王向陽(yáng)　楊紅穎　牛盼盼　王春鵬

(遼寧師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院　遼寧大連　116081)

(wxy37@126.com)

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基于四元數(shù)指數(shù)矩的魯棒彩色圖像水印算法

王向陽(yáng)楊紅穎牛盼盼王春鵬

(遼寧師范大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院遼寧大連116081)

(wxy37@126.com)

Quaternion Exponent Moments Based Robust Color Image Watermarking

Wang Xiangyang, Yang Hongying, Niu Panpan, and Wang Chunpeng

(SchoolofComputerandInformationTechnology,LiaoningNormalUniversity,Dalian,Liaoning116081)

AbstractIt is a challenging work to design a robust color image watermarking scheme against geometric distortions. Moments and moment invariants have become a powerful tool in robust image watermarking owing to their image description capability and geometric invariance property. However, the existing moment-based watermarking schemes were mainly designed for gray images but not for color images, and detection quality and robustness will be lowered when watermark is directly embedded into the luminance component or three color channels of color images. Furthermore, the imperceptibility of the embedded watermark is not well guaranteed. Based on algebra of quaternions and exponent moments theory, a new color image watermarking algorithm robust to geometric distortions is proposed in this paper. We firstly introduce the quaternion exponent moments to deal with the color images in a holistic manner, and it is shown that the quaternion exponent moments can be obtained from the conventional exponent moments of each channel. Then we provide a theoretical framework to construct a set of combined invariants with respect to geometric distortions (rotation, scaling, and translation). And finally, we present a new color image watermarking algorithm robust to geometric distortions, which is based on a set of quaternion exponent moments invariants. Experimental results show that the proposed color image watermarking is not only invisible and robust against common signals processing such as median filter, noise adding, and JPEG compression, but also robust against the geometric distortions.

Key wordscolor image watermarking; geometric distortions; algebra of quaternions; exponent moments; quantization

摘要近年來，抗幾何攻擊數(shù)字圖像水印方法研究取得了很大進(jìn)展，但現(xiàn)有絕大多數(shù)圖像水印嵌入算法都是針對(duì)灰度圖像的，直接用于彩色載體圖像的數(shù)字水印算法較少.即使原始載體是彩色圖像，大部分方法也只是通過提取其亮度信息或使用單色通道信息嵌入數(shù)字水印.也就說，現(xiàn)有算法未能很好體現(xiàn)和保留不同色彩分量在整個(gè)顏色空間內(nèi)的特定聯(lián)系，因而必然影響數(shù)字水印的魯棒性和不可感知性.以四元數(shù)與指數(shù)矩理論為基礎(chǔ)，提出了一種基于四元數(shù)指數(shù)矩的抗幾何攻擊彩色圖像水印算法.1)把傳統(tǒng)灰度圖像的指數(shù)矩理論推廣到四元數(shù)層面，并定義出彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩；2)對(duì)四元數(shù)指數(shù)矩的不變特性進(jìn)行推導(dǎo)與分析；3)構(gòu)造出基于四元數(shù)指數(shù)矩的抗幾何攻擊彩色圖像水印方案.仿真實(shí)驗(yàn)表明，該算法不僅具有較好的不可感知性，而且對(duì)常規(guī)信號(hào)處理和幾何攻擊均具有較好的魯棒性.

關(guān)鍵詞彩色圖像水印；幾何攻擊；四元數(shù)；指數(shù)矩；量化

抗幾何攻擊的強(qiáng)魯棒數(shù)字圖像水印方法研究是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性的工作[1].一般說來，對(duì)于給定的數(shù)字圖像水印算法，水印檢測(cè)器必需知道數(shù)字水印嵌入的確切位置.所謂幾何攻擊，并非指該種攻擊能夠從含水印對(duì)象中去除水印信息，而是指其能夠破壞數(shù)字水印分量的同步(即改變水印嵌入位置)，從而導(dǎo)致檢測(cè)器找不到有效水印.幾何攻擊包括旋轉(zhuǎn)、縮放、平移、長(zhǎng)寬比改變等多種形式.截止到目前，人們主要采用5種措施設(shè)計(jì)抗幾何攻擊的魯棒圖像水印方案，分別為窮舉搜索、擴(kuò)頻水印擴(kuò)頻碼相結(jié)合、同步校正、利用原始數(shù)據(jù)重要特征、構(gòu)造同步不變量等[2-3].其中，窮舉搜索是圖像信號(hào)在遭受時(shí)域幾何攻擊后恢復(fù)數(shù)字水印的最簡(jiǎn)單方法.通過定義有關(guān)參數(shù)(如圖像旋轉(zhuǎn)、縮放)的變化范圍及變化步長(zhǎng)，使它們的每種組合代表一個(gè)假設(shè)已經(jīng)對(duì)作品進(jìn)行的攻擊.檢測(cè)水印時(shí)首先逆轉(zhuǎn)每個(gè)可能的組合，然后各應(yīng)用一次水印檢測(cè)器.顯然，窮舉搜索方法存在2點(diǎn)致命不足：1)計(jì)算代價(jià)太高，其計(jì)算量將隨著搜索空間的增大而急劇膨脹；2)對(duì)水印檢測(cè)器多次操作會(huì)增加虛警率.可見，只有在小搜索空間時(shí)，窮舉搜索方法才有效，即該方法不利于實(shí)際應(yīng)用[2-3].

從通信角度來看，原始載體圖像可以被認(rèn)為是近似連續(xù)幅度的、二維的、有限帶寬的并具有較大平均噪聲功率的信道，欲嵌入的數(shù)字水印是信息或信號(hào)，而對(duì)含水印圖像的攻擊可以被看作是在信道中引入的失真或畸變.顯然，數(shù)字圖像水印技術(shù)非常接近于典型通信理論，因此許多在連續(xù)信道上進(jìn)行調(diào)制通信的方案，都可以作為數(shù)字水印技術(shù)的潛在方案，這為擴(kuò)頻技術(shù)在數(shù)字水印領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).一般說來，基于擴(kuò)頻原理的圖像水印嵌入方案，往往首先采用誤差糾錯(cuò)編碼技術(shù)，對(duì)數(shù)字水印信息進(jìn)行預(yù)編碼，然后利用相移鍵控(PSK)等調(diào)制方法，對(duì)水印信息進(jìn)行頻譜擴(kuò)展，最后將擴(kuò)頻水印信息直接加入到原始圖像的像素值(或變換系數(shù))中.而常見的數(shù)字水印檢測(cè)方案包括2種：

1) 計(jì)算擴(kuò)頻序列與含水印圖像的互相關(guān)性，再通過閾值判定得出數(shù)字水印信息；

2) 對(duì)含水印圖像進(jìn)行復(fù)原濾波，求得復(fù)原圖像與含水印圖像的差值，再與擴(kuò)頻序列進(jìn)行相關(guān)檢測(cè).

擴(kuò)頻水印擴(kuò)頻碼相結(jié)合方法的優(yōu)點(diǎn)是無需額外同步信息，但由于其缺乏必要的同步保護(hù)機(jī)制，故普遍無法抵御長(zhǎng)寬比改變等較復(fù)雜幾何攻擊.此外，現(xiàn)有部分?jǐn)U頻水印擴(kuò)頻碼相結(jié)合方案無法實(shí)現(xiàn)水印信息的盲檢測(cè)，因而不利于實(shí)際應(yīng)用[4-5].

所謂同步校正方法是指首先利用相關(guān)技術(shù)計(jì)算出受攻擊含水印圖像所經(jīng)歷的各種變換參數(shù)(如旋轉(zhuǎn)角度、縮放倍數(shù)等)，然后對(duì)受攻擊含水印圖像進(jìn)行同步校正(即進(jìn)行逆變換)，最后從校正后含水印圖像中提取數(shù)字水印.顯然，各種變換參數(shù)的正確計(jì)算是該類圖像水印方法的關(guān)鍵.基于同步校正的魯棒圖像水印方案主要包括圖像配準(zhǔn)方法、模版或可識(shí)別結(jié)構(gòu)嵌入方法、SVM同步校正方法等.基于配準(zhǔn)的數(shù)字圖像水印方法能夠較好抵抗幾何攻擊，但其提取水印時(shí)需要原始載體圖像參與，故不利于實(shí)際應(yīng)用.基于模版或可識(shí)別結(jié)構(gòu)的圖像水印技術(shù)具有2個(gè)缺點(diǎn)：

1) 模版或可識(shí)別結(jié)構(gòu)的嵌入會(huì)占用本可用于嵌入水印信息的空間，因而會(huì)影響水印的容量;

2) 容易受到模板移除攻擊，因?yàn)樵谒惴褐那闆r下任何人都可以對(duì)模扳進(jìn)行操作，將其去除.

而基于SVM同步校正的圖像水印方案具有時(shí)間復(fù)雜度較高等弱點(diǎn)[6-7].利用原始數(shù)據(jù)重要特征的圖像水印，即所謂“第2代數(shù)字圖像水印”，其基本思想為：利用相對(duì)穩(wěn)定的圖像特征點(diǎn)來標(biāo)識(shí)水印嵌入位置，并在與每個(gè)特征點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的局部特征區(qū)域內(nèi)獨(dú)立地嵌入水印信息，同時(shí)利用特征點(diǎn)來定位和檢測(cè)數(shù)字水印，從而有效抵抗幾何攻擊.然而目前該類方法普遍存在特征點(diǎn)穩(wěn)定性差且分布極不均勻、水印容量十分有限、時(shí)間復(fù)雜度較高等問題[8-10].

相比較而言，基于同步不變量的圖像水印方案以其工作原理簡(jiǎn)單、無需輔助信息、檢測(cè)性能穩(wěn)定等特點(diǎn)而日益受到人們重視[11-19].這類算法的基本思想是從原始圖像中找到具有同步不變性的量用來隱藏水印，而目前人們所采納的同步不變量主要包括Fourier-Mellin變換、Radon變換、幾何不變矩、直方圖和奇異值等.由于具有同步不變性，在水印圖像遭受攻擊后，這些量沒有變化，因而隱藏于其中的水印信息得以保存.大多數(shù)圖像水印算法在對(duì)含水印載體進(jìn)行幾何攻擊后，提取水印時(shí)存在許多問題.為克服這個(gè)弱點(diǎn)，研究者陸續(xù)提出了基于Fourier-Mellin變換的數(shù)字水印嵌入算法[11]，該類算法首先計(jì)算圖像DFT，并對(duì)DFT的幅值進(jìn)行LPM(log-polar map, LPM)，即將笛卡兒坐標(biāo)系變?yōu)閷?duì)數(shù)極坐標(biāo)系；再對(duì)對(duì)數(shù)極坐標(biāo)上的系數(shù)做DFT，并只取DFT的幅值，從而得到具有仿射變換不變性的空間；最后將水印信息嵌入到仿射變換不變空間內(nèi).為抵抗幾何攻擊，文獻(xiàn)[12]引入2種廣義Radon變換，提出了一系列魯棒性能較好的圖像水印方案.該類圖像水印嵌入方案的核心思想如下：1)利用拐角檢測(cè)算法檢測(cè)圖像內(nèi)容中的拐角并找到其中魯棒性最強(qiáng)的，該拐角被用作2個(gè)一維廣義Radon變換的原點(diǎn);2)水印嵌入和檢測(cè)過程從2個(gè)變換中抽取出特征值，并在嵌入或相關(guān)檢測(cè)之前對(duì)參考水印進(jìn)行仿射變換校正.于是，水印嵌入與水印相關(guān)檢測(cè)的同步得以實(shí)現(xiàn).結(jié)合計(jì)算機(jī)視覺和模式識(shí)別領(lǐng)域廣泛使用的歸一化矩概念，文獻(xiàn)[13]等文獻(xiàn)相繼提出了基于Zernike、偽Zernike、Krawtchouk、Tchebichef等不變矩的魯棒圖像水印嵌入技術(shù).此外，Coatrieux等人[14]結(jié)合直方圖形狀不變特性，相繼提出了基于像素(或變換系數(shù))統(tǒng)計(jì)特征的空間域(或變換域)圖像水印方法.Bhatnagar等人[15-16]以小波框架變換、可逆隨機(jī)擴(kuò)展變換及奇異值分解(SVD)理論為基礎(chǔ)，提出了一種新的數(shù)字圖像水印方法，該方法可以通過奇異值調(diào)制修改等措施，同時(shí)在原始載體內(nèi)嵌入2個(gè)數(shù)字水印.為了取得不可感知性和魯棒性的良好平衡.Niu等人[17]結(jié)合不變質(zhì)心理論，提出了基于彩色圖像歸一化的非下采樣輪廓變換(NSCT)域數(shù)字水印算法，獲得了一定的抗全局幾何攻擊能力.

以上分析表明，抗幾何攻擊數(shù)字圖像水印方法研究已取得了很大進(jìn)展，但現(xiàn)有絕大多數(shù)圖像水印嵌入算法都是針對(duì)灰度圖像的，直接用于彩色載體圖像的數(shù)字水印算法較少[18-19].即使原始載體是彩色圖像，大部分方法也只是通過提取其亮度信息或使用單色通道信息嵌入數(shù)字水印[16-17,20-21]，由于其未能很好體現(xiàn)和保留不同色彩分量在整個(gè)顏色空間內(nèi)的特定聯(lián)系，故必然影響數(shù)字水印的魯棒性和不可感知性.文獻(xiàn)[22]提出了一種彩色圖像四元數(shù)頻域幅值調(diào)制水印算法，該算法首先對(duì)原始載體圖像進(jìn)行分塊四元數(shù)傅里葉變換，然后將數(shù)字水印嵌入到傅里葉直流分量的模值中.由于算法將水印帶來的誤差擴(kuò)散到紅、綠、藍(lán)3色圖像分量上，故可獲得較好的抗常規(guī)信號(hào)處理能力.蓋琦[23]將離散四元數(shù)余弦變換理論引入到彩色圖像水印領(lǐng)域，并提出了一種基于離散四元數(shù)余弦變換的彩色圖像水印新方法，獲得了較好的抵抗JPEG壓縮能力，并對(duì)疊加噪聲、尺度縮放等攻擊有一定的魯棒性.Tsui等人[24]提出了基于多維傅里葉變換的非盲彩色圖像水印算法，盡管該算法考慮了不同色彩分量間的特定聯(lián)系，但因其忽略了多維傅里葉變換系數(shù)間的對(duì)稱特性及數(shù)字水印的同步問題，導(dǎo)致數(shù)字水印的不可感知性與抗幾何攻擊能力均較差.王丹[25]給出了基于Pauli算符與歐拉公式的雙側(cè)四元數(shù)傅里葉變換求解過程，并提出了基于極坐標(biāo)映射關(guān)系的笛卡爾坐標(biāo)系彩色圖像數(shù)字水印算法，該算法選取中頻環(huán)形區(qū)域作為嵌入位置，同時(shí)采用傳統(tǒng)加性原則嵌入水印信息，但其只能抵抗中輕度信號(hào)處理和幾何攻擊.陳北京等人[26]定義了四元數(shù)調(diào)制重疊變換(MQLT)，分析了MQLT系數(shù)的對(duì)稱特性，同時(shí)結(jié)合MQLT變換及其系數(shù)對(duì)稱特性，提出了一種魯棒的雙彩色圖像盲水印算法，具有較好的不可感知性和對(duì)常規(guī)信號(hào)處理的魯棒性.Tsougenis等人[27]以傳統(tǒng)Tchebichef矩、Krawtchouk矩理論為基礎(chǔ)，結(jié)合可反映色彩分量間聯(lián)系的四元數(shù)技術(shù)，構(gòu)造了四元數(shù)圖像矩并據(jù)此提出了自適應(yīng)彩色圖像水印方法，但因Tchebichef矩和Krawtchouk矩不同程度存在圖像描述與重建能力較差、對(duì)噪聲較為敏感、數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定性較差等不足，導(dǎo)致整個(gè)圖像水印系統(tǒng)工作性能并不理想.

鑒于此，本文以性能優(yōu)良的指數(shù)矩理論為基礎(chǔ)(圖像描述與重建能力強(qiáng)、噪聲敏感性低、數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定等)，結(jié)合基于四元數(shù)的彩色像素矢量整體處理技術(shù)，將傳統(tǒng)灰度圖像指數(shù)矩理論拓展推廣至四元數(shù)層面，定義推導(dǎo)了適合于彩色圖像的高精度四元數(shù)指數(shù)矩，構(gòu)造了適合于彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩幾何不變量，并進(jìn)一步提出了基于四元數(shù)指數(shù)矩的抗幾何攻擊彩色圖像水印方案.

1四元數(shù)與指數(shù)矩簡(jiǎn)介

1.1彩色圖像的四元數(shù)描述

四元數(shù)可看成是復(fù)數(shù)的推廣，并以高維度形式呈現(xiàn).早在1843年英國(guó)數(shù)學(xué)家Hamilton[28]就提出了四元數(shù)理論，但是直到20世紀(jì)90年代四元數(shù)的理論和方法才被英國(guó)科學(xué)家Sangwine應(yīng)用到彩色圖像處理中.

對(duì)于大小為M×N的彩色圖像，用f(x,y)表示圖像中的一個(gè)像素，x和y分別為像素所在矩陣的行和列的位置，x∈[1,M]，y∈[1,N].令四元數(shù)的3個(gè)虛部分別代表彩色圖像的R，G，B三個(gè)分量，實(shí)部為0，則四元數(shù)可以把在三色空間上的彩色圖像視為一個(gè)矢量整體進(jìn)行描述，即彩色圖像f(x,y)可以表示為如下的無實(shí)部純虛四元數(shù)：

(1)

其中，fR(x,y)，fG(x,y)，fB(x,y)是對(duì)應(yīng)彩色圖像的R，G，B三個(gè)分量，i，j，k為虛數(shù)單位.

顯然，相對(duì)于傳統(tǒng)的單色通道或提取亮度圖像后再處理的方法而言，基于四元數(shù)的彩色圖像處理更能體現(xiàn)出彩色圖像的整體性，彩色圖像的顏色信息能夠得到很好的保持.

1.2指數(shù)矩基本理論

孟敏等人[29]于2011年提出的指數(shù)矩，能夠很容易地構(gòu)造出圖像的高階矩和低階矩，并可以使用較少的矩來重建圖像.與Legendre矩、Zernike矩、偽Zernike矩、Tchebichef矩、Krawtchouk矩等相比，指數(shù)矩不僅具有良好的圖像描述能力，而且具有基函數(shù)簡(jiǎn)單、計(jì)算復(fù)雜度低、對(duì)噪聲不敏感、數(shù)值計(jì)算穩(wěn)定等特點(diǎn)，故可廣泛應(yīng)用于模式識(shí)別、信息檢索與分類、數(shù)字水印等諸多領(lǐng)域.

在極坐標(biāo)系(r,θ)中，階數(shù)為n，重復(fù)度為m的指數(shù)矩Enm可定義為

(2)

根據(jù)正交完整函數(shù)系理論，圖像可以用無限的正交函數(shù)序列重建.使用有限數(shù)目的指數(shù)矩可以近似重建原圖像函數(shù)f(r,θ)，并且所用項(xiàng)數(shù)越多，其近似程度越高.若已知圖像最高階nmax、最大重復(fù)度mmax的指數(shù)矩，則由其完備性和正交性，可得原始圖像的重構(gòu)公式：

(3)

2彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩

為便于全面刻畫與描述彩色圖像特征，我們這里將傳統(tǒng)灰度圖像的指數(shù)矩理論推廣到四元數(shù)層面，并進(jìn)一步定義出彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩.假設(shè)f(r,θ)為極坐標(biāo)系下的彩色圖像，則根據(jù)傳統(tǒng)灰度圖像的指數(shù)矩定義及四元數(shù)理論，我們可以定義彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩(quaternion exponent moments, QEMs)[30-31]為

(4)

其中，μ是一個(gè)單位純四元數(shù)，在此選擇μ=(i+j+k)(r)表示徑向基函數(shù)An(r)的共軛，且有：

(5)

(6)

2.1四元數(shù)指數(shù)矩與傳統(tǒng)指數(shù)矩之間的關(guān)系

1) 四元數(shù)指數(shù)矩分解與傳統(tǒng)指數(shù)矩分解之間的關(guān)系

假設(shè)fR，fG，fB分別表示彩色圖像的R，G，B三個(gè)分量，Enm(fR)，Enm(fB)，Enm(fG)分別表示彩色圖像R，G，B三個(gè)分量的傳統(tǒng)指數(shù)矩，Re(p)表示取復(fù)數(shù)p的實(shí)部，Im(p)表示取復(fù)數(shù)p的虛部，則四元數(shù)指數(shù)矩分解與傳統(tǒng)指數(shù)矩分解之間的關(guān)系可以表示為

(7)

其中：

(8)

2) 四元數(shù)指數(shù)矩重構(gòu)與傳統(tǒng)指數(shù)矩重構(gòu)之間的關(guān)系

根據(jù)四元數(shù)傅里葉變換及其逆變換理論[28]，四元數(shù)指數(shù)矩的重構(gòu)過程可描述如下：

(9)

其中：

(10)

(11)

2.2四元數(shù)指數(shù)矩與傳統(tǒng)指數(shù)矩之間的區(qū)別

四元數(shù)指數(shù)矩與傳統(tǒng)指數(shù)矩之間的區(qū)別主要體現(xiàn)在2個(gè)方面:

1) 對(duì)于傳統(tǒng)指數(shù)矩Enm=Anm+iBnm，其關(guān)于中心對(duì)稱位置的指數(shù)矩為E-n-m=A-n-m+iB-n-m，其滿足Anm=A-n-m,Bnm=-B-n-m，即Enm和E-n-m是一組共軛復(fù)數(shù)[29].

2) 由 1)知，傳統(tǒng)指數(shù)矩的幅值滿足|Enm|=|E-n-m|，即傳統(tǒng)指數(shù)矩幅值是關(guān)于中心對(duì)稱的[29]；

顯然，進(jìn)行數(shù)字水印嵌入時(shí)，應(yīng)充分考慮上述四元數(shù)指數(shù)矩分布特點(diǎn)，以提高系統(tǒng)的不可感知性能.

圖1給出了128×128×24 b真彩色圖像Lena和Barbara的四元數(shù)指數(shù)矩重構(gòu)圖像及相應(yīng)的重構(gòu)誤差.其中，由左至右，依次為階數(shù)為5，10，20，30，40，50的四元數(shù)指數(shù)矩重構(gòu)圖像及相應(yīng)的重構(gòu)誤差.

Fig. 1　The reconstructed images and reconstruction errors.圖1　四元數(shù)指數(shù)矩的重構(gòu)圖像及相應(yīng)的重構(gòu)誤差

3四元數(shù)指數(shù)矩的幾何不變特性分析

下面我們來詳細(xì)分析與討論四元數(shù)指數(shù)矩的幾何不變特性[30-32].

3.1四元數(shù)指數(shù)矩的平移不變性

四元數(shù)指數(shù)矩的平移不變性是通過幾何矩實(shí)現(xiàn)的.對(duì)于一幅彩色圖像，我們可以首先計(jì)算其質(zhì)心，而彩色圖像的質(zhì)心坐標(biāo)可通過零階幾何矩和一階幾何矩得到，即彩色圖像的質(zhì)心(xc,yc)為

(12)

其中，m0,0(fR)，m1,0(fR)，m0,1(fR)是顏色分量R的零階和一階幾何矩，m0,0(fG)，m1,0(fG)，m0,1(fG)是顏色分量G的零階和一階幾何矩，m0,0(fB)，m1,0(fB)，m0,1(fB)是顏色分量B的零階和一階幾何矩.

待獲得彩色圖像的質(zhì)心坐標(biāo)(xc,yc)以后，我們可以先將彩色圖像中心移到彩色圖像的質(zhì)心坐標(biāo)，而后再計(jì)算彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩，此時(shí)四元數(shù)指數(shù)矩就具有了平移不變性.

3.2四元數(shù)指數(shù)矩的旋轉(zhuǎn)不變性

(13)

對(duì)式(13)兩端取模，可得：

(14)

可見，旋轉(zhuǎn)后彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩的模與原彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩的模是相等的，也就是說彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩的模具有旋轉(zhuǎn)不變特性.

3.3四元數(shù)指數(shù)矩的縮放不變性

我們可首先將彩色圖像歸一化到單位圓內(nèi)，然后再計(jì)算彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩，此時(shí)所計(jì)算得到的彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩具有縮放不變性.對(duì)于一個(gè)給定的彩色圖像函數(shù)g(r′,θ)，找到彩色圖像的半徑k，則r′的變化范圍為0≤r′≤k，其歸一化彩色圖像函數(shù)可表示為

(15)

圖2給出了四元數(shù)指數(shù)矩(幅值)的抗幾何攻擊能力測(cè)試結(jié)果(128×128×24 b真彩色圖像Lena).這里，所測(cè)試的幾何攻擊包括旋轉(zhuǎn)、縮放、平移、縮放旋轉(zhuǎn)聯(lián)合等.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩具有良好的幾何不變特性.

Fig. 2The modulus distribution of QEMs for color image Lena under various attacks.
圖2四元數(shù)指數(shù)矩(幅值)的抗幾何攻擊能力測(cè)試(真彩色圖像Lena)

Fig. 3　Watermark embedding.圖3　數(shù)字水印的嵌入原理

4抗幾何攻擊彩色圖像水印

4.1基于四元數(shù)指數(shù)矩的彩色圖像水印嵌入

本文將以性能優(yōu)良的四元數(shù)指數(shù)矩為基礎(chǔ)，提出一種可有效抵抗幾何攻擊的彩色圖像水印新方案，其基本工作原理為：首先結(jié)合四元數(shù)指數(shù)矩的幾何不變特性，計(jì)算出原始彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩，然后選取部分低階四元數(shù)指數(shù)矩，并采納量化調(diào)制策略將水印信息嵌入到四元數(shù)指數(shù)矩幅值中.圖3給出了數(shù)字水印嵌入算法的系統(tǒng)框圖.

設(shè)原始載體為24 b真彩色圖像F={f(x,y),1≤x≤M,1≤y≤N}.其中，f(x,y)表示原始載體圖像第x行、第y列像素的顏色值.

數(shù)字水印為二值圖像W={w(i,j),1≤i≤P,1≤j≤Q}.其中，w(i,j)∈{0,1}代表二值水印圖像的第i行、第j列像素值.則整個(gè)彩色圖像水印的嵌入過程(關(guān)鍵步驟)可描述如下:

1) 數(shù)字水印的預(yù)處理

為了消除二值水印圖像的像素空間相關(guān)性，提高整個(gè)數(shù)字水印系統(tǒng)的安全性能，確保彩色圖像某一部分受到破壞后仍能全部或部分地恢復(fù)水印，宜首先對(duì)二值水印圖像進(jìn)行置亂加密.為此，本文首先引入Arnold變換，對(duì)二值水印圖像W進(jìn)行置亂加密并進(jìn)一步將置亂后水印圖像轉(zhuǎn)換成一維數(shù)字水印W1，其中:

2) 四元數(shù)指數(shù)矩的計(jì)算

對(duì)原始彩色載體圖像進(jìn)行歸一化處理，并計(jì)算出歸一化彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩.參見第2節(jié).

3) 低階四元數(shù)指數(shù)矩的選取

大量仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：面對(duì)濾波、疊加噪聲、JPEG壓縮等常規(guī)信號(hào)處理，部分四元數(shù)指數(shù)矩存在微小的計(jì)算誤差.也就是說，必須合理選擇四元數(shù)指數(shù)矩用于水印嵌入.為此，本文結(jié)合濾波、疊加噪聲、JPEG壓縮等常規(guī)信號(hào)處理實(shí)驗(yàn)，確定了如下穩(wěn)定四元數(shù)指數(shù)矩(本文指攻擊前后矩幅值變化小于2%的四元數(shù)指數(shù)矩為穩(wěn)定四元數(shù)指數(shù)矩)選取規(guī)則：

①n≤0且m=0；

圖4給出了512×512真彩色圖像的穩(wěn)定四元數(shù)指數(shù)矩選取示意圖(這里四元數(shù)指數(shù)矩的最高階nmax=31).其中，陰影部分所覆蓋的區(qū)域即為穩(wěn)定四元數(shù)指數(shù)矩所在區(qū)域.

Fig. 4　Robust QEMs selection.圖4　穩(wěn)定四元數(shù)指數(shù)矩選取示意圖

4) 數(shù)字水印的嵌入

本文采用量化調(diào)制四元數(shù)指數(shù)矩幅值的方法嵌入數(shù)字水印信息，量化規(guī)則如下：

(16)

5) 含水印彩色圖像的生成

① 計(jì)算出含水印歸一化彩色圖像，其由2部分合并而成：

部分1是未被修改的四元數(shù)指數(shù)矩所重構(gòu)的彩色圖像f*(x,y)：

(17)

這里，fO(x,y)是原始載體的歸一化彩色圖像，fW(x,y)是待修改四元數(shù)指數(shù)矩的重構(gòu)部分彩色圖像，重構(gòu)方法見第2節(jié).

部分2是已修改四元數(shù)指數(shù)矩的重構(gòu)部分彩色圖像fW′(x,y)，重構(gòu)方法見第2節(jié).

將上面2部分合并，即得到含水印歸一化彩色圖像f′(x,y)：

(18)

② 對(duì)含水印歸一化彩色圖像f′(x,y)進(jìn)行逆歸一化處理，即可得到含水印彩色圖像F′.

4.2基于四元數(shù)指數(shù)矩的彩色圖像水印提取

本文討論的彩色圖像水印檢測(cè)算法屬于目標(biāo)檢測(cè)算法，即在檢測(cè)數(shù)字水印時(shí)不需要原始的載體圖像.設(shè)待檢測(cè)彩色圖像為F′，則數(shù)字水印檢測(cè)過程(關(guān)鍵步驟)可描述如下:

Fig. 5　The host color images.圖5　原始彩色載體圖像

1) 對(duì)待檢測(cè)彩色圖像F′進(jìn)行歸一化處理，并計(jì)算出歸一化彩色圖像的四元數(shù)指數(shù)矩.詳見第2節(jié).

2) 利用密鑰Key1選擇P×Q個(gè)四元數(shù)指數(shù)矩

3) 數(shù)字水印提取.

(19)

(20)

其中，i=1,2,…,P×Q,式(20)可以分解為3個(gè)具體步驟:

Ⅱ 計(jì)算Ⅰ中2個(gè)距離的差值，記為t=dis0-dis1；

5仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)論

為了驗(yàn)證本文彩色圖像水印算法的高效性，以下分別給出了不可感知性能測(cè)試、抗攻擊(包括常規(guī)信號(hào)處理和幾何攻擊)能力測(cè)試的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，并與圖像歸一化算法[17]、線性判別分析算法[20]、SVM分類算法[21]進(jìn)行了對(duì)比.實(shí)驗(yàn)中，所選用的原始載體分別為256×256×24 b真彩色標(biāo)準(zhǔn)圖像“Lena”,“Barbara”,“Mandrill”,“Peppers”,“Airplane”,“Sailboat and lake”,“Splash”,“House”,“Girl”,和“San Diego”，數(shù)字水印采用了16×16的二值圖像，如圖5和圖6所示.另外，量化步長(zhǎng)Δ=0.5.這里，我們使用了比特失真率BER和峰值信噪比PSNR來衡量數(shù)字水印算法的工作性能，BER和PSNR定義如下：

(21)

其中,F(i,j)和F′(i,j)分別為原始彩色載體圖像和含水印彩色圖像，M,N為圖像大小.

Fig. 6　Digital watermark.圖6　數(shù)字水印

5.1不可感知性能測(cè)試

表1給出了4種彩色圖像水印方法的不可感知性能測(cè)試結(jié)果.圖7分別給出了圖像歸一化算法[17]及本文算法的含水印彩色圖像Lena，Barbara和Mandrill.圖8分別給出了圖像歸一化算法[17]及本文算法的差值圖像(原始彩色載體和含水印彩色圖像的差值圖像).

Table 1　The PSNR for Various Watermarking Method

Fig. 7　The watermarked images using different algorithms.圖7　不同彩色圖像水印方法的含水印圖像

Fig. 8　The absolute difference images for different algorithms.圖8　不同彩色圖像水印方法的差值圖像

5.2抗攻擊能力測(cè)試

為了檢測(cè)本文算法的魯棒性能，仿真實(shí)驗(yàn)分別對(duì)圖像歸一化算法[17]、線性判別分析算法[20]、SVM分類算法[21]及本文算法的含水印彩色圖像進(jìn)行了一系列攻擊.

圖9給出了本文算法的部分?jǐn)?shù)字水印檢測(cè)結(jié)果(在常規(guī)信號(hào)處理和幾何攻擊下).在完全相同的實(shí)驗(yàn)環(huán)境和條件下，表2和表3分別給出了4種彩色圖像水印方法的抗攻擊能力對(duì)照結(jié)果(失真率BER).

Fig. 9　The attacked watermarked image and the extracted watermark.圖9　本文算法的部分?jǐn)?shù)字水印檢測(cè)結(jié)果(在常規(guī)信號(hào)處理和幾何攻擊下)

AttackLenaBarbaraMandrillProposedSchemeNormali-zation[17]LDA[20]SVM[21]ProposedSchemeNormali-zation[17]LDA[20]SVM[21]ProposedSchemeNormali-zation[17]LDA[20]SVM[21]MedianFilter0.01950.03030.04960.070300.02340.08590.14650.00390.00490.11620.2422GuassianFilter00.03130.03810.035200.02250.06050.092800.01070.09670.1865RandomNoise0.02340.02930.03220.05960.01560.01950.05470.10350.01950.00590.11040.0947GaussianNoise0.02340.02730.02640.05570.01170.02150.08980.14160.03130.02340.10350.1338SaltandPeppersNoise00.02340.02730.029300.01640.06840.051800.02050.12210.0850JPEGCompression700.00390.03210.15330.221700.02540.21090.25590.00390.02030.21580.2002500.00390.03340.20800.253900.02440.25490.42580.00780.02930.29690.2705300.01170.04000.24710.37210.02340.02830.27050.43070.02340.03220.33200.3652MedianFilter+GaussianNoise0.02340.02440.04300.27640.00780.01860.13960.28130.01950.01370.12790.3037MedianFilter+JPEG700.01560.02640.18550.32810.00390.01960.24220.31740.00780.01950.26860.3779Average0.01250.02980.10110.17020.00620.02200.14770.22470.01170.01800.17900.2260

Table 3　The Watermark Detection Results for Geometric Distortions (BER)

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:本文所提出的彩色圖像水印算法不僅具有較好的不可感知性，而且對(duì)常規(guī)信號(hào)處理和幾何攻擊均具有較好的魯棒性，整體工作性能明顯優(yōu)于圖像歸一化、線性判別分析、SVM分類等彩色圖像水印方案，其原因在于本文采用了性能穩(wěn)定的四元數(shù)指數(shù)矩不變量嵌入水印.

6結(jié)束語(yǔ)

本文以傳統(tǒng)的四元數(shù)理論與指數(shù)矩理論為基礎(chǔ)，定義推導(dǎo)了可全面反映色彩分量間內(nèi)在聯(lián)系的彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩，分析了彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩的不變特性，并據(jù)此提出了一種基于四元數(shù)指數(shù)矩的抗幾何攻擊彩色圖像水印算法.同時(shí)，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果也說明了本文算法的有效性.

特別需要指出的是:本文所定義推導(dǎo)的彩色圖像四元數(shù)指數(shù)矩可廣泛應(yīng)用于彩色圖像識(shí)別、分類、檢索等諸多領(lǐng)域，故具有較大的應(yīng)用價(jià)值.

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Wang Xiangyang, born in 1965. Professor. His research interests include network information security, multimedia computing, and computer vision.

Yang Hongying, born in 1965. Professor. Her research interests include multimedia signal processing, pattern recognition, and multimedia security.

Niu Panpan, born in 1983. PhD, Lecturer. Her research interests include information hiding and digital watermarking.

Wang Chunpeng, born in 1988. PhD candidate. His research interests include image processing and digital watermarking.

中圖法分類號(hào)TP309.2

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61472171，61272416)

收稿日期：2014-11-04；修回日期：2015-03-26

This work was supported by the National Natural Science Foundation of China (61472171，61272416).