肖維松

本文現(xiàn)將人教版八年級(jí)（下）中的一道習(xí)題及其逆命題在中考中的應(yīng)用介紹如下，供初中師生教與學(xué)時(shí)參考.

題目如圖1，直線l1∥l2，△ABC與△DBC的面積相等嗎？你還可以畫(huà)出一些與△ABC面積相等的三角形嗎？

解因?yàn)閘1∥l2，所以S△ABC=S△DBC（同底等高的三角形面積相等）.還可以畫(huà)出與△ABC面積相等的三角形若干個(gè)，只要同底BC，第三個(gè)頂點(diǎn)在l1上即可.

認(rèn)真研究本題可以得到以下兩個(gè)命題：

命題如圖1，若直線l1∥l2，則S△ABC=S△DBC；

逆命題如圖2，若S△ABC=S△DBC，則有直線l1∥l2.

這個(gè)命題及其逆命題，我們暫稱(chēng)為梯形的兩個(gè)結(jié)論：

（1）平行結(jié)論：若AD∥BC，則有S△ABC=S△BDC，S△ABD=S△ADC，所以S△AOB=S△COD.

（2）面積結(jié)論：若S△AOB=S△COD，所以S△ABC=S△BDC，S△ABD=S△ADC，則有AD∥BC（進(jìn)而得到一系列的相似）.接下來(lái)，我們舉例說(shuō)明上述兩個(gè)結(jié)論在解題中的應(yīng)用.

1平行結(jié)論的應(yīng)用

例1（2015年天水市）如圖3，已知四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC上一點(diǎn).如果△DEC的面積是2015cm2，求△BEF的面積.

解要求S△BEF，如果想求出底邊及底邊上的高是很困難的，但根據(jù)已知條件可知圖中有兩個(gè)梯形：即梯形AECD和梯形ACFB，故只要連結(jié)AC后，結(jié)合平行結(jié)論可得S△AEC=S△DEC，S△AEC=S△BEF，從而由等量關(guān)系的傳遞性可求得S△BEF=S△DEC=2015cm

例2（2010年南寧市）已知正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如圖4所示.點(diǎn)G在線段DK上，且G為BC的三等分點(diǎn)，R為EF中點(diǎn)，正方形BEFG的邊長(zhǎng)為4，則△DEK的面積為（）.

解連結(jié)BD、GE、FK.因?yàn)锳BCD、BEFG和RKPF都是正方形，所以BD∥GE∥FK，故由平行結(jié)論知，S△DGE=S△BGE，S△GEK=S△GEF，因此S△DEK=S△DGE+S△GEK=S△BGE+S△GEF=S正方形BEFG=16.

例3（2013年宜春市）如圖5所示，長(zhǎng)方形ABCD中，AC與BE相交于F，三角形BCF的面積是12，三角形CEF的面積為8，求四邊形ADEF的面積.

解連接AE，因?yàn)锳BCD為長(zhǎng)方形，所以AECB是梯形.故由平行結(jié)論知，S△AEF=S△BCF=12，而S△AEF∶S△CEF=AF∶FC（因?yàn)閮扇切蔚雀撸?12∶8=3∶2，又S△ABF∶S△BCF=S△ABF∶12=AF∶FC（因?yàn)閮扇切蔚雀撸?3∶2，故S△ABF=18，從而S四邊形ADEF=S△ADC-S△EFC=S△ABC-S△EFC=S△ABF+S△BCF-S△EFC=18+12-8=22.

例4（2013年泰州市）如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x-2與y軸相交于點(diǎn)A，與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)B（m，2）.

（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；

（2）將直線y=x-2向上平移后與反比例函數(shù)圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)C，且△ABC的面積為18，求平移后的直線的函數(shù)關(guān)系式.

解（1）將點(diǎn)B（m，2）代入直線方程y=x-2中，得m=4，故求得反比例解析式為y=8x.（2）將直線y=x-2向上平移a個(gè)單位，設(shè)與雙曲線交于點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)D，連結(jié)DB.因?yàn)橹本€y=x-2與直線y=x-2+a（a>0）的x前面的系數(shù)均為1，故兩直線平行，所以由平行結(jié)論知，S△ABD=S△ABC=18.因?yàn)榫€段AD=-2+a-（-2）=a，從而S△ABD=12×4a=18（因?yàn)锽點(diǎn)的橫坐標(biāo)m=4）故a=9.所以直線y=x-2平移后的直線的函數(shù)關(guān)系式為y=x+7.

2面積結(jié)論的應(yīng)用

例5（2012年安順市）如圖7，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上且CD于BE相交于點(diǎn)F，已知△BDF面積為6，△BCF面積為9，△CEF面積為6，求四邊形ADFE的面積.

解連接DE，因?yàn)镾△BDF=S△CEF=6，所以S△BDC=S△CEB=6+S△BCF=6+9=15.則由面積結(jié)論得DE∥BC，所以S△DEF6=69，所以S△DEF=4，又因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以S△ADES△ADE+25=（DEBC）2=（23）2=49，所以S△ADE=20，所以S四邊形ADFE=S△ADE+S△DEF=24.

3平行結(jié)論和面積結(jié)論的合用

例5（2014年淮安市）如圖8，點(diǎn)A（1，6）和點(diǎn)M（m，n）都在反比例函數(shù)y=kx（x>0）的圖象上，（1）k的值為；（2）當(dāng)m=3時(shí)，求直線AM的解析式；（3）當(dāng)m>1時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥x軸，垂足為P，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸，垂足為B，試判斷直線BP與直線AM的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

解（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入xy=k中，得k=1×6=6.

（2）因?yàn)镸（m，n）點(diǎn)也在雙曲線xy=6上，且m=3，故3n=6，所以n=2，故M（3，2），又A（1，6），故設(shè)AM方程為y=kx+b，將M和A點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)代入y=kx+b中，通過(guò)解二元一次方程組可求得AM的解析式為y=-2x+8.

（3）因?yàn)镸P⊥x軸，AB⊥y軸，所以MP∥y軸，AB∥x軸，從而由平行結(jié)論知S△ABO=S△ABP，S△MPO=S△MBP，又由雙曲線面積不變性的性質(zhì)知S△MOP=S△ABO=12K=12×6=3.故得S△ABP=S△MBP.因此由面積結(jié)論知BP∥AM.

綜上可知，注意課本習(xí)題及逆命題的研究，符合新課程關(guān)于“培養(yǎng)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)積極性”的理念要求.教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的專(zhuān)題研究，利于學(xué)生融會(huì)貫通課本知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效率，利于啟迪學(xué)生的思維，開(kāi)闊視野，提高科研水平，利于學(xué)生提高數(shù)學(xué)思維水平和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，對(duì)于啟迪學(xué)生思維、掌握基本技能和技巧，對(duì)于延伸、拓展教材的內(nèi)涵，對(duì)于開(kāi)闊視野、啟迪思維、提高綜合解題水平，均頗有益處.