王麗玉

摘 要：數(shù)學(xué)教學(xué)重視邏輯推理，強(qiáng)調(diào)推理的嚴(yán)謹(jǐn)性，因此對(duì)“合情推理”往往不夠重視，導(dǎo)致不能夠準(zhǔn)確運(yùn)用“合情推理”.在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)教材內(nèi)容更有效地引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)合情推理的情境，這樣既提高課堂教學(xué)質(zhì)量，又有益于學(xué)生推理能力的培養(yǎng).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；合情推理

數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要發(fā)現(xiàn)，既離不開演繹推理，也離不開合情推理所起到的重要作用，是二者相輔相成的.所謂合情推理，是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類比等推斷某些結(jié)果.合情推理的兩種主要形式是歸納推理和類比推理.合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論.例如初中數(shù)學(xué)為了突破平面幾何教學(xué)的語(yǔ)言難、書寫難、思考難的特點(diǎn)，更好地發(fā)展學(xué)生的推理能力，整體設(shè)計(jì)時(shí)采取了“三階段”的處理方式：合情推理為主、演繹推理為主、合情推理與演繹推理綜合應(yīng)用階段.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)密性，結(jié)果的正確性，還要重視思維的直覺(jué)探索性和發(fā)現(xiàn)性，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，重視課堂合情推理情境的創(chuàng)設(shè)是很有意義的，本文就怎樣運(yùn)用合情推理這一有效的思維方法做些討論.

1 合情推理的情境創(chuàng)設(shè)中存在的典型問(wèn)題

1.1 合情推理情境設(shè)置不當(dāng)，降低學(xué)生的思維層次

“邊探索、邊證明”，把合情推理與演繹推理綜合應(yīng)用，在證明一個(gè)定理之前，先猜想、發(fā)現(xiàn)命題、推測(cè)思路.例如北師大八年級(jí)下第一章”等腰三角形性質(zhì)的證明”.教學(xué)中，教師讓學(xué)生先觀察等腰三角形，提出猜想：兩底角相等；讓學(xué)生將三角形對(duì)折，驗(yàn)證猜想、證明猜想.學(xué)生順利作出中線、高線、角平分線這些輔助線，完成了證明.本階段等腰三角形性質(zhì)的證明中，無(wú)論是課堂教學(xué)的情趣性、“猜想、實(shí)驗(yàn)、證明”設(shè)計(jì)的邏輯性，還是學(xué)生任務(wù)完成的流暢性，折紙實(shí)驗(yàn)似乎都能起到很好的效果.但是，筆者認(rèn)為，折紙情境創(chuàng)設(shè)并不恰當(dāng).發(fā)現(xiàn)等腰三角形的性質(zhì)很容易，而重點(diǎn)是證明，證明的難點(diǎn)是如何作出輔助線，并且給出幾何證明的書寫，真正實(shí)現(xiàn)“邊探索、邊證明”，把合情推理與演繹推理融為一體.而折紙中的折痕恰好為學(xué)生暗示了輔助線，暗示了證明程序.實(shí)驗(yàn)使原來(lái)高水平的認(rèn)知任務(wù)被簡(jiǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的程序，明顯降低了學(xué)生的思維層次.

如若不設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，沒(méi)有了折痕暗示的輔助線。教師可以啟發(fā)，“如何證明兩個(gè)角相等呢？”學(xué)生不難想到“三角形全等對(duì)應(yīng)角相等”，教師引導(dǎo)：“可并沒(méi)有兩個(gè)已全等的三角形”大多數(shù)學(xué)生都能想到將三角形一分為二，考慮“怎么分會(huì)有利于證明？”這樣，學(xué)生認(rèn)知參與的質(zhì)量才真正決定了學(xué)生能學(xué)到什么，因此，創(chuàng)設(shè)合情推理情境不應(yīng)該以降低學(xué)生認(rèn)知參與的深度為代價(jià)的.

1.2 過(guò)于追求課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)的完整性，造成了合情推理環(huán)節(jié)的低效甚至無(wú)效

例如北師大版七年級(jí)下《認(rèn)識(shí)三角形》的教學(xué)中，教師將學(xué)生分成小組，先測(cè)量三角形內(nèi)角，探索發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和為180°，再讓學(xué)生合作進(jìn)行撕紙實(shí)驗(yàn).學(xué)生將撕下的兩個(gè)角和第三個(gè)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)它們組成平角，受實(shí)驗(yàn)啟發(fā)，尋找證明需要的輔助線。在學(xué)完三角形內(nèi)角和定理后，教師提出：“多邊形的內(nèi)角和有什么規(guī)律”再由學(xué)生合作完成.

教師的設(shè)計(jì)程序：測(cè)量、猜想、實(shí)驗(yàn)、證明，再由三角形的內(nèi)角和拓展到多邊形內(nèi)角和，從四邊形著手探究，通過(guò)歸納，由特殊到一般，由具體到抽象.這其中合情推理與演繹推理相結(jié)合，似乎整節(jié)課的結(jié)構(gòu)良好，而事實(shí)上，多數(shù)學(xué)生在小學(xué)已獲知三角形內(nèi)角和定理，再通過(guò)測(cè)量、撕紙片“發(fā)現(xiàn)”內(nèi)角和180°很牽強(qiáng)，此處創(chuàng)設(shè)的合情推理基本無(wú)效.撕紙實(shí)驗(yàn)的又一用意是能拼成平角發(fā)現(xiàn)輔助線，但拼圖是開放問(wèn)題，并不一定都能拼成出現(xiàn)輔助線平行線的情形.可見，合情推理情境若設(shè)計(jì)的問(wèn)題不當(dāng)，過(guò)于簡(jiǎn)單或是學(xué)生已知的，合情推理的教學(xué)就會(huì)低效甚至無(wú)效的.

1.3 合情推理情境創(chuàng)設(shè)難度過(guò)大，學(xué)生難以運(yùn)用歸納與類比進(jìn)行推理

例如“一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系”中韋達(dá)定理的推導(dǎo)，教師首先提問(wèn)一元二次方程的求根公式，緊接給六個(gè)方程，由學(xué)生求解，然后讓學(xué)生探求x1+x2，x1 x2有什么規(guī)律，歸納x1+x2，x1 x2與方程系數(shù)的關(guān)系，即韋達(dá)定理，然后證明 [1 ]。教師的意圖是想從具體的運(yùn)算開始，讓學(xué)生用實(shí)驗(yàn)和歸納發(fā)現(xiàn)韋達(dá)定理。在實(shí)際操作中，學(xué)生能夠想到研究x1+x2，x1 x2，而非x1+x2，x1 x2與方程系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)六個(gè)方程及其根順利完成“從具體到抽象”的歸納，情境難度大，不容易歸納。本節(jié)課教學(xué)中，可以通過(guò)復(fù)習(xí)求根公式x1，2=時(shí)，設(shè)問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩根的差別在于分子中“+”和“-”的不同.學(xué)生直覺(jué)聯(lián)想到可以研究x1+x2，x1 x2，更容易推出x1+x2=-，x1 x2=.顯然設(shè)置合情推理環(huán)節(jié)不一定能使學(xué)生更加容易推導(dǎo)出公式，當(dāng)已經(jīng)具備演繹推理的條件時(shí)，教師就因地制宜，無(wú)需為了合情推理而合情推理.

上述案例中所設(shè)計(jì)的情境無(wú)法更好地體現(xiàn)合情推理在探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論中的價(jià)值，應(yīng)讓學(xué)生感受到合情推理的必要性，而不能只流于形式.

2 準(zhǔn)確創(chuàng)設(shè)合情推理情境的基本對(duì)策

合情推理情境有廣泛的來(lái)源：概念的形成、定理獲得的過(guò)程、例題的選澤和呈現(xiàn)，通過(guò)概念的形成，公式、定理的發(fā)現(xiàn)、探索、推導(dǎo)過(guò)程.我們應(yīng)該分析學(xué)生學(xué)習(xí)的思維過(guò)程，暴露學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有針對(duì)性地進(jìn)行情境創(chuàng)設(shè)，盡可能地培養(yǎng)合情推理能力.

2.1 創(chuàng)設(shè)合情推理情境應(yīng)基于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的年齡特征

教學(xué)的適度性一定程度上決定了教學(xué)的有效性，奧蘇泊爾曾說(shuō)：數(shù)學(xué)教育如果用一句話來(lái)說(shuō)，就是探明學(xué)生已有的狀態(tài).恰當(dāng)?shù)暮锨橥评砬榫潮仨毷氰b于學(xué)生數(shù)學(xué)思維年齡特征.13歲到15歲的初中生其基本特征是經(jīng)驗(yàn)型的抽象思維正逐步過(guò)渡到理論型的抽象思維，但仍然以經(jīng)驗(yàn)型為主.

法3：由冪的運(yùn)算法則，得am-n·an =a（m-n）+n =am （m>n）再利用除法是乘法的逆運(yùn)算，可得am÷an=am-n（m>n）.雖然都是合情推理教學(xué)，法1是具體形象思維水平，通過(guò)特殊除到一般歸納概括；而法2處于經(jīng)驗(yàn)型抽象思維水平；法3則屬于理論型抽象思維.若以學(xué)生思維發(fā)展特征為依據(jù)，法2與初中生思維水平相適宜，高中學(xué)生的思維發(fā)展水平特征可選用法3來(lái)推導(dǎo)“高中復(fù)數(shù)三角式的除法”.

2.2 創(chuàng)設(shè)合情推理情境應(yīng)簡(jiǎn)潔明了

課堂教學(xué)的限時(shí)性決定了創(chuàng)設(shè)的合情推理情境要簡(jiǎn)潔明了，比如：在探索n邊形內(nèi)角和，先展示實(shí)物（五邊形水果盤、六螺帽、八仙桌），那么n邊形內(nèi)角和是多少呢？引導(dǎo)學(xué)生探究四、五、六邊形的內(nèi)角和求法.（見表1）

引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)表中潛藏的規(guī)律？邊數(shù)與內(nèi)角和的關(guān)系？通過(guò)表格給學(xué)生簡(jiǎn)潔明了的歸納背景。本合情推理情境的創(chuàng)設(shè)以學(xué)生已認(rèn)知的三角形內(nèi)角和180°為研究起點(diǎn)，利用特殊到一般，從特殊的探究中發(fā)現(xiàn)一般思路，直至發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的本質(zhì)規(guī)律。當(dāng)然，對(duì)于本探索而言，思路是多元的，有多種分割方式，但為了課堂上凝聚這一基本方法，沒(méi)有拓展，而是把探尋別的分割方式置于課后作業(yè)，把探索延至課外，拓展了學(xué)生思維空間 [2 ]。這種簡(jiǎn)潔明了的合情推理情境的創(chuàng)設(shè)凝聚了課堂主題，凸顯了重點(diǎn)，透視了本質(zhì)。有利于學(xué)生對(duì)新知識(shí)概念的鞏固及掌握，從而由特殊到一般，形成良好的抽象思維習(xí)慣，提升綜合推理能力。

2.3 通過(guò)原訓(xùn)練型問(wèn)題的改造增設(shè)合情推理情境

新課標(biāo)中用“探索并證明……”，是希望教師能把合情推理與演繹推理相結(jié)合。對(duì)原有訓(xùn)練型問(wèn)題的改造，比如，把確定性證明題改為“是否存在”的探究性問(wèn)題、開放性問(wèn)題等。將原題“請(qǐng)你證明……”，修改為：你發(fā)現(xiàn)有什么性質(zhì)、特點(diǎn)？”便增添了合情推理的過(guò)程。

例如，已知：如圖1在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的一條角平分線，AN為△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為E，連接DE，交AC于點(diǎn)F，如圖1所示求證：（1）四邊形ADCE是矩形，四邊形ABDE是平行四邊形；（2）DF=AB（學(xué)生剛學(xué)習(xí)矩形的性質(zhì)及判定）將所求的結(jié)論改為：（1）四邊形ADCE、四邊形ABDE分別是什么特殊的多邊形；（2）DF與AB的關(guān)系。從訓(xùn)練型問(wèn)題修改為開放性問(wèn)題，通過(guò)設(shè)問(wèn)、追問(wèn)形式，對(duì)教師不同的問(wèn)法、提法，對(duì)學(xué)生思維發(fā)展起到截然不同的作用。

2.4 創(chuàng)設(shè)合情推理情境應(yīng)關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程

教師注重學(xué)生知識(shí)的形成過(guò)程，引導(dǎo)其有目的、有征對(duì)性地研究解決問(wèn)題的方法。向?qū)W生揭示探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法：猜想—探索—發(fā)現(xiàn)—比較—驗(yàn)證，充分體現(xiàn)了類比和歸納的推理方法。學(xué)生感悟合情推理方法的同時(shí)積累了一定的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，如“矩形、菱形、正方形性質(zhì)及判定”教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷研究幾何的一般過(guò)程：概念—性質(zhì)—判定”充分體現(xiàn)了類比和歸納的數(shù)學(xué)思想方法 [3 ]。在“一次函數(shù)”的教學(xué)中，教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題—建立模型—探索函數(shù)圖像及性質(zhì)—函數(shù)應(yīng)用”的過(guò)程，感受在探索過(guò)程中蘊(yùn)涵的合情推理，積累研究函數(shù)的基本經(jīng)驗(yàn)，為研究反比例函數(shù)、二次函數(shù)打基礎(chǔ)，在學(xué)完“探索三角形全等條件”后讓學(xué)生探索三角形相似的條件；在教學(xué)“分式”時(shí)滲透類比思想；在教學(xué)“方程組”時(shí)滲透轉(zhuǎn)化思想?？傊?，要在課堂教學(xué)中體現(xiàn)類比和歸納的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)注學(xué)生合情推理能力的有效培養(yǎng)。

總之，合情推理教學(xué)要始于恰當(dāng)?shù)那榫?，教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)適合學(xué)生學(xué)習(xí)的情境，并給學(xué)生學(xué)習(xí)方法上的指導(dǎo)。合情推理用于探索，演繹推理用于證明，兩者相輔相成。并非所有的教學(xué)都需要始于合情推理，應(yīng)當(dāng)深入地了解學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng)，一切教學(xué)活動(dòng)都必須基于教學(xué)的實(shí)際，關(guān)注學(xué)生知識(shí)的形成過(guò)程，通過(guò)課堂合情推理情境的創(chuàng)設(shè)，能夠更有效地促進(jìn)學(xué)生合情推理能力的發(fā)展。

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