所以|AM|=10-（k-3）2k2+1=|3k+1|k2+1；而|AN|=5k2+1|1+3k|，

所以AM·AN=|AM|·|AN|·cosπ=-5。

Q11：如果選擇圖形運算，那么需要考慮向量AM能否“拆分”成坐標比較容易求的若干個向量的和（差）呢？——注意到CM⊥AM，不難想到將AM“拆分”成AC+CM（垂直關系是在研究向量數(shù)量積時，進行拆分的一個“節(jié)點”）。

其實例還有一條“幽僻”的路，甚至可以回避N點的坐標：連結CA并延長交直線m于B（見下圖），則有|AB|=510，直線CA的方程：3x-y-3=0，可見CA⊥m，所以三角形AMC和三角形ABN相似，得：|AM|∶|AB|=|AC|∶|AN|，|AM|·|AN|=|AB|·|AC|=5，

所以，AM·AN=|AM|·|AN|·cosπ=-5。這個方法看似簡潔明快、無限風光，但是，它來的實在太突兀、太玄妙（怎么想到連結CA、怎么想到CA⊥m、怎么想到……），沒有模仿的可能、沒有舉一反三的可能、沒有任何啟發(fā)意義，這一類奇思妙想的解法，我一直認為僅供欣賞，所謂平平淡淡才是真。此外，這個方法的關鍵知識點是相似三角形，已經(jīng)完全背離了解析幾何的本質(zhì)，失去了作為一道解析幾何題的價值。“多解”還是“一解”，不是選題和講題的關鍵，選題要看題目是能否體現(xiàn)概念的本質(zhì)，體現(xiàn)重要的思想方法；講題要讓思維充分暴露、學生全程參與、過程自然流暢、解法水到渠成。

③對解題規(guī)律的反思。某一章節(jié)的問題、某一類型的問題，其求解方法往往有其規(guī)律性。

解題反思需要空間，課堂要舍得“留白”為課堂反思提供空間，課后不布置過多的作業(yè)為課后反思提供空間。

“老師領進門，修行在個人”?！邦I”與“修”密不可分，“領”的得法，方能“修”成正果。教學的法與度，涵蓋了教學藝術的全部，非本文所能盡述；即便是數(shù)學解題的教學，也涉及知識的廣度、題目的難度、課堂的密度、設計的坡度等，很難窮盡；只希望能引領學生活躍在他們現(xiàn)有能力的最近發(fā)展區(qū)，實現(xiàn)他們潛力的最大發(fā)揮。學生的悟性并非與生俱來，需要在教學中讓他們有鮮明生動的感受，引導他們?nèi)ビ|及數(shù)學中某些本質(zhì)的東西，以臻通透之悟，發(fā)揮無限創(chuàng)造。