楊昌明，段勝秋

(西華大學機械工程學院，四川 成都 610039)

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基于非對稱質量損失模型的函數(shù)機構穩(wěn)健設計

楊昌明，段勝秋

(西華大學機械工程學院，四川 成都 610039)

摘要：為解決產品的質量特性偏離理想值所帶來的非對稱質量損失問題，提出一種非對稱質量損失模型。應用截尾正態(tài)分布理論，推導出非對稱質量損失的均值計算公式，以曲柄滑塊機構為例，建立對稱與非對稱2種穩(wěn)健優(yōu)化模型。與對稱質量損失函數(shù)相比，基于非對稱質量損失函數(shù)的優(yōu)化結果能夠有效避開質量損失大的方向，從而有效減小質量損失。蒙特卡洛仿真實驗驗證了該方法的有效性。

關鍵詞：穩(wěn)健設計；非對稱質量損失函數(shù)；曲柄滑塊機構；蒙特卡洛法

在工程實踐中，產品或工藝過程受到許多隨機因素的影響，使得質量特性偏離目標，從而導致質量損失。文獻[1]采用二次損失函數(shù)來表示這種損失的大小，該方法在工程應用中取得了明顯的效果；然而，傳統(tǒng)的二次損失函數(shù)是一種對稱函數(shù)，但事實上產品的性能指標大于目標值和小于目標值所造成的損失可能是不對稱的。例如，在孔類零件的加工中：當孔的實際尺寸小于孔的最小極限尺寸時，雖然屬于不合格零件，但仍可以返工，這時質量損失相對小一些；當孔的實際尺寸超過孔的最大極限尺寸時，零件就要作廢，則相應的質量損失就要大一些[2]。

平面函數(shù)機構在工程中應用廣泛，減小運動誤差、提高機構的運動精度及穩(wěn)健性，有利于機構實現(xiàn)其預期功能。對此，學者們開展了這類問題的研究[3-5]，但從非對稱質量特性的角度來開展機構穩(wěn)健設計的研究還不多見。為此，本文提出一種非對稱質量損失的穩(wěn)健設計優(yōu)化方法，并以曲柄滑塊機構為例，進行理論計算和MCS驗證。其結果表明，該方法可以減小質量損失，解決了質量特性較目標值偏大為好或偏小為好的穩(wěn)健設計需求問題，有一定的應用價值。

1傳統(tǒng)質量損失模型

產品質量特性受到隨機因素的影響，當其偏離目標值時，就會引起質量損失。Taguchi提出的穩(wěn)健設計，可以在不消除不確定性源的前提下，通過設計優(yōu)化使影響因素對產品質量的影響盡可能小。

設影響因素分為可控因素X和不可控因素P，則質量特性Q可表示為

Q=f(X,P)。

(1)

設m為質量特性的目標值，則質量損失表示為

(2)

該函數(shù)曲線如圖1所示。其中，Δ為質量特性的規(guī)定偏差，A為質量特性Q在點m-Δ或m+Δ處所對應的質量損失。

圖1　對稱質量損失函數(shù)

由于產品的質量特性是隨機變量，所以質量損失函數(shù)也是隨機的。令Y=Q-m，則Y的目標值為0，其質量損失的期望值E{L(Y)}可表示為

(3)

式中k=A/Δ2。

如果產品或工藝過程有n個質量特性，則有

(4)

2非對稱質量損失模型

傳統(tǒng)的質量損失函數(shù)是對稱的，但實際生產制造中，質量特性偏離目標造成的損失在很多情況下是非對稱的。假設質量特性的規(guī)定偏差區(qū)間為[m-Δ-,m+Δ+]，A+是質量特性為m+Δ+時的質量損失，A-是質量特性為m-Δ-時的質量損失，質量損失函數(shù)為：

(5)

當A->A+時，其質量損失函數(shù)如圖2所示。

圖2　非對稱質量損失函數(shù)(A-> A+ )

反之，當A-

圖3　非對稱質量損失函數(shù)(A-< A+)

此時，由于質量損失函數(shù)不是關于m對稱的，所以將其截尾為[-,m]和[m,+]2部分，質量損失函數(shù)的期望E{L(Q)}則為

(6)

令Yi=Qi-mi，則新的目標值為0，因此有：

(7)

(8)

式中fYi(y)～N(μYi,σYi)。

(9)

同理，式(8)可變化為

(10)

(11)

(12)

在目標值為0的情況下，對0點左邊的質量特性而言，由于其截尾分布范圍為[-,0]，可知vli=-，vui=-μYi/σYi。由φ(-)=0，Φ(-)=0，根據(jù)式(9)、(11)和(12)，可得

(13)

(14)

3曲柄滑塊機構誤差分析

曲柄滑塊機構是常見平面函數(shù)機構，如圖4所示，a為曲柄長度，b為連桿長度，e為滑塊偏置距離，θ為曲柄轉角。曲柄滑塊機構的實際運動規(guī)律為

(15)

在曲柄滑塊機構設計時，給定S*為已知的運動規(guī)律，則滑塊的運動誤差為

ε=S-S*=f(a,b,e,θ)。

(16)

圖4　曲柄滑塊機構

ε為滑塊實際運動規(guī)律與設計目標之間的偏差，其理想值為0。由式(16)可知，ε是關于a、b、e、θ的函數(shù)，而且由于加工誤差等原因將導致a、b、e的波動，也就將導致ε的波動，降低了運動精度的可靠性及穩(wěn)健性。

按穩(wěn)健設計的思想，當實際值S偏離理想值S*時，將產生質量損失，而且某些情況下S大于和小于S*所帶來的損失大小是不對稱的。例如活塞在氣缸中的運動情況，在上止點、下止點處出現(xiàn)正的運動誤差，有利于排氣與做功。

4曲柄滑塊機構算例

針對圖4所示的曲柄滑塊機構，機構需要實現(xiàn)的運動規(guī)律如式(17)所示函數(shù)：

(17)

將曲柄的工作轉角范圍[225°，285°]離散為21點，則：

θi=225°+(i-1)×3°(i=1,2,…,21)；

(18)

(19)

根據(jù)式(4)建立傳統(tǒng)穩(wěn)健設計優(yōu)化模型1，為：

(20)

式中：[μa，μb，μe]為隨機變量X=[a，b，e]的均值；g=e+a-b≤0表示曲柄存在條件，與質量特性一樣，該約束函數(shù)也同樣受到隨機因素的影響，采用罰函數(shù)方法施加概率約束；μg,σg分別為g的均值與標準差；β可根據(jù)實際情況取值，本算例β=4。

根據(jù)式(6)、(13)、(14)建立非對稱穩(wěn)健設計優(yōu)化模型2，為：

(21)

假設隨機變量服從正態(tài)分布，且[σa,σb,σe]=[0.025, 0.025, 0.025]，取k-=A-/Δ2= 400/0.32，k+=A+/Δ2= 200/0.32。對于非對稱情況，k-=2k+；對稱情況則取k=k+。2種模型對應的優(yōu)化結果如表1所示。

表1　優(yōu)化結果(A-> A+)

令k-=A-/Δ2= 200/0.32，k+=A+/Δ2= 400/0.32。對于非對稱情況，k+=2k-；對稱情況則取k=k-。2種模型對應的優(yōu)化結果如表2所示。

表2　優(yōu)化結果(A+> A-)

采用蒙特卡洛方法(MCS)進行驗證，抽樣次數(shù)為106，結果見表1和表2，仿真與理論計算的損失(按費用比較)非常接近，說明本文算法有很高的計算精度。

圖5　滑塊運動偏差(A- > A+)

由圖5可知，當A->A+時，為了避免質量特性偏小方向的大質量損失，所以較模型1，模型2將點往質量特性偏大方向移動。當A+>A-時，質量特性偏大方向的質量損失大于偏小方向，所以模型2各點較模型1向偏小方向移動，見圖6。從表1與表2可知，當涉及質量特性偏好時，采用非對稱質量損失模型可以獲得更小的質量損失?？梢姡鄬τ趯ΨQ質量損失函數(shù)，非對稱質量損失函數(shù)可以很好解決Y偏大為好還是Y偏小為好的質量特性設計優(yōu)化需求問題。

圖6　滑塊運動偏差(A+> A-)

5結論

1)工程實際中，大于或小于理想值所帶來的損失是不同的，為此，本文提出一種非對稱質量損失函數(shù)及其參數(shù)估計算法，無需數(shù)值積分。通過蒙特卡洛仿真驗證，其誤差很小，計算精度高，表明該方法有效。

2)以曲柄滑塊機構為例，建立了傳統(tǒng)質量損失函數(shù)模型與非對稱質量損失函數(shù)模型。其驗證結果表明，非對稱質量損失模型的結果能夠有效避開質量損失大的一方，使得質量損失變小。

3)提出的方法很好地解決了質量特性較目標值偏大為好或偏小為好的穩(wěn)健設計需求問題，有一定的應用價值。

參考文獻

[1]Taguchi G,Elsayed E A, Hsiang T C. Quality Engineering in Production System [M]. New York:McGraw-Hill, 1989:45-56.

[2]陳湘來, 韓之俊, 張斌. 非對稱損失函數(shù)的質量特性值優(yōu)化選擇[J]. 工業(yè)工程, 2008,11(3):24.

[3]李奇, 張均富. 平面軌跡機構的靜態(tài)綜合可靠性分析[J].西華大學學報(自然科學版)，2015，34(3)：17.

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[5]龐歡, 喻天翔, 宋筆鋒. 平面連桿機構運動精度可靠性及靈敏度分析[J]. 中國機械工程, 2014,25(18):2415.

[6]Du Xiaoping.Robust Design Optimization with Bivariate Quality Characteristics[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization,2012,46(2):187.

(編校：饒莉)

Robust Synthesis of Function Mechanisms by Using Asymmetric Quality Loss Models

YANG Changming， DUAN Shengqiu

(SchoolofMechanicalEngineering，XihuaUniversity,Chengdu610039China)

Abstract:In order to account for asymmetric quality loss problems resulted from quality characteristics deviation to targets, we propose asymmetric loss models. Firstly, truncated normal distribution theory is applied to computing the expected value for asymmetric loss functions. Symmetric and asymmetric optimization models are then built for robust synthesis of a slider-crank mechanism. Compared with symmetric quality loss model, asymmetric quality loss model has the advantage to shift away from big quality loss and reduce quality loss. Finally, the Monte Carlo simulation solutions show that the proposed approach is effective in robust design for problems with asymmetric quality losses.

Keywords:robust design; asymmetric quality loss function; slider-crank mechanism; MCS

doi:10.3969/j.issn.1673-159X.2016.02.006

中圖分類號：TH112

文獻標志碼：A

文章編號：1673-159X(2016)02-0030-4

基金項目：教育部重點實驗室資助項目流體及動力機械(SBZDPY-11-22)。

收稿日期：2015-11-16

第一作者：楊昌明(1969—)，男，教授，博士，主要研究方向為數(shù)值仿真、穩(wěn)健設計等。E-mail:cmyang@163.com

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