陳　飛

(江淮汽車股份有限公司技術(shù)中心變速箱研究院，安徽 合肥 230601)

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·機電工程·

基于Hertz接觸理論的滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)解析建模

陳飛

(江淮汽車股份有限公司技術(shù)中心變速箱研究院，安徽 合肥 230601)

摘要：為研究滾動直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)特性，基于Hertz接觸理論，從分析單個滾珠與溝槽的接觸入手，在綜合考慮滾動直線導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)特點基礎(chǔ)上建立靜力學(xué)模型，并對其垂直方向剛度進行理論求解；然后運用CoFEM模型對該模型進行驗證，進而分析不同外載荷及預(yù)緊力對滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。結(jié)果表明：在不同外載荷作用下，滾動直線導(dǎo)軌副表現(xiàn)出分段非線性性質(zhì)；增加預(yù)緊力可顯著增加系統(tǒng)的剛度，從而提高系統(tǒng)穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：直線導(dǎo)軌；靜力學(xué)；分析模型；赫茲接觸理論

滾動直線導(dǎo)軌副由于定位精度高、容許負(fù)載大、剛度高、變形小等突出特點，在高精度數(shù)控機床中得到了廣泛的應(yīng)用[1-4]。為實現(xiàn)高精度、高剛度、易保養(yǎng)等特點，滾動直線導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，主要由軌道、滑塊、滾珠、端蓋板、鋼珠保持架及其他附件組成，如圖1所示。滾珠在軌道與滑塊溝槽之間連續(xù)滾動，使得滑塊相對于軌道發(fā)生直線運動，將傳統(tǒng)軌道與滑塊之間的滑動變?yōu)闈L珠與溝槽之間的滾動，大大減小了摩擦力的作用，從而減小磨損，延長使用壽命。滾動直線導(dǎo)軌副中，滾珠與導(dǎo)軌及滑塊溝槽之間存在大量的接觸作用。接觸作用為一種典型的強非線性行為，很難獲得滾動直線導(dǎo)軌副準(zhǔn)確的支撐剛度。本文針對滾珠與溝槽之間的接觸作用，應(yīng)用Hertz接觸理論對滾動直線導(dǎo)軌副的接觸剛度進行理論求解，此思路為滾動直線導(dǎo)軌副的設(shè)計與選擇提供借鑒。

目前，很多學(xué)者對滾動直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)特性進行了研究。Dhupia 等[5]通過實驗并結(jié)合Hertz接觸理論，獲得了滾動直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)模型及其剛度; Ohta 等[6]借助有限元方法并應(yīng)用Hertz接觸理論，獲得了滾動直線導(dǎo)軌副的支撐剛度。為建立準(zhǔn)確的滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)模型，以上2種方法分別借助實驗方法及有限元方法對關(guān)鍵參數(shù)進行了修正。Dadalau 等[7]應(yīng)用有限元理論，建立了滾動直線導(dǎo)軌副的CoFEM模型，并應(yīng)用該模型分析滾動直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)特性。文獻[8-9]利用Hertz接觸理論，首先建立了單個滾珠-溝槽接觸模型，并將此模型應(yīng)用于整體模型，通過解析方法求解滾動直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)剛度。他們認(rèn)為在不同載荷作用下，滾動直線導(dǎo)軌副的接觸角不發(fā)生變化。Wu 等[10]和Hung[11]將滾珠與軌道及滑塊溝槽之間的接觸作用應(yīng)用彈簧單元代替，獲得滾動直線導(dǎo)軌副的接觸剛度。雖然滾動直線導(dǎo)軌副的整體剛度很大，但是將強非線性的接觸剛度應(yīng)用彈簧單元來代替，不能準(zhǔn)確反映滾動直線導(dǎo)軌副力學(xué)特性。

本文以典型結(jié)構(gòu)的滾動直線導(dǎo)軌副為研究對象，應(yīng)用Hertz接觸理論，建立滾動直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)解析模型，并應(yīng)用該模型對其垂直方向剛度進行理論求解。首先，根據(jù)Hertz接觸理論建立單個滾珠-溝槽接觸模型；然后，將單個滾珠-溝槽接觸模型引入整個滾動直線導(dǎo)軌副的模型中，建立整體解析模型；最后，應(yīng)用CoFEM模型，驗證本文所建模型的正確性。

1滾動直線導(dǎo)軌副接觸模型

根據(jù)滾動直線導(dǎo)軌副的結(jié)構(gòu)，建立如圖2所示力學(xué)模型。圖中1、2、3、4分別代表4排滾珠，為便于分析，認(rèn)為滾珠均勻排列于導(dǎo)軌及滑塊溝槽之間，每排溝槽中參與接觸的滾珠數(shù)量相同(均為n)，在垂直載荷的作用下，假設(shè)同一排滾珠受力情況一致，因此，可選擇導(dǎo)軌系統(tǒng)中一截面的4個滾珠及溝槽為對象進行分析。在初始預(yù)緊力的作用下，滾珠與溝槽接觸發(fā)生彈性變形且變形量相同，使每排滾珠均處于被壓狀態(tài)，如圖2所示。

圖2　滾動直線導(dǎo)軌副接觸模型(外載荷P=0)

為獲得具有高剛度特點的滾動直線導(dǎo)軌副，往往需要施加一定的預(yù)緊力。在預(yù)緊力的作用下，滾珠與導(dǎo)軌及滑塊溝槽之間產(chǎn)生接觸壓力Q0，在接觸壓力的作用下，滾珠與導(dǎo)軌及滑塊的接觸面產(chǎn)生局部變形δ0,根據(jù)文獻[8- 9, 12],可得

(1)

式中

其中：δc0,δr0分別為僅在預(yù)緊力作用下滾珠與滑塊及軌道溝槽接觸所產(chǎn)生的彈性變形量；E1、E2、ν1、ν2分別為滾珠、導(dǎo)軌及滑塊材料的彈性模量(GPa)和泊松比；μ為Hertz系數(shù)；∑ρ為綜合曲率(mm-1)。由于滑塊與軌道的材料參數(shù)與幾何參數(shù)相同，所以其變形量相等，即δc0=δr0。

根據(jù)幾何關(guān)系，可以得到每排軌道溝槽曲率中心與滑塊溝槽曲率中心的中心距s0，為

s0=2r-d0+δ0=m0+δ0。

(2)

由于rr、rc及d0對于具體的導(dǎo)軌系統(tǒng)而言均是常量，為計算方便，引入導(dǎo)軌系統(tǒng)幾何參數(shù)m0。

圖3　外載荷作用下，滾動直線導(dǎo)軌副接觸模型(P>0)

圖4　溝槽中心位置(P>0)

當(dāng)滾動直線導(dǎo)軌副受到垂直載荷作用(P>0)時，假設(shè)導(dǎo)軌不發(fā)生運動，滑塊將產(chǎn)生豎直向下的位移v，由于滑塊被視為剛體，滑塊各排溝槽的曲率中心的位移為v，每排單個滾珠的受力Qi(i=1,2,3,4)發(fā)生變化，每排滾珠的接觸角γi(i=1,2,3,4)發(fā)生相應(yīng)的變化，從而每排導(dǎo)軌及滑塊溝槽中心距si(i=1,2,3,4)發(fā)生變化，如圖3、圖4所示。根據(jù)圖4可以得出以下幾何關(guān)系：

(3)

根據(jù)式(3)，可以得到1、4排導(dǎo)軌及滑塊溝槽中心距s1、s4及接觸角γ1、γ4：

(4)

根據(jù)中心距與滾珠彈性變形的關(guān)系，可得：

(5)

根據(jù)滾珠與溝槽接觸模型，可得：

(6)

由于同一排溝槽中的滾珠的受力情況是一致的，則根據(jù)牛頓力學(xué)原理，可得

(7)

根據(jù)滾動直線導(dǎo)軌副的對稱性，可知Q1=Q2,γ1=γ2；Q3=Q4,γ3=γ4。式(7)可化簡為

(8)

根據(jù)式(3)—(8)可以得到垂直載荷P與滑塊變形v之間的關(guān)系式，為

(9)

由式(9)可以看出，在垂直外載荷作用下，有預(yù)緊的直線滾動導(dǎo)軌系統(tǒng)的垂直變形v與垂直載荷P的關(guān)系不是線性關(guān)系。

隨著垂直載荷P的增大，滑塊各溝槽的曲率中心向下運動，上排滾珠的變形量δ1、δ2逐漸變大，局部載荷Q1、Q2增大，而下排滾珠的變形量δ3、δ4逐漸減小，局部載荷Q3、Q4減?。划?dāng)δ3=δ4=0(或Q3=Q4=0)時，導(dǎo)軌系統(tǒng)達到臨界狀態(tài)；隨著垂直載荷P的繼續(xù)增大，下排滾珠失去作用，由上排滾珠實現(xiàn)導(dǎo)軌系統(tǒng)的支撐作用。

將δ4=0代入式(4)和式(5)可以得到滾動直線導(dǎo)軌副達到臨界狀態(tài)的滑塊的位移量

(10)

將vc代入式(9)得到導(dǎo)軌系統(tǒng)的臨界載荷

(11)

當(dāng)P>Pc時，下排滾珠失去支撐作用，垂直載荷P與滑塊垂直位移v的關(guān)系為

(12)

根據(jù)剛度與載荷、變形的關(guān)系，可以得到滾動直線導(dǎo)軌副的平均垂直剛度

KR=P/v。

(13)

2仿真驗證與分析

2.1仿真驗證

為驗證所建模型的可行性，以文獻[9]所選擇的滾動直線導(dǎo)軌副SHS-35為研究對象進行分析，并采用文獻[9]中的CoFEM模型驗證本文所建模型的正確性。滾動直線導(dǎo)軌副的主要參數(shù)如表1所示。

表1　滾動直線導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)參數(shù)

由表1及文獻[12]可得，∑ρ=0.327 mm-1,μ=0.634；因此，可計算得到參數(shù)C=0.122 μmN3/2。

圖5示出采用本文所建滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)解析模型及CoFEM模型的分析結(jié)果。在不同的載荷作用下，滾動直線副的位移不同。根據(jù)上節(jié)分析可知，由于接觸非線性特性的存在，隨著載荷的增加，滾動直線導(dǎo)軌副的位移不是線性增加的。圖5(a)為本文所建解析模型與有限元模型的分析結(jié)果?？梢钥闯觯弘S著載荷的增加，滾動直線導(dǎo)軌副的位移的確不是線性增加的，與分析結(jié)果一致；解析模型與有限元模型的分析結(jié)果基本一致。這說明本文所建滾動直線導(dǎo)軌副的解析模型是正確的。圖5(b)為不同載荷作用下，剛度與位移的關(guān)系曲線?？梢钥闯?，滾動直線導(dǎo)軌副的剛度曲線存在2個明顯不同的階段：在臨界位移之前，隨著位移的增加，剛度逐漸減??；當(dāng)位移大于臨界位移時，即v>vc，剛度隨著位移的增加而增大?？梢姡瑵L動直線導(dǎo)軌副的剛度與位移關(guān)系曲線的變化趨勢與上節(jié)分析結(jié)果一致。在臨界位移之前，2種方法所得到的剛度存在一定的誤差；但是，當(dāng)位移超過臨界位移以后，2種方法所得到的剛度基本一致。由此可以充分說明本文提出滾動直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。

(a)位移-載荷曲線

(b)位移-剛度曲線

2.2外載荷和預(yù)緊力的影響

通過上節(jié)仿真驗證，說明本文所建滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)模型的正確性。本節(jié)應(yīng)用所建靜力學(xué)模型分析外載荷及預(yù)緊力對滾動直線導(dǎo)軌副的影響。本文采用預(yù)緊力Q0分別為186.9、373.8、560.7 及747.6進行分析。圖6示出不同載荷及預(yù)緊力對滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。其中，圖6(a)為位移-載荷曲線，圖6(b)為載荷-剛度曲線。首先，分析載荷對滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。可以看出，不同預(yù)緊力條件下，外載荷的影響是基本相同的。當(dāng)位移小于1 μm時，滾動直線導(dǎo)軌副的剛度基本保持不變；當(dāng)位移小于臨界位移時，位移-載荷曲線隨著載荷的增加，斜率逐漸減小，剛度相應(yīng)的減小；當(dāng)位移大于臨界位移時，隨著載荷的增加，位移逐漸變大，位移-載荷曲線斜率逐漸增大，剛度也隨著增大。可見，隨著外載荷的不同，滾動直線導(dǎo)軌副表現(xiàn)出分段非線性的性質(zhì)。

接下來，分析預(yù)緊力對滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。從圖6(a)位移-載荷曲線可以看出，無論位移是位于臨界位移之前還是之后，在相同的外載荷作用下，隨著預(yù)緊力的增加，位移逐漸減小。在相同的載荷條件下，隨著預(yù)緊力的增加，滾動直線導(dǎo)軌副的剛度逐漸增大。當(dāng)載荷小于臨界載荷時，隨著載荷的增加，不同預(yù)緊力作用下的剛度差基本保持不變；當(dāng)載荷大于臨界載荷時，隨著載荷的增加，不同預(yù)緊力作用下的剛度差逐漸減小。從分析結(jié)果可知，滾動直線導(dǎo)軌副的剛度受到外載荷及預(yù)緊力的影響。

(a)位移-載荷曲線

(b)載荷-剛度曲線

圖7示出滾珠與溝槽接觸局部受力情況。其中，圖7(a)示出上排滾珠與溝槽接觸局部接觸力Q1的變化情況；圖7(b)示出下排滾珠與溝槽接觸局部接觸力Q2的變化情況。從圖7(a)可以看出，隨著載荷的增加，上排滾珠局部接觸力逐漸增加，且斜率逐漸增加，與分析結(jié)果一致，單個滾珠與溝槽的接觸同樣表現(xiàn)出非線性。當(dāng)載荷小于臨界載荷時，增大預(yù)緊力，上排滾珠的局部接觸力增加；當(dāng)載荷大于臨界載荷時，上排滾珠的局部接觸力是一樣的，但是由于位移隨著預(yù)緊力的增加而減小(見圖6)，整體剛度增加。從圖7(b)可以看出，隨著載荷(位移)的增加，下排滾珠的接觸力逐漸減小，當(dāng)達到臨界載荷(位移)時，減為0。隨著載荷(位移)繼續(xù)增加，下排滾珠的接觸力始終為0，不發(fā)生變化。隨著預(yù)緊力的增加，下排滾珠接觸力變?yōu)?時的載荷(位移)增加，即臨界(載荷)位移增加，與整體分析得出相同的結(jié)論。從上述分析可知，滾動直線導(dǎo)軌副表現(xiàn)出分段非線性的性質(zhì)，以及增加預(yù)緊力以增加系統(tǒng)剛度的原因為單個滾珠與溝槽接觸的非線性及接觸的不可拉伸性。

(a)載荷-接觸力Q1曲線

(b)載荷-接觸力Q4曲線

3結(jié)論

本文基于Hertz接觸理論，在充分考慮滾動直線導(dǎo)軌副結(jié)構(gòu)特征的基礎(chǔ)上，建立滾動直線導(dǎo)軌副的靜力學(xué)解析模型，并應(yīng)用該模型對其垂直方向剛度進行理論求解，采用CoFEM方法對所建模型進行了驗證，從而證明了本文所建滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)模型的正確性。最后，應(yīng)用該模型分析了外載荷及預(yù)緊力對滾動直線導(dǎo)軌副靜力學(xué)特性的影響。研究結(jié)果表明： 1)在不同的外載荷條件下，滾動直線導(dǎo)軌副表現(xiàn)出分段非線性的性質(zhì); 2)增加預(yù)緊力可以顯著增加滾動直線導(dǎo)軌副的剛度，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性； 3)單個滾珠與溝槽的接觸非線性和接觸本身的不可拉伸性決定了滾動直線導(dǎo)軌副的分段非線性的性質(zhì)，為增加預(yù)緊力可提高系統(tǒng)剛度提供了理論參考。

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(編校：饒莉)

Static Analytical Modeling of Linear Guide Based on Hertz Contact Theory

CHEN Fei

(JianghuaiAutomobileCompanyTechnicalCenterTransmissionR&DAcademy，Hefei230601China)

Abstract:To study the static characteristic of the linear guide , the ball-groove contact model is developed based on the Hertz contact theorem. By using the ball-groove contact model, the analytical static mode of the linear guide is established. Moreover, the CoFEM model is utilized to verify the feasibility of the proposed analytical model . Finally, the effects of load and preload on the static model are discussed based on the analytical model. The results indicate that the linear guide has piecewise-nonlinear characteristic in different loads. Additionally, the stiffness of the linear guide can be increased significantly by increasing the preload on the system as well as the stability.

Keywords:linear guide; static; analytical modeling; Hertz contact theory

doi:10.3969/j.issn.1673-159X.2016.02.008

中圖分類號：TH132

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1673-159X(2016)02-0039-5

作者簡介：陳飛(1988—)，男，碩士，工程師，主要研究方向為機械傳動系統(tǒng)。E-mail：13721051629@163.com

收稿日期：2015-10-29