李向陽(yáng)

向量作為新時(shí)期高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)和能力的發(fā)展具有非常積極的意義，已經(jīng)成為教師教學(xué)的關(guān)鍵.高中數(shù)學(xué)向量部分知識(shí)內(nèi)容較為復(fù)雜，主要包括向量基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)及向量在函數(shù)、立體幾何等中的應(yīng)用兩大部分.在教學(xué)過(guò)程中教師要結(jié)合上述內(nèi)容形成針對(duì)性教學(xué)策略，對(duì)向量知識(shí)及其應(yīng)用進(jìn)行講解，從而確保學(xué)生能夠正確運(yùn)用向量知識(shí)求解數(shù)學(xué)問(wèn)題.

一、向量的基礎(chǔ)知識(shí)及其運(yùn)用

向量基礎(chǔ)知識(shí)主要包括向量的相關(guān)概念及向量的運(yùn)算兩部分內(nèi)容.教師在進(jìn)行向量概念教學(xué)的過(guò)程中要依照高中向量教學(xué)要求及教學(xué)內(nèi)容，對(duì)上述知識(shí)進(jìn)行匯總、提煉，確保形成良好的高中向量認(rèn)識(shí)，明確高中向量概念教學(xué)的教學(xué)內(nèi)容.在運(yùn)用向量的相關(guān)概念解題的過(guò)程中教師要引導(dǎo)學(xué)生把握好向量的定義、表示方法和類別，從上述性質(zhì)出發(fā)把握向量的本質(zhì)，確定解題的路徑.在運(yùn)用向量的運(yùn)算解題的過(guò)程中教師要鼓勵(lì)學(xué)生耐心、細(xì)心解題，借助運(yùn)算對(duì)向量習(xí)題進(jìn)行求解，得到相應(yīng)的答案，其具體狀況見(jiàn)例1.

例1點(diǎn)D是三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，并且滿足AB2+CD2=AC2+BD2，求證：AD⊥BC.

解析對(duì)該例題進(jìn)行求解的過(guò)程中教師要引導(dǎo)學(xué)生從垂直關(guān)系著手尋找各向量之間的關(guān)聯(lián).要證明AD⊥BC，則只需要證明AD·BC=0，因此，可以結(jié)合題目中所給定的條件設(shè)AD=m，AB=c，AC=b，將BC用m，b，c線性表示，實(shí)現(xiàn)向量的簡(jiǎn)化，然后通過(guò)向量的運(yùn)算解，防止計(jì)算量過(guò)于復(fù)雜導(dǎo)致的關(guān)系錯(cuò)誤.

證明設(shè)AB=c，AC=b，AD=m，

則BD=AD-AB=m-c，CD=AD-AC=m-b.

因?yàn)锳B2+CD2=AC2+BD2，

所以c2+（m-b）2=b2+（m-c）2，

即c2+m2-2m·b+b2=b2+m2-2m·c+c2，

所以m·（c-b）=0，即AD·（AB-AC）=0，

所以AD·CB=0，所以AD⊥BC.

二、向量求解函數(shù)問(wèn)題的運(yùn)用

向量求解函數(shù)問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的關(guān)鍵問(wèn)題.這種問(wèn)題的難度較大，包含知識(shí)點(diǎn)較為豐富.在教學(xué)的過(guò)程中教師要把握好向量知識(shí)體系，結(jié)合函數(shù)問(wèn)題尋找向量與函數(shù)之間的關(guān)系，確定相應(yīng)的關(guān)系式，構(gòu)建解題橋梁.

常規(guī)向量及函數(shù)問(wèn)題求解的過(guò)程中要把握好以下幾方面知識(shí)內(nèi)容，其主要包括：（1）對(duì)三角函數(shù)有界定義、三角函數(shù)最大（?。┲?、三角函數(shù)有界點(diǎn)、三角函數(shù)對(duì)稱軸知識(shí)及概念；（2）三角函數(shù)加減法、乘除法運(yùn)算知識(shí)；（3）三角函數(shù)圖象知識(shí)；（4）向量數(shù)乘、數(shù)量積知識(shí)等.教師要引導(dǎo)學(xué)生從上述知識(shí)點(diǎn)出發(fā)尋找向量與函數(shù)間的基本關(guān)系及限定，尋找解題路徑.

教師要認(rèn)真思考提高教學(xué)效率的方法，合理使用多種多樣的教學(xué)方式來(lái)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，讓學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)向量不再害怕、不再迷茫，并能從中感受到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣，進(jìn)而提高高中向量教學(xué)的學(xué)習(xí)效率.筆者在教學(xué)的過(guò)程中就常通過(guò)層次性例題教學(xué)讓學(xué)生加深對(duì)向量的認(rèn)識(shí)，其具體狀況見(jiàn)例2.

例2f（x）=a·b，其中向量a=（m，cos2x），b=（1+sin2x，1），x∈R，且函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（π4，2）.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)m的值；

（Ⅱ）求函數(shù)y=f（x）的最小值及此時(shí)x值的集合.

解析在對(duì)上題進(jìn)行求解的過(guò)程中，教師可以指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)計(jì)算，根據(jù)第1、2、3部分內(nèi)容，對(duì)f（x）=a·b的值進(jìn)行求解.完成求解后由三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系和三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化求出m值.

解答（Ⅰ） f（x）=a·b=m（1+sin2x）+cos2x，

由已知f（π4）=m（1+sinπ2）+cosπ2=2，得m=1.

（Ⅱ）由上可知

f（x）=1+sin2x+cos2x=1+2sin（2x+π4）.

所以當(dāng)sin（2x+π4）=-1時(shí)，

y=f（x）的最小值為1-2，

由sin（2x+π4）=-1，

得x值的集合為{x|x=kπ-3π8，k∈Z}.

這類的題目整體難度適中，主要是對(duì)學(xué)生計(jì)算能力和認(rèn)真度的考查，是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的檢驗(yàn).在進(jìn)行該部分復(fù)習(xí)的過(guò)程中，教師要指導(dǎo)學(xué)生依照解題步驟進(jìn)行操作和計(jì)算，得出結(jié)果后要及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn).通過(guò)檢驗(yàn)提高學(xué)生做題的準(zhǔn)確性，保證學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣.

三、向量求解立體幾何的運(yùn)用

向量法在解決求立幾中的角和距離兩大問(wèn)題中，是行之有效的方法，它降低了立幾中求證和求解的難度，是一種非常高效和便捷的解題手段.運(yùn)用向量法解決立體幾何問(wèn)題的過(guò)程中，要通過(guò)“作”、“證”、“求”三步，在空間想象過(guò)程中對(duì)空間中，線、面之間的關(guān)系進(jìn)行判定，確定相應(yīng)的向量關(guān)系式，尋找向量求解立體幾何的路徑.

向量法則很好展現(xiàn)了立體幾何中復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系，以向量對(duì)關(guān)系狀況進(jìn)行表達(dá)非常簡(jiǎn)潔和清晰，解題過(guò)程中避免了過(guò)多坐標(biāo)量導(dǎo)致的計(jì)算錯(cuò)誤，所以它對(duì)人們研究立幾問(wèn)題有著普及的意義.尤其是在立體幾何中線面平行和線面垂直、面面垂直和面面平行等位置關(guān)系的證明時(shí)，更能達(dá)到事半功倍的效果.

例3設(shè)a=（a1，a2，a3），b=b1，b2，b3，且a≠b，記|a-b|=m，求a-b與x軸正方向的夾角的余弦值.

解析本題主要考察了向量夾角余弦值的求解方法，解題的過(guò)程中找出兩個(gè)向量之間的關(guān)系后，直接用余弦值求解公式即可.因此，要在a-b=（a1-b1，a2-b2，a3-b3）與x軸正方向向量c=（x，0，0）之間建立點(diǎn)積關(guān)系.

解答取x軸正方向的任一向量c=（x，0，0），設(shè)所求夾角為α，

因?yàn)椋╝-b）·c=（a1-b1，a2-b2，a3-b3）·（x，0，0）

=（a1-b1）x，

所以cosα=（a-b）·c|a-b||c|=（a1-b1）xmx=a1-b1m，

即為所求.

基礎(chǔ)部分知識(shí)解題時(shí)難度較小，在對(duì)該類習(xí)題進(jìn)行求解的過(guò)程中只要將向量關(guān)系代入后求解即可.部分情況下可以采用逆向思維倒推，從而找到向量關(guān)系式，完成問(wèn)題的處理.

四、向量求解解析幾何的運(yùn)用

在高中數(shù)學(xué)體系中，解析幾何占有著很重要的地位，有些問(wèn)題用常規(guī)方法去解決往往運(yùn)算比較繁雜，運(yùn)用向量作形與數(shù)的轉(zhuǎn)化則會(huì)大大簡(jiǎn)化過(guò)程，實(shí)現(xiàn)解析幾何的化簡(jiǎn)，從根本上提升問(wèn)題的處理效益.但是應(yīng)用向量求解解析幾何問(wèn)題的過(guò)程中，教師要解析結(jié)合中常用的向量關(guān)系式進(jìn)行歸納和總結(jié)，從學(xué)生感興趣的內(nèi)容出發(fā)，構(gòu)建相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，讓學(xué)生進(jìn)行解題聯(lián)系，這樣才能夠讓學(xué)生快速找到解析幾何中的解題點(diǎn).

例4已知A（-3，0），B（3，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|+|PB|=4.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）作直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，求OM·ON的取值范圍.

解析該題求解的過(guò)程中主要把握好數(shù)量積的關(guān)系式，要在數(shù)量積的基礎(chǔ)上借助函數(shù)最值關(guān)系求解OM·ON的取值范圍.

解答（1）由題目中的關(guān)系量可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x24+y2=1.

（2）當(dāng)直線l為x軸時(shí)，

M（-2，0），N（2，0），OM·ON=-4.

當(dāng)直線l不為x軸時(shí)，設(shè)過(guò)（1，0）的直線l：x=λy+1，

代入曲線C的方程得（4+λ2）y2+2λy-3=0.

設(shè)M（x1，y1）、N（x2，y2），

則y1+y2=-2λ4+λ2，y1y2=-34+λ2.

OM·ON=x1x2+y1y2=（λ2+1）y1y2+λ（y1+y2）+1

=-4λ2+14+λ2=-4+174+λ2∈（-4，14].

所以O(shè)M·ON的取值范圍為[-4，14].

向量處理解析幾何問(wèn)題的過(guò)程中需要找準(zhǔn)向量關(guān)系，以該關(guān)系作為突破口解題，對(duì)復(fù)雜的解析幾何關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，完成問(wèn)題的簡(jiǎn)化.

高中數(shù)學(xué)向量知識(shí)教學(xué)的過(guò)程中教師要對(duì)向量知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整理，在該基礎(chǔ)上形成針對(duì)性框架體系，對(duì)各知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行明確，從而實(shí)現(xiàn)向量知識(shí)內(nèi)容的全面把握.教師要有目的性地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行各種類型向量習(xí)題的訓(xùn)練，在實(shí)際訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)學(xué)生的不足并給予相應(yīng)的建議，潛移默化中提升學(xué)生向量問(wèn)題處理效果.