葉建兵

(南京理工大學(xué) 泰州科技學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

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二元函數(shù)與一元函數(shù)的幾個(gè)轉(zhuǎn)化問題*

葉建兵

(南京理工大學(xué) 泰州科技學(xué)院，江蘇 泰州 225300)

摘要：討論了二元函數(shù)與一元函數(shù)在極限、增量、積分等方面的幾個(gè)轉(zhuǎn)化問題，特別指出應(yīng)慎重使用極坐標(biāo)計(jì)算二元函數(shù)極限，并輔以實(shí)例加以說明。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù)；一元函數(shù)；極限；方向極限；增量；積分；轉(zhuǎn)化

0引言

二元函數(shù)微積分與一元函數(shù)微積分是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容，通常在教學(xué)過程希望學(xué)生注意兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。本文將介紹二元函數(shù)與一元函數(shù)在極限、增量、積分等方面的幾個(gè)轉(zhuǎn)化問題，分析討論文獻(xiàn)中的一些結(jié)論，指出已有文獻(xiàn)中關(guān)于二元函數(shù)極限的一個(gè)謬誤，并輔以實(shí)例加以說明，展示轉(zhuǎn)化想法的巧妙，以及給解題帶來的方便。

1二元函數(shù)極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限

文獻(xiàn)[1]提出了一種將二元函數(shù)極限存在性的判斷及求法轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)極限的方法，主要結(jié)論如下：

當(dāng)α∈[0,2π]，且α≠0，π，2π時(shí)，

當(dāng)α∈[0,2π]，且α=0，π，2π時(shí)，

因此，沿著直線l，不管α∈[0,2π]取何值，當(dāng)t→0+，總有f(x,y)→0。

(2)取拋物線路徑y(tǒng)=kx2，k≠0，則

此時(shí)有

對(duì)于在計(jì)算二元函數(shù)極限時(shí)能否使用極坐標(biāo)的問題，文獻(xiàn)[4]認(rèn)為若動(dòng)點(diǎn)(x,y)的極徑t→0+時(shí)，幅角α∈[0,2π]具有任意性，這樣就保證了動(dòng)點(diǎn)(x,y)趨向于定點(diǎn)(x0,y0)的路徑具有任意性。這一觀點(diǎn)比較粗糙，表述也比較模糊，易使人誤解其結(jié)論與文獻(xiàn)[1]相同。

為討論二元函數(shù)極限與一元函數(shù)極限的關(guān)系，給出“方向極限”的定義。

例1表明方向極限存在尚不能保證二元函數(shù)極限的存在性，需要加強(qiáng)條件。

下面的定理3精確地解決了能否用極坐標(biāo)計(jì)算二元函數(shù)極限的問題，其中第二個(gè)條件實(shí)際上給出了幅角一致性的一個(gè)判別方法。

至此，本文糾正了文獻(xiàn)[1]的謬誤并澄清了文獻(xiàn)[4]的結(jié)論：方向極限的存在性不能推出二元函數(shù)極限的存在性，不能輕易地把極坐標(biāo)方法求出的方向極限作為二元函數(shù)的極限，用極坐標(biāo)方法求二元函數(shù)的極限應(yīng)慎重。

2二元函數(shù)增量轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)增量

對(duì)于二元函數(shù)問題中經(jīng)常涉及到的函數(shù)值增量f(x2,y2)-f(x1,y1)，可以用“直線法”將該增量形式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的增量[6]。令

x=x1+t(x2-x1)，y=y1+t(y2-y1)，t∈[0,1]，

這種表示法實(shí)質(zhì)是利用了連接(x1,y1)與(x2,y2)兩點(diǎn)線段的參數(shù)方程。由于(x1,y1)，(x2,y2)是固定的兩點(diǎn)，于是，

二元函數(shù)的增量f(x2,y2)-f(x1,y1)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)φ(t)在[0,1]上的增量：

f(x2,y2)-f(x1,y1)=φ(1)-φ(0)。

用此方法證明例2(二元函數(shù)的拉格朗日中值定理)和例3(二元函數(shù)的柯西中值定理)[7]，例2是2012年江蘇省普通高等學(xué)校非理科專業(yè)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題。

例2設(shè)函數(shù)f(x,y)在平面區(qū)域D上可微，線段PQ位于D內(nèi)。已知點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別為(a,b)、(x,y)，求證：在線段PQ上存在點(diǎn)M(ξ,η)，使得

f(x,y)-f(a,b)=φ(1)-φ(0)。

因φ(t)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，則存在θ∈(0,1)，使得

f(x,y)-f(a,b)=φ(1)-φ(0)=φ′(θ)(1-0)=φ′(θ)。

另一方面，由全導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，得

令ξ=a+θ(x-a)，η=b+θ(y-b)，則

因θ∈(0,1)，則點(diǎn)M(ξ,η)一定位于線段PQ上，從而

移項(xiàng)即得二元函數(shù)的拉格朗日中值定理。

例3[7]設(shè)二元函數(shù)f(x,y)和g(x,y)滿足：(1)在點(diǎn)P0(x0,y0)處連續(xù)；(2)在去心鄰域Uo(P0,δ)內(nèi)可微，dg≠0，則對(duì)?P(x0+Δx,y0+Δy)∈Uo(P0,δ)，存在ξ=x0+θΔx，η=y0+θΔy，θ∈(0,1)，使得

證用直線法引進(jìn)兩個(gè)輔助函數(shù)

φ(t)=f(x0+tΔx,y0+tΔy)，ψ(t)=g(x0+tΔx,y0+tΔy)，

則

對(duì)上式的右端用一元函數(shù)的柯西中值定理，得

仿例2求全導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，得

且ξ=x0+θΔx，η=y0+θΔy．綜上即得二元函數(shù)的柯西中值定理。

事實(shí)上，這里將二元函數(shù)增量轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)增量的方法是微積分中的經(jīng)典方法。多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、多元函數(shù)的微分中值定理(包括多元函數(shù)泰勒公式)等的推導(dǎo)用的就是這種方法。就平面區(qū)域而言，該方法的本質(zhì)是平面區(qū)域的連通性保證了其上任意兩點(diǎn)可用含于其內(nèi)的直線(折線)連接起來，從而當(dāng)二元函數(shù)被限制在直線(折線)上時(shí)可轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題進(jìn)行討論[8]。

3一元函數(shù)定積分轉(zhuǎn)化為二重積分

另一方面，若將

證注意到

容易求得

從而

4結(jié)語

本文討論了二元函數(shù)與一元函數(shù)在極限、增量、積分等方面的幾個(gè)轉(zhuǎn)化問題。針對(duì)已有文獻(xiàn)提出用極坐標(biāo)求二元函數(shù)極限的方法，通過對(duì)二元函數(shù)極限本質(zhì)及實(shí)例的分析，本文指出了其中的謬誤，討論并澄清了方向極限與二元函數(shù)極限的關(guān)系，特別指出應(yīng)慎重使用極坐標(biāo)方法計(jì)算二元函數(shù)極限．其他的兩個(gè)轉(zhuǎn)化問題則顯得非常巧妙，通過有效的轉(zhuǎn)化建立起新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，可以從新的角度認(rèn)識(shí)問題，常使人有“柳暗花明又一村”的感覺。

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責(zé)任編輯：程艷艷

Some Transformations between Binary Function and One Variate Function

YE Jianbing

(Taizhou Institute of Science and Technology, Nanjing University of Science and Technology, Taizhou 225300, China)

Abstract：This paper discusses the transformations between binary function and one variate function in terms of limit, increment and integration. Particularly, it is pointed out that the polar coordinate should be carefully used to calculate the limit of binary function. Several examples are given to explain the transformations.

Keywords：binary function; one variate function; limit; directional limit; increment; integration; transformation

中圖分類號(hào)：O172

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1009-3907(2016)02-0023-05

作者簡(jiǎn)介：葉建兵(1981-)，男，江蘇泰興人，講師，碩士，主要從事多尺度幾何分析與圖像處理研究。

基金項(xiàng)目：2015年江蘇省高等教育教改研究立項(xiàng)課題(2015JSJG565)

收稿日期：2015-10-26