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探究問(wèn)題本質(zhì)讓“涉高題”降下來(lái)

2016-04-20 12:36李明樹(shù)
關(guān)鍵詞:變式三角形題目

李明樹(shù)

近幾年來(lái),各地中考中經(jīng)常出現(xiàn)涉及高中知識(shí)(文獻(xiàn)[1]中稱為“涉高題”)解決問(wèn)題的習(xí)題.此類習(xí)題在初中階段完全可以采用初中知識(shí)求解,但是,如何在初中學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上探尋解決問(wèn)題的方法,一直困惑著一線教師;教師在平時(shí)的教學(xué)中往往為了拓展學(xué)生視野、增強(qiáng)學(xué)生思維,經(jīng)常會(huì)把“涉高題”投到課堂上.本文筆者通過(guò)一次教研活動(dòng)中一題的解法探討為例,談?wù)剬?duì)此題的認(rèn)識(shí).

1問(wèn)題呈現(xiàn)

已知:如圖1,在△ABC中,頂點(diǎn)A在⊙O上移動(dòng),點(diǎn)G是△ABC的重心,設(shè)△ABC的重心G的軌跡是⊙O′,其半徑為r,⊙O的半徑為R,試探索r、R之間的數(shù)量關(guān)系.

這道題目放在高中該怎么解?放在初中又該怎么解?在不同的學(xué)段,對(duì)此題的要求和探究方式不同,如何讓初中的學(xué)生感受“涉高題”的初中解法,同時(shí)體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的奧妙,使得“涉高題”完全降下來(lái),特別是在初中學(xué)生已有知識(shí)和體驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到進(jìn)一步的發(fā)展,從而真正理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),促使學(xué)生的思維能力縱向、可持續(xù)發(fā)展.

2解法探討

2.1建立平面直角坐標(biāo)系,代數(shù)方法輕松解決問(wèn)題

所以重心G的軌跡是以(xB+xC+a3,yB+yC+b3)為圓心,以R3為半徑的圓.r=R3.

思考試想,此題如果放在高中,學(xué)習(xí)了圓的方程、三角形重心的相關(guān)知識(shí)之后,顯然是一道很簡(jiǎn)單的題目.畢竟初中生沒(méi)有足夠的知識(shí)儲(chǔ)備,沒(méi)有高中知識(shí)的學(xué)習(xí)和了解勢(shì)必會(huì)打擊學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.但是作為一名初中數(shù)學(xué)老師,如何在此題中找到相應(yīng)的平衡點(diǎn),使得初中的學(xué)生跳一跳能夠接受呢?有沒(méi)有直觀有效的、適合初中學(xué)生的解題方法呢?

2.2利用平面幾何相關(guān)知識(shí),構(gòu)造相似三角形巧妙解題

解法四如圖5,取BC中點(diǎn)D,連接AD、OA、OD,在DO上截取DO′=13DO,利用三角形重心的性質(zhì)可得DG=13DA,進(jìn)而證明三角形相似,得到O′G=13OA,即R=3r.此法中的線段O′G的得出也可以過(guò)點(diǎn)G做GO′平行于OA,再證明相似即可.

評(píng)析解法四到六很顯然巧妙地規(guī)避了高中圓的方程的相關(guān)知識(shí),巧妙地通過(guò)截取、構(gòu)造線段成比例,利用平面幾何知識(shí)中的相似三角形解題,解法確實(shí)降了不少,“涉高題”達(dá)到了“降”的目的,但是對(duì)于初中的學(xué)生來(lái)說(shuō),教師的這種講授,學(xué)生真的能接受嗎?這三種方法實(shí)質(zhì)是一種方法,解題者都是默許了一個(gè)不該默許的問(wèn)題,即三角形的重心性質(zhì)的直接應(yīng)用,“三角形重心是三角形三邊中線的交點(diǎn),重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1”.所以不妨反思,問(wèn)題真的降下來(lái)了嗎?學(xué)生能夠理解問(wèn)題的本質(zhì)嗎?如何達(dá)到真正的“降”的目的和效果,否則“降”的目的達(dá)到了,效果卻沒(méi)有,甚至使得學(xué)生的積極性受到打擊,影響學(xué)生后續(xù)對(duì)數(shù)學(xué)的積極探究.筆者進(jìn)行了如下的嘗試,課前對(duì)題目進(jìn)行了再設(shè)計(jì),課堂上進(jìn)行了再探究.3回歸起點(diǎn)探究問(wèn)題本質(zhì)

波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò):如果你不能解所提的題目.如果有這種情況,別讓這種失敗太折磨你了,去嘗試在某些比較容易獲得的成功中得到安慰,先嘗試去解某道有關(guān)的題目……教師在教學(xué)中需要引導(dǎo)和教會(huì)學(xué)生能從一道更容易著手的相關(guān)題目入手,因?yàn)槿说膬?yōu)勢(shì)在于:在不能直接越過(guò)障礙時(shí)會(huì)繞過(guò)去,在原來(lái)的題目看上去不能解時(shí)會(huì)思考某道適當(dāng)?shù)妮o助題.學(xué)生要有這個(gè)能力才能達(dá)到提升數(shù)學(xué)思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng),教師,當(dāng)然更是如此.

變式問(wèn)題一如圖8,△ABC中,AD、BE、CF分別是BC、AC、AB的中線,AD、BE、CF交于點(diǎn)G,則點(diǎn)G叫做三角形的重心.求證:AGDG=BGEG=CGFG=21.

此變式明確了指令,證明三角形重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1.但是對(duì)于初中學(xué)生來(lái)說(shuō),三角形的重心是什么?為何三條中線交于點(diǎn)G?還是一頭霧水,似乎這道題目沒(méi)有真正地降下來(lái).

變式問(wèn)題二如圖9,△ABC中,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),EC、FB交于點(diǎn)G,求證:EG=12CG.

略解如圖10,過(guò)E作EH∥BF交AC于H.因?yàn)锳E=BE,EH∥BF,所以AH=HF=12AF(平行線分線段成比例定理).又因?yàn)锳F=CF,所以HF=12CF,所以HF∶CF=12.因?yàn)镋H∥BF,所以EG∶CG=HF∶CF=12,所以EG=12CG.

此變式中的點(diǎn)G即為△ABC的重心,而題目中沒(méi)有涉及到“重心”一詞,通過(guò)平行線分線段成比例定理很容易證明EG=12CG,不妨引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想:FG=12BG成立嗎?相信學(xué)生有了前面的解題經(jīng)驗(yàn),很容易解決.變式二明顯有了很大的“降幅”規(guī)避了高中的知識(shí),直接利用平面幾何的知識(shí)解決了問(wèn)題.但是,此變式貌似還沒(méi)有完全解決問(wèn)題的本質(zhì):三角形的三條中線為何交于一點(diǎn)?針對(duì)新的疑惑,不妨再次進(jìn)行設(shè)計(jì).

變式問(wèn)題三如圖11,△ABC中,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),EC、FB交于點(diǎn)G,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).連結(jié)AD,求證:點(diǎn)G在AD上.

分析由變式二易證EG=12CG,F(xiàn)G=12BG成立.如圖12,連結(jié)AD交EC于G′,交BF于G″,由平行線分線段成比例可得:EG′CG′=FG″BG″=12,由變式二可得EGCG=FGBG=12,所以點(diǎn)G、G′、G″三點(diǎn)重合.圖13巧妙的利用學(xué)生熟悉的知識(shí)解決問(wèn)題,從而真正讓“涉高”題降下來(lái).為了進(jìn)一步開(kāi)拓學(xué)生的視野,教師不妨在此問(wèn)題的基礎(chǔ)上再添上一個(gè)問(wèn)題,加強(qiáng)對(duì)學(xué)生確定數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的理解與應(yīng)用:“如圖13,

試說(shuō)明S△BGC=S△AGC=S△AGB”.易得GH′=13AH,S△BGC=13S△ABC;同理可得S△AGC=S△AGB=13S△ABC,即S△BGC=S△AGC=S△AGB.如何提高課堂效率,深入培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和未來(lái)的競(jìng)爭(zhēng)力,教師的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的設(shè)置和引導(dǎo)極為重要,因?yàn)閿?shù)學(xué)活動(dòng)的對(duì)象是學(xué)生,教師把自己“降”下來(lái),“想學(xué)生所需”,從學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)和思維水平出發(fā),真正考慮學(xué)生學(xué)習(xí)中可能出現(xiàn)而又可以“跳一跳”解決的問(wèn)題,合理的設(shè)計(jì)問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生思考,促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì).4小結(jié)

通過(guò)上述的探究,讀者不難發(fā)現(xiàn),原本初中學(xué)生無(wú)法解決的“涉高題”,經(jīng)過(guò)系列的改編和變化,成為了一個(gè)很好的專題探究,很好的做到了初高中知識(shí)的銜接,為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)提供了強(qiáng)有力的心理支撐和知識(shí)儲(chǔ)備.改編以后題目涉及到的內(nèi)容非常廣泛,使得學(xué)生有了深層次的積累.首先,學(xué)生學(xué)會(huì)了問(wèn)題的解決需要找到合適的切入點(diǎn),否則會(huì)陷入困境.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2011版)中明確指出,數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容,注意使學(xué)生在獲得間接經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)也能夠獲得直接經(jīng)驗(yàn).即從學(xué)生實(shí)際出發(fā),從學(xué)生理解題意做起,從學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計(jì)解題教學(xué).在實(shí)際的教學(xué)中,要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”;引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于某些數(shù)學(xué)問(wèn)題可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解;而數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志,幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)也是教師教學(xué)的重要目標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1]金紹鑫.“涉高題”解法要避免涉高[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考.2015(1-2):1-2-60

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