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○教學(xué)研究○

“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計(jì)

王剛陶煜瑾

(江蘇省梅村高級中學(xué)，214112)

一、教材解讀

“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”是蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》數(shù)學(xué)選修2-2第一章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的內(nèi)容.本節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念、計(jì)算、幾何意義的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的內(nèi)容.學(xué)好它既可加深對導(dǎo)數(shù)這一概念的理解,又可為深入理解導(dǎo)數(shù)的工具性打下基礎(chǔ).由于學(xué)生在高一已經(jīng)掌握了單調(diào)性的定義,并能用定義和圖象法判定在給定區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，所以,本節(jié)課應(yīng)該通過初等方法與導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)單調(diào)性中的比較,使學(xué)生體會到導(dǎo)數(shù)法的有效性與一般性,體會高中教材引入導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)單調(diào)性的必要性.

二、目標(biāo)定位

根據(jù)以上分析,結(jié)合《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》及《江蘇省高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)要求》,本節(jié)課確立的教學(xué)目標(biāo)為:

(1)理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系,初步掌握用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性；

(2)體會導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)單調(diào)性中的有效性與一般性；

(3)感受數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律.

教學(xué)重點(diǎn)探索導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的探索過程.

三、教學(xué)方法

本節(jié)課運(yùn)用“問題解決”課堂教學(xué)模式,采用發(fā)現(xiàn)式、啟發(fā)式的教學(xué)方法.通過問題激發(fā)學(xué)生求知欲,使學(xué)生主動參與教學(xué)實(shí)踐活動,在教師的指導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題,總結(jié)規(guī)律,培養(yǎng)積極探索的科學(xué)精神.

四、教學(xué)手段

本節(jié)課采用多媒體課件等輔助手段以加大課堂容量,通過數(shù)形結(jié)合,使抽象的知識直觀化,形象化,以促進(jìn)學(xué)生的理解.

五、過程設(shè)計(jì)

1. 創(chuàng)設(shè)情境,引出課題

(播放名曲:漁舟唱晚)

問題1氣溫的變化與我們的生活息息相關(guān),在數(shù)學(xué)中,我們可以利用函數(shù)這一重要的數(shù)學(xué)模型來研究客觀世界的變化.例如,我們可以通過建立氣溫與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系來研究氣溫的變化趨勢.請觀察圖1中,氣溫關(guān)于時(shí)間有怎樣的變化趨勢?

問題2從圖1中可以看出,氣溫隨時(shí)間的變化有著明顯的上升與下降的變化趨勢.那么,對于函數(shù)圖象的這種上升與下降的變化趨勢，我們可以用前面所學(xué)的哪種知識來加以刻畫呢?

設(shè)計(jì)意圖以上案例是必修1函數(shù)單調(diào)性的引入情境,也是選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章頭引言案例.通過該情境,試圖溝通必修1與選修2-2在研究函數(shù)單調(diào)性中的聯(lián)系.

問題3導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)的變化率刻畫了函數(shù)變化的趨勢,而函數(shù)的單調(diào)性也是對函數(shù)變化趨勢的一種刻畫.那么,既然它們都是刻畫函數(shù)變化趨勢的數(shù)學(xué)模型,它們之間又會存在怎樣的聯(lián)系呢?我們能否用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)的單調(diào)性呢?

這就是本節(jié)課的課題(板書“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用——單調(diào)性”).

設(shè)計(jì)意圖這是一個(gè)總領(lǐng)整個(gè)課堂的問題,試圖喚醒學(xué)生的原認(rèn)知結(jié)構(gòu),打通原有知識之間的聯(lián)系,引出本節(jié)內(nèi)容.

問題4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性究竟有什么聯(lián)系?

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說過:解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題,應(yīng)該先回到定義.

設(shè)計(jì)意圖為研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系提供一種研究方法.

2. 師生探究,建構(gòu)數(shù)學(xué)

回顧單調(diào)增函數(shù)的定義.

問題5請同學(xué)們觀察x2-x1與f(x2)-f(x1)的符號之間的關(guān)系.

設(shè)計(jì)意圖定義是數(shù)學(xué)的根本.通過研究定義從另外一個(gè)角度闡述它的含義:說明對區(qū)間I上“任意”兩點(diǎn)的割線斜率大于零則函數(shù)單調(diào)遞增，這為研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系做好鋪墊.

問題7通過幾何角度,我們發(fā)現(xiàn)割線的斜率與函數(shù)的單調(diào)性有著緊密的聯(lián)系.那么,我們?nèi)绾闻c導(dǎo)數(shù)聯(lián)系呢?導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么?

問題9你能從幾何角度來解釋該定義嗎？

設(shè)計(jì)意圖定義是數(shù)學(xué)的根本,通過研究定義,說明當(dāng)P,Q兩點(diǎn)無限逼近時(shí),割線斜率逼近切線斜率.直觀感受割線的斜率是溝通導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的橋梁(如圖3).

問題10回到剛才的實(shí)驗(yàn),你能發(fā)現(xiàn)什么？割線與曲線在點(diǎn)P附近隨著Δx→0有著怎樣的現(xiàn)象?

(隨著點(diǎn)Q沿曲線向點(diǎn)P運(yùn)動,割線PQ在點(diǎn)P附近越來越逼近曲線,當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近P點(diǎn)時(shí),割線PQ最終成為在點(diǎn)P附近最逼近曲線的直線切線l)

直觀感受切線是點(diǎn)P附近最逼近曲線的直線.

(如圖4，放大點(diǎn)P附近的圖象,我們可以發(fā)現(xiàn)切線與曲線是重合的,此時(shí),我們可以用直線來代替曲線)

導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)思想:“以直代曲”,通過這種思想,我們可以將曲線的問題轉(zhuǎn)化到直線上去.例如,在點(diǎn)P附近,我們可以用切線的斜率來刻畫曲線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)的上升或下降的“變化趨勢”.

問題11f′(x0)______時(shí),曲線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)有上升趨勢?

f′(x0)______時(shí),曲線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)有下降趨勢?

問題12若點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)符號刻畫的是曲線f(x)在點(diǎn)P0處的上升(下降)趨勢,那么我們?nèi)绾斡脤?dǎo)數(shù)來刻畫函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性呢?

問題13類比用“任意”兩點(diǎn)的割線的斜率來刻畫函數(shù)的單調(diào)性,請思考:

任意x∈(a,b)有______,則函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增.

任意x∈(a,b)有______,則函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減.

設(shè)計(jì)意圖教材是施教的根本.本段通過課本上的“以直代曲”來解釋導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的“瞬時(shí)變化率”這個(gè)抽象的概念;通過由一點(diǎn)的變化趨勢到一個(gè)區(qū)間的變化趨勢,完成對f′(x0)>0到f′(x)>0的解釋.

總結(jié)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系如下:

一般地,我們有下面結(jié)論:

對于函數(shù)y=f(x)，

如果在某區(qū)間上f′(x)>0,那么f(x)為該區(qū)間上的增函數(shù);

如果在某區(qū)間上f′(x)<0,那么f(x)為該區(qū)間上的減函數(shù).

問題14為什么我們要引進(jìn)導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)的單調(diào)性呢?

設(shè)計(jì)意圖試圖說明導(dǎo)數(shù)法在研究函數(shù)單調(diào)性時(shí)的有效性和一般性.

下面我們通過實(shí)例來體會導(dǎo)數(shù)法在研究函數(shù)單調(diào)性的有效性和一般性.

3.嘗試運(yùn)用,深化理解

例1確定函數(shù)f(x)=x2-4x+3的單調(diào)區(qū)間.(教師板書)

例2確定函數(shù)f(x)=x3-3x的單調(diào)減區(qū)間.(進(jìn)行分組競賽)

設(shè)計(jì)意圖通過教師板演例1,示范用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間的過程;通過例2的學(xué)生分組競賽,說明導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)單調(diào)性的有效性.

例3確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(1)f(x)=2x3-6x2+7；

(2)f(x)=xlnx.

設(shè)計(jì)意圖通過學(xué)生板演,進(jìn)一步完善用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的步驟;并通過實(shí)例說明兩個(gè)注意點(diǎn):單調(diào)區(qū)間中不能用“∪”、單調(diào)區(qū)間為定義域的子區(qū)間.通過例3(2)說明導(dǎo)數(shù)法在研究函數(shù)單調(diào)性中的一般性.

總結(jié)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:

(1)求函數(shù)y=f(x)的定義域;

(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);

(3)解不等式f′(x)>0(f′(x)<0)；

(4)以上解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)增(減)區(qū)間.

例4請用導(dǎo)數(shù)證明f(x)=sinx-x在區(qū)間(0,π)上是減函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖通過實(shí)例,說明導(dǎo)數(shù)能簡單明了地證明函數(shù)的單調(diào)性,同時(shí)也印證了導(dǎo)數(shù)法研究單調(diào)性的一般性.

問題15請思考該函數(shù)在區(qū)間(-π,0)、(-π,π)上的單調(diào)性?

問題16請思考該函數(shù)在區(qū)間(-π,π)上導(dǎo)函數(shù)的符號?

問題17結(jié)合以上問題判斷,函數(shù)單調(diào)遞遞減時(shí),f′(x)<0一定成立嗎?

問題18結(jié)合書本思考題判斷,函數(shù)單調(diào)遞增時(shí),f′(x)>0一定成立嗎?

結(jié)合生活實(shí)例＂騎自行車＂的位移函數(shù)單調(diào)遞增時(shí)的兩種情況:一是瞬時(shí)速度始終大于零；二是瞬時(shí)速度大于等于零(即可以出現(xiàn)在前進(jìn)過程中某些時(shí)刻的瞬時(shí)速度為零這種情況).

設(shè)計(jì)意圖由實(shí)例說明f(x)單調(diào)遞減(增)時(shí)，f′(x)<0(f′(x)>0)不一定成立.

4. 回顧反思,提煉升華

總結(jié)本堂課解決的兩個(gè)問題:

(1)如何用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性(由直觀的“形”到抽象的“數(shù)”);

(2)為什么要用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性(由特殊的“實(shí)例”到一般“結(jié)論”).

讓學(xué)生感受從直觀到抽象,從特殊到一般的數(shù)學(xué)知識的發(fā)展規(guī)律.

問題19你現(xiàn)在能畫出例3(1)函數(shù)的圖象了嗎?

問題20觀察該函數(shù)圖象,思考點(diǎn)f′(0)與f′(2)的值,并思考這兩個(gè)點(diǎn)的特殊之處.

設(shè)計(jì)意圖通過實(shí)例,引出下一節(jié)的主要研究方向:極值.

本節(jié)課的設(shè)計(jì)在2015年江蘇省青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課評比中獲得一等獎(jiǎng),但本節(jié)課在教學(xué)過程中也存在著一些遺憾.例如,由于時(shí)間的關(guān)系,例4的作用沒能徹底的發(fā)揮,沒能通過例4在R上的圖象說明由函數(shù)的單調(diào)性判斷導(dǎo)數(shù)的符號時(shí)可以由無數(shù)個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零,但這些點(diǎn)又必須是離散的.