張延慶，孫 珂

(北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124)

鐵路橋梁多采用梁式結(jié)構(gòu)。在梁式橋的傳統(tǒng)分析方法中，結(jié)構(gòu)邊界通常被簡(jiǎn)化為理想鉸接或剛接。在實(shí)際工程中，梁式結(jié)構(gòu)邊界一般不是理想支承，如理論上鐵路簡(jiǎn)支梁橋的端部轉(zhuǎn)角沿橋跨方向的變化率無(wú)窮大，實(shí)際由于鋼軌等具有一定的抗彎剛度，端部轉(zhuǎn)角受限；剛接的梁式結(jié)構(gòu)存在一定柔性[1]；連續(xù)梁中的相鄰跨可互為彈性支承[2]。非理想支承在影響結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布的同時(shí)，也會(huì)影響其變形分布。

在役橋梁結(jié)構(gòu)作為鐵路及公路運(yùn)輸?shù)闹匾A(chǔ)措施，橋梁檢測(cè)成為其發(fā)展過(guò)程中不可少的一部分。及時(shí)的損傷檢測(cè)可以保證橋梁在使用期限內(nèi)有足夠的安全儲(chǔ)備。現(xiàn)階段有多種橋梁檢測(cè)分析方法，如采用基于固有頻率的損傷評(píng)估法[3]、利用靜力測(cè)試數(shù)據(jù)的模型修正方法[4]和基于模態(tài)振型的損傷識(shí)別方法[5]等，這些方法由于種種原因在工程應(yīng)用中存在一定局限。為了更全面分析橋梁的工作狀態(tài)，有學(xué)者提出利用影響線加載進(jìn)行檢測(cè)的方法[6]。影響線加載對(duì)于結(jié)構(gòu)的指定截面具有全局施加荷載的優(yōu)點(diǎn)，能反映該截面在移動(dòng)荷載作用下的響應(yīng)變化，避免了傳統(tǒng)檢測(cè)方法識(shí)別工況少、對(duì)局部損傷不敏感的缺點(diǎn)。隨著GPS和激光等工程測(cè)量技術(shù)的日益發(fā)展，利用較易得的位移數(shù)據(jù)分析結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)已成為可能[7，8]。

目前利用影響線對(duì)梁式結(jié)構(gòu)進(jìn)行損傷識(shí)別的方法主要集中在簡(jiǎn)支梁這一靜定結(jié)構(gòu)，文獻(xiàn)[9，10]利用位移影響線的二階導(dǎo)數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)理想支承下一維簡(jiǎn)支梁的損傷識(shí)別。文獻(xiàn)[11]提出一種基于簡(jiǎn)支梁位移影響線對(duì)稱(chēng)位置差值指標(biāo)進(jìn)行損傷定位的方法。針對(duì)兩端有一定轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的單跨梁或連續(xù)梁橋中的一跨等類(lèi)似超靜定結(jié)構(gòu)的位移影響線分析較少涉及，缺少理論支持。

為分析這種非理想支承形式下梁式結(jié)構(gòu)的工作狀態(tài)，本文建立端部存在轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承的鐵路梁橋模型。首先利用支承處的變形協(xié)調(diào)條件建立該模型的力法方程，得到存在局部損傷的梁式結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載下的內(nèi)力公式；根據(jù)虛功原理得到該結(jié)構(gòu)任意測(cè)點(diǎn)的位移影響線顯式表達(dá)式。利用這類(lèi)較易得到的全局性數(shù)據(jù)，分析局部損傷與彈性支承間的關(guān)系，得到彈性支承剛度Kb與局部損傷共同作用下位移影響線及其曲率的變化規(guī)律。本文為拓展影響線在橋梁領(lǐng)域應(yīng)用及適用性提供一定的理論支持。

1 轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承梁式結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析

如圖1所示，建立存在局部損傷的轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承梁式結(jié)構(gòu)模型，該結(jié)構(gòu)跨長(zhǎng)為l，集中荷載FP作用于x點(diǎn)處。該類(lèi)結(jié)構(gòu)具有以下特點(diǎn)：屬二次超靜定結(jié)構(gòu)；兩端支座處有轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承，Kb1、Kb2表示兩轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度；區(qū)間(a，b)處出現(xiàn)局部損傷；集中荷載位置沿橋跨方向變化。

圖1 存在局部損傷的轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承梁式結(jié)構(gòu)模型

1.1 力法方程

該模型作為超靜定結(jié)構(gòu)體系，無(wú)法直接通過(guò)平衡方程求解。為此，通過(guò)拆除兩個(gè)多余轉(zhuǎn)動(dòng)支承將原模型等效為一個(gè)簡(jiǎn)支梁的基本體系，如圖2所示。圖2中X1、X2代表轉(zhuǎn)動(dòng)支承處的彎矩。

圖2 基本體系

( 1 )

根據(jù)疊加原理，圖1所示狀態(tài)可由荷載FP、X1及X2分別作用在基本結(jié)構(gòu)上的相關(guān)位移相加得到。其中δij(i，j=1，2)表示Xi(i=1，2)=1分別單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上沿Xi(i=1，2)方向的位移；Δ1P，Δ2P表示FP作用時(shí)基本結(jié)構(gòu)沿Xi(i=1，2)方向的位移。利用結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)條件得到該模型的力法方程為

( 2 )

1.2 系數(shù)求解

影響線是在移動(dòng)荷載沿結(jié)構(gòu)移動(dòng)時(shí)得到的某指定量值變化規(guī)律的圖形。本節(jié)推導(dǎo)移動(dòng)荷載FP作用下梁式結(jié)構(gòu)力法方程中各系數(shù)的表達(dá)式。

計(jì)算前做如下假定：非損傷區(qū)域結(jié)構(gòu)截面尺寸及材質(zhì)相同；不考慮剪切變形的影響；彎曲剛度為EI，在區(qū)間(a，b)處彎曲剛度定義為kEI來(lái)模擬局部損傷，其中k為剛度折減系數(shù)[9]。

為了區(qū)分移動(dòng)荷載的位置x，引入一個(gè)過(guò)渡坐標(biāo)系x′，如圖3所示。得到基本結(jié)構(gòu)分別在移動(dòng)荷載FP、單位力X1=1及X2=1作用下在任意截面位置x′處的內(nèi)力公式

(3a)

(3b)

(3c)

圖3 MP圖

Φ1(x，(a，b))

(4a)

(4b)

式中：Φ1(x，(a，b))、Φ2(x，(a，b))表示局部損傷對(duì)FP作用下基本結(jié)構(gòu)相應(yīng)位移的影響函數(shù)。此時(shí)由于移動(dòng)荷載與損傷區(qū)間(a，b)的位置關(guān)系不確定，該函數(shù)需分段表示。

當(dāng)x≤a時(shí)

當(dāng)a

當(dāng)x≥b時(shí)

從分段公式可以看到，除了移動(dòng)荷載位于損傷區(qū)域(a，b)之間時(shí)，局部損傷引起的基本結(jié)構(gòu)位移變化都是關(guān)于荷載位置x的一次函數(shù)。

(2)單位力單獨(dú)作用時(shí)基本結(jié)構(gòu)相應(yīng)位移系數(shù)

(5a)

(5b)

(5c)

從式( 5 )可以看出，系數(shù)δij與移動(dòng)荷載的位置無(wú)關(guān)，只與局部損傷位置及損傷程度有關(guān)。

1.3 彈性支承處反力及內(nèi)力影響線

將上面系數(shù)代入式( 2 )可以得到兩個(gè)未知力的表達(dá)式，即兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)支承處的彎矩MB1，MB2。

( 6 )

由式( 4 )～式( 6 )可知，支承處內(nèi)力MBi為荷載位置x的三次函數(shù)，分母項(xiàng)為損傷后結(jié)構(gòu)的相關(guān)剛度常數(shù)。

根據(jù)疊加原理，測(cè)點(diǎn)S處彎矩M影響線公式表示為

( 7 )

2 位移影響線解析公式

對(duì)于具有轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承的結(jié)構(gòu)，利用虛功原理求導(dǎo)任意測(cè)點(diǎn)S處的位移影響線，見(jiàn)式( 8 )。由于基本結(jié)構(gòu)兩端無(wú)約束轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，與彈性支承相關(guān)的位移ΔKC為零。

( 8 )

引入過(guò)渡坐標(biāo)系x′(圖4)，s表示位移觀測(cè)點(diǎn)S的位置，x表示荷載作用位置。

圖4 位移Δ求解簡(jiǎn)圖

當(dāng)單位荷載作用在測(cè)點(diǎn)S時(shí)，基本結(jié)構(gòu)上截面x′的彎矩表達(dá)式Ms可以將FP=1及x=s代入式( 3 )得到，在此不列出。在移動(dòng)荷載FP作用下截面x′的彎矩MP為

( 9 )

如圖4所示，由移動(dòng)荷載FP與局部損傷區(qū)間(a，b)及測(cè)點(diǎn)S的位置關(guān)系可以將結(jié)構(gòu)分為四段分析：①0

Δsx=Δ1(基本結(jié)構(gòu))+Δ2(與彈性支承相關(guān))

=Δ1，無(wú)損+Δ1，(a，b)+Δ2，Kbi+Δ2，(Kbi，(a，b))

(10)

式中：Δ1(基本結(jié)構(gòu))表示存在局部損傷時(shí)基本結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)S的位移影響線，可以由未損傷前基本結(jié)構(gòu)位移Δ1，無(wú)損和與局部損傷有關(guān)位移Δ1，(a，b)的疊加來(lái)表示。

Δ2(與彈性支承相關(guān))表示該梁式結(jié)構(gòu)中與彈性支承相關(guān)的位移，Δ2，Kbi表示與轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承內(nèi)力有關(guān)的位移變化量；Δ2，(Kbi，(a，b))表示與彈性支承剛度及(a，b)有關(guān)的量。此時(shí)要注意：由公式( 6 )求解轉(zhuǎn)動(dòng)支承內(nèi)力也與損傷(a，b)有關(guān)，本文為了表述清楚，人為將Δ2，Kbi，Δ2，(Kbi，(a，b))分開(kāi)表示。

3 轉(zhuǎn)動(dòng)剛度Kb對(duì)位移影響線的影響

從式(10)可以看到轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承和局部損傷相互作用與該類(lèi)梁式結(jié)構(gòu)位移影響線的關(guān)系。為了進(jìn)一步觀察轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度對(duì)影響線的影響及出現(xiàn)局部損傷時(shí)位移影響線的敏感性，結(jié)合數(shù)值分析編制相應(yīng)計(jì)算程序，對(duì)某跨度為40 m梁式結(jié)構(gòu)進(jìn)行豎向位移影響線分析。該結(jié)構(gòu)彈性模量E=3.3×107kN/m2，慣性矩I=2.387 5 m4，荷載FP=400 kN。

如圖5所示，以?xún)煽邕B續(xù)梁中左跨為分析對(duì)象，將原結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為如圖5(b)所示端部轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承的單跨結(jié)構(gòu)，分析Kb變化時(shí)該類(lèi)結(jié)構(gòu)的位移影響線特點(diǎn)。通過(guò)簡(jiǎn)化可以只分析左跨，將結(jié)構(gòu)分析工作量降低，在工程中也可以減少數(shù)據(jù)處理量。

圖5 簡(jiǎn)化過(guò)程

針對(duì)圖5(b)結(jié)構(gòu)，分析轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度Kb1變化時(shí)，跨中測(cè)點(diǎn)位移影響線的變化規(guī)律，如圖6(a)所示。由圖6(a)可以看到彈性支承剛度Kb1減小時(shí)，位移影響線整體數(shù)值變大，以測(cè)點(diǎn)為界靠近轉(zhuǎn)動(dòng)支承一側(cè)的位移數(shù)值變化較大。圖6(b)給出3個(gè)常用測(cè)點(diǎn)(跨中及兩個(gè)四分點(diǎn))在轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度變化前后影響線的差值。從圖6(b)可以看到，跨中測(cè)點(diǎn)的位移影響線變化最大；兩個(gè)四分點(diǎn)中靠近彈性支承測(cè)點(diǎn)(s=3l/4)數(shù)值的變化明顯大于遠(yuǎn)離端測(cè)點(diǎn)(s=l/4)的變化。

(a)跨中位移影響線

(b)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度變化前后位移影響線差值圖6 Kb1變化時(shí)位移影響線

由式(10)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承剛度變化時(shí)，位移影響線的峰值位置也在變化，在遠(yuǎn)離彈性支承處(s=l/4)變化較明顯。圖7為彈性支承剛度Kb1變化時(shí)四分之一跨位移影響線峰值位置的變化。從圖7可以看到，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度Kb1增大，四分之一跨處的位移影響線峰值位置從0.45l向0.4l移動(dòng)。而跨中及四分之三跨處的位移影響線峰值位置隨轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度Kb1變化，分別出現(xiàn)在跨中及0.55l附近，變化幅度較小。

圖7 Kb變化時(shí)s=l/4處位移影響線峰值位置變化情況

通過(guò)上述分析，可以總結(jié)出一般規(guī)律：兩端都存在彈性支承時(shí)，以測(cè)點(diǎn)為界，靠近轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度較大的一側(cè)在剛度變化時(shí)影響線數(shù)值變化大；針對(duì)常用測(cè)點(diǎn)(跨中測(cè)點(diǎn)及兩個(gè)四分點(diǎn))，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度變化時(shí)，跨中測(cè)點(diǎn)的位移影響線變化最大，靠近轉(zhuǎn)動(dòng)剛度較大支承四分點(diǎn)的變化大于另一個(gè)四分點(diǎn)的變化；隨著轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承變化，位移影響線的峰值位置也出現(xiàn)變化，遠(yuǎn)離轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承一側(cè)的測(cè)點(diǎn)峰值位置變化較大。

4 轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承及局部損傷共同作用對(duì)位移影響線的影響

圖8分別給出該結(jié)構(gòu)在區(qū)間(0.3l，0.4l)處出現(xiàn)損傷時(shí)跨中影響線Δsx、Δ1及Δ2的曲線，其中Δ1也可以表示簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)出現(xiàn)局部損傷時(shí)的位移影響線。由圖8可以看到對(duì)于簡(jiǎn)支梁，轉(zhuǎn)動(dòng)支承的存在使該結(jié)構(gòu)影響線的整體數(shù)值減少，但在缺少原始數(shù)據(jù)的情況下不能直接判斷局部損傷對(duì)位移影響線的影響程度，需要借助進(jìn)一步的數(shù)值處理來(lái)觀察。

圖8 位移影響線組成圖

當(dāng)該類(lèi)梁式結(jié)構(gòu)出現(xiàn)局部損傷時(shí)，從式(10)可以看到彈性支承對(duì)局部損傷引起的影響線變化是有影響的。如圖8所示，直接利用位移影響線并不能判斷局部損傷的存在。有的研究表明位移曲線的曲率在簡(jiǎn)支梁的局部損傷識(shí)別中有較好效果[10]。以簡(jiǎn)支梁(Kb=0)、等跨連續(xù)梁其中一跨及固端梁(Kb=∞)為例，通過(guò)對(duì)位移影響線進(jìn)行曲率求解，進(jìn)一步分析對(duì)比轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度及局部損傷共同作用時(shí)影響線的變化情況。

設(shè)曲率為κ(x)、Δ為豎向位移，根據(jù)幾何關(guān)系曲率方程可以表示為：κ(x)≈Δ″(x)。在工程中通過(guò)儀器測(cè)得某測(cè)點(diǎn)的位移影響線后，利用二次差分公式即可求出曲率。

(11)

式中：d為移動(dòng)荷載兩個(gè)臨近點(diǎn)的距離。

利用位移影響線數(shù)據(jù)及式(11)分別得到簡(jiǎn)支梁、連續(xù)梁選定跨及固端梁跨中位移影響線曲率，如圖9所示。

圖9 位移影響線曲率曲線

從圖9可以看到，這3種結(jié)構(gòu)的曲率在損傷位置出現(xiàn)突變，與彈性支承相關(guān)的位移Δ2在損傷位置也有突變，但變化趨勢(shì)與整體變化趨勢(shì)相反，即對(duì)局部損傷引起的變化有減弱作用。

表1 不同支承條件下相關(guān)荷載位置*曲率數(shù)值

*：相關(guān)荷載位置是指結(jié)合圖9在表1中給出的荷載在非損傷影響區(qū)域及突變區(qū)域峰值的坐標(biāo)。

表1給出了這3種支承條件下，相關(guān)荷載位置處的曲率數(shù)值及比較，其中：Kbi/Sii表示轉(zhuǎn)動(dòng)支承與結(jié)構(gòu)的相關(guān)剛度比(在前面公式中表示為Kbiδii，Sii為i端部的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度)，突變區(qū)域峰值預(yù)測(cè)值根據(jù)表中荷載在非損傷影響位置時(shí)的曲率數(shù)值線性插值得到。從表1可以看到突變峰值實(shí)際值與預(yù)測(cè)值隨著彈性剛度的增大而減少，但其相對(duì)變化比例不會(huì)隨著轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度的增大而變化。

通過(guò)圖8和圖9進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，曲率曲線除了在局部損傷處有突變，當(dāng)Kb>0時(shí)該類(lèi)結(jié)構(gòu)在轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承處的曲率數(shù)值也不為零。為了觀察轉(zhuǎn)動(dòng)支承處的曲率數(shù)值變化，給出此時(shí)位移影響線曲率相關(guān)系數(shù)表達(dá)式。

(12a)

(12b)

從式(11)可以看出，彈性支承處的曲率大小由測(cè)點(diǎn)位置、結(jié)構(gòu)剛度、轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度及局部損傷共同決定。當(dāng)測(cè)點(diǎn)位置確定時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承處的曲率數(shù)值可以體現(xiàn)出結(jié)構(gòu)剛度與轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度對(duì)位移影響線的影響程度。

為了進(jìn)一步觀察不同轉(zhuǎn)動(dòng)剛度對(duì)該結(jié)構(gòu)損傷分析的影響，圖10給出不同彈性支承剛度Kbi邊界處曲率數(shù)值的變化規(guī)律，其中橫坐標(biāo)選取Kbi/Sii。

圖10 邊界處曲率數(shù)值變化曲線

從圖10可以看到，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度逐漸變大，轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承對(duì)位移影響線的影響并不呈線性增加，當(dāng)增加到一定程度后影響變化逐漸不明顯。結(jié)合工程實(shí)際，當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度相對(duì)較小時(shí)，端部轉(zhuǎn)動(dòng)剛度變化引起的曲率變化明顯；轉(zhuǎn)動(dòng)剛度較大時(shí)，端部轉(zhuǎn)動(dòng)剛度變化引起的曲率變化不明顯，要注意增加在梁端部處損傷檢測(cè)。

5 結(jié)論

本文利用支承處的變形協(xié)調(diào)條件，推導(dǎo)得到轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承條件下梁式結(jié)構(gòu)的力法方程，利用虛功原理求解存在局部損傷時(shí)該類(lèi)梁式結(jié)構(gòu)內(nèi)力及位移影響線顯式表達(dá)式。通過(guò)理論與數(shù)值分析得到以下結(jié)論：

(1)本文給出的顯式表達(dá)式可直觀表示轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承梁式結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性與局部損傷、轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度及結(jié)構(gòu)相關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度等因素的相互關(guān)系，揭示了這些因素共同作用下的位移影響線特點(diǎn)。將位移影響線表示為移動(dòng)荷載下簡(jiǎn)支梁結(jié)構(gòu)與彈性支承相關(guān)位移疊加結(jié)果，通過(guò)公式可直觀顯示彈性支承及局部損傷對(duì)位移影響線的貢獻(xiàn)。

(2)通過(guò)數(shù)值分析，給出不同轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度時(shí)常用測(cè)點(diǎn)(跨中，兩個(gè)四分點(diǎn))位移影響線的變化特點(diǎn)：跨中測(cè)點(diǎn)位移整體數(shù)值最大；靠近轉(zhuǎn)動(dòng)剛度較大支承的四分點(diǎn)位移數(shù)值變化較大，遠(yuǎn)離剛度較大支承的四分點(diǎn)影響線峰值位置變化范圍較大。

(3)利用位移影響線曲率對(duì)該類(lèi)結(jié)構(gòu)進(jìn)行局部損傷分析：局部損傷處的曲率有突變，同時(shí)隨著彈性支承剛度變大時(shí)，局部損傷引起的變化量減少，但相對(duì)變化比例不會(huì)發(fā)生改變。通過(guò)端部曲率數(shù)值變化曲線發(fā)現(xiàn)，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)支承剛度逐漸變大，轉(zhuǎn)動(dòng)彈性支承對(duì)位移影響線的影響呈非線性增加，增加到一定程度后該影響逐漸不明顯。

(4)在工程條件允許下，利用該模型簡(jiǎn)化方法，可以只對(duì)連續(xù)梁等結(jié)構(gòu)的選定跨進(jìn)行檢測(cè)分析，減少工程量和提高精度。

本文得到的公式可為該類(lèi)鐵路梁橋力學(xué)分析提供理論依據(jù)，并結(jié)合工程中易得的位移數(shù)據(jù)，為該類(lèi)結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)檢測(cè)與分析提供合理建議。

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