林泉（大田縣文江中心小學(xué)，福建 大田　366100）

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過程性、現(xiàn)實(shí)性、彈性：小學(xué)數(shù)學(xué)教材二次開發(fā)三要素

林泉
（大田縣文江中心小學(xué)，福建 大田366100）

小學(xué)數(shù)學(xué)教材在過程性、現(xiàn)實(shí)性、彈性等方面存在需要“二次開發(fā)”的因素。具體開發(fā)方法是：充分展現(xiàn)知識(shí)的形成過程，設(shè)計(jì)作為活動(dòng)的數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)素材進(jìn)一步貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)，突出本土化和常識(shí)化；教學(xué)內(nèi)容增加彈性，全面貫徹落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)。開發(fā)教材時(shí)，達(dá)到數(shù)學(xué)教育基本矛盾雙方“數(shù)學(xué)方面”和“教育方面”的恰當(dāng)平衡，則是實(shí)現(xiàn)課程的整體目標(biāo)的關(guān)鍵之所在。

數(shù)學(xué)教材；二次開發(fā)；過程性；現(xiàn)實(shí)性；彈性

在不同的哲學(xué)思想指導(dǎo)下，由于各自的價(jià)值觀念及社會(huì)利益，教材編寫者總要根據(jù)自己的“經(jīng)驗(yàn)世界”對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)行再創(chuàng)造，這種創(chuàng)造因經(jīng)驗(yàn)不同，所發(fā)生的變化是很大的；而且所設(shè)計(jì)出來的教材并不一定恰好適合于每一個(gè)具體的教學(xué)過程。在教學(xué)中，具體執(zhí)行教學(xué)的教師總是要根據(jù)每一個(gè)具體教學(xué)過程的需要進(jìn)行具體的再加工，要懂得“創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材”。［1］

首先，要讀懂教材告訴我們什么。例如，人教版的“雞兔同籠”問題由《孫子算經(jīng)》中記載的原題引入，考慮到數(shù)據(jù)較大，教材在例1把原題的數(shù)據(jù)變小，并提供多種解法：①猜測(cè)法。分別猜測(cè)雞、兔各有多少只，然后驗(yàn)證腳的只數(shù)是否對(duì)應(yīng)，最終找到正確答案。②列表法。列表格按順序?qū)ふ掖鸢浮＂邸凹僭O(shè)法”是一種算術(shù)方法，但有其獨(dú)特的特點(diǎn)，是一個(gè)假設(shè)——計(jì)算——推理——解答的過程。此外，“閱讀資料”中介紹了趣味解法——“抬腿法”。其中列表法如同一張網(wǎng)，它“網(wǎng)”住了其它各種解法，而假設(shè)法如同網(wǎng)的一格，“快準(zhǔn)狠”，是思考更具有邏輯性的一般性解法。再進(jìn)一步思考：例1并非是必需的，因?yàn)橛械暮⒆涌赡苤苯忧蟪鲈}的答案；只是對(duì)于沒有思路的學(xué)生，他才需要從簡(jiǎn)單的問題入手，所以教材為教學(xué)留下很大的機(jī)動(dòng)空間。

一般地說，作為義務(wù)教育教科書的數(shù)學(xué)教材具有這些特點(diǎn)：科學(xué)性、整體性、過程性、現(xiàn)實(shí)性、彈性、可讀性，它為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)話數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源。所以，在使用教材時(shí)，首先必須正確地、合理地解讀教材。

數(shù)學(xué)教育包括“數(shù)學(xué)方面”和“教育方面”，這兩者就構(gòu)成了數(shù)學(xué)教育的基本矛盾，“數(shù)學(xué)教育應(yīng)由惟一地強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能轉(zhuǎn)變到更為重視幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維乃至學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)上面來”。［2］老師讀教材要讀出矛盾的兩個(gè)方面來，即第一層次從“數(shù)學(xué)方面”讀教材，理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)和教材結(jié)構(gòu)，弄清例題的地位和作用，厘清例題與習(xí)題的聯(lián)系；第二層次從“教育方面”讀教材，特別是從學(xué)生的角度讀教材，感悟知識(shí)的形成和應(yīng)用，弄清學(xué)生可能讀懂什么可能會(huì)有哪些疑難問題。從現(xiàn)實(shí)來看，教師很少?gòu)膶W(xué)生的角度讀教材，甚至有不讀教材而憑著自己的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行教學(xué)，卻美其名曰創(chuàng)造性使用教材。

教材通常是過去的研究成果的集合，因而靜態(tài)地呈現(xiàn)知識(shí)和遠(yuǎn)離學(xué)生的現(xiàn)實(shí)是教材的客觀存在。例如，人教版三年級(jí)下冊(cè)的“筆算除法”。教材從42÷2到52÷2按數(shù)的順序進(jìn)行編寫例題，學(xué)習(xí)內(nèi)容的呈現(xiàn)有動(dòng)態(tài)的味道，但每個(gè)例題都要分小棒、列豎式，學(xué)生所看到的數(shù)學(xué)卻是靜態(tài)的。又如，人民幣的基準(zhǔn)利率一年通常地要調(diào)整好幾次，它是動(dòng)態(tài)的，而在教材中它的呈現(xiàn)卻是靜態(tài)的。

所以說，教材內(nèi)容的呈現(xiàn)雖然可體現(xiàn)著過程性，但總不是“活動(dòng)”的，學(xué)生難于觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流和反思；教材呈現(xiàn)內(nèi)容的素材雖然是力求貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)，但現(xiàn)實(shí)往往是有時(shí)空的，如城市學(xué)生的現(xiàn)實(shí)并非農(nóng)村學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，甲地學(xué)生的現(xiàn)實(shí)也非乙地學(xué)生的現(xiàn)實(shí)；教材內(nèi)容的設(shè)計(jì)雖然能有一定的彈性，但不同的學(xué)生有不同的需求，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上有不同的發(fā)展。

一、充分展現(xiàn)知識(shí)的形成過程，設(shè)計(jì)作為活動(dòng)的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）指出：“設(shè)計(jì)必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、推理、交流、反思等，感悟知識(shí)的形成和應(yīng)用。恰當(dāng)?shù)刈寣W(xué)生經(jīng)歷這樣的過程，對(duì)于他們理解數(shù)學(xué)知識(shí)與方法、形成良好的數(shù)學(xué)思維、增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)、提高解決問題的能力有著重要的作用?！苯虒W(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，可用規(guī)律的事物把某些例題構(gòu)建成連續(xù)性學(xué)習(xí)材料，運(yùn)用連續(xù)性的學(xué)習(xí)材料組織課堂教學(xué)，可以引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成多次正反饋，實(shí)現(xiàn)有效歸納，提高獲取知識(shí)的可靠性。［3］

例如，把前述42÷2和52÷2放置在“百數(shù)表”，可以構(gòu)建出一組連續(xù)性的學(xué)習(xí)材料：2÷2、12÷2、……、82÷2、92÷2，學(xué)生通過口算求出商是2、6、11、……、41、46；接著，學(xué)生用百數(shù)表中的數(shù)任意寫出若干個(gè)一位數(shù)除兩位數(shù)的算式，并進(jìn)行口算，而對(duì)于其中有余數(shù)的除法口算起來便會(huì)覺得有難度。這時(shí)讓學(xué)生對(duì)52÷2=26進(jìn)行反思探索筆算方法，再探索42÷2的筆算方法，學(xué)生再進(jìn)行若干的筆算，就形成算法的范例。而后，對(duì)這些范例進(jìn)行反思，就可以總結(jié)出算理。在學(xué)習(xí)活動(dòng)中，縱向數(shù)學(xué)化和橫向數(shù)學(xué)化交織使用，充分展現(xiàn)了知識(shí)的形成過程。

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀。所以，一堂數(shù)學(xué)課可以開發(fā)為二至三個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)，每一個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)包括“活動(dòng)——反思——講解”（即做什么、想什么、講什么）等三個(gè)環(huán)節(jié)，若干活動(dòng)之間要有內(nèi)在的邏輯聯(lián)系。

二、數(shù)學(xué)素材進(jìn)一步貼近學(xué)生現(xiàn)實(shí)，突出本土化和常識(shí)化

學(xué)生的現(xiàn)實(shí)包含生活現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和其他學(xué)科現(xiàn)實(shí)等三個(gè)方面，在二次開發(fā)的過程中主要是突出數(shù)學(xué)素材的本土化和常識(shí)化。例如，方位的知識(shí)，僅用教科書進(jìn)行教學(xué)，只是學(xué)會(huì)書本上的左東右西，而沒有實(shí)際的體會(huì)。所以，教學(xué)時(shí)就應(yīng)該把書本知識(shí)進(jìn)行本土化，讓學(xué)生學(xué)會(huì)現(xiàn)實(shí)生活具體的位置與方向。

數(shù)學(xué)的根源在于普通的常識(shí)，通過系統(tǒng)化和組織化，普通的常識(shí)將建立一個(gè)巨大的等級(jí)體系。學(xué)習(xí)的一個(gè)極端是沒有被有意識(shí)地教的學(xué)習(xí)，另一個(gè)極端是被直截了當(dāng)?shù)貜?qiáng)加的學(xué)習(xí)；第一種學(xué)習(xí)更深地扎根于以前的普通常識(shí)。普通常識(shí)最顯著的例子是非負(fù)整數(shù)。［4］所以，教師的責(zé)任是積極尋求學(xué)生現(xiàn)實(shí)中“普通的常識(shí)”，把這些常識(shí)組織起來，通過反思，不斷地進(jìn)行系統(tǒng)化。例如，“笑笑打國(guó)內(nèi)長(zhǎng)途電話每分鐘0.3元”，得出“打1分鐘用0.3元，2分鐘用0.6元，3分鐘用0.9元，……”及其相應(yīng)的乘法和除法算式，這對(duì)于每一個(gè)學(xué)生來說都是“普通常識(shí)”，把其中的除法算式組織起來進(jìn)行反思，就得到“整數(shù)除法的商不變性質(zhì)在小數(shù)除法也同樣適用”的結(jié)論。由于這里的計(jì)算指向“3的乘法口訣”，整數(shù)的乘除法便是更大“普通常識(shí)”，系統(tǒng)的自組織發(fā)揮作用，小數(shù)除法的學(xué)習(xí)就變得更容易接受。

三、教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)可以增加彈性，全面貫徹落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》指出，“教材內(nèi)容設(shè)計(jì)要有一定的彈性”，并“考慮到學(xué)生發(fā)展的差異，在保證基本要求的前提下，可設(shè)計(jì)有一定彈性的內(nèi)容，以滿足學(xué)生的不同需求，使不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。作為教材內(nèi)容的具體實(shí)施，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)也可以增加彈性。

增加彈性內(nèi)容的主要做法有：①就同一問題提出不同層次的要求，或設(shè)計(jì)開放性的練習(xí)；②結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容有機(jī)地提供一定的閱讀材料，包括史料、背景材料等；③特定教材所增加的內(nèi)容要注重于介紹數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的數(shù)學(xué)基本思想；④設(shè)計(jì)一些課題活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生借助算盤、計(jì)算器等工具進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)。

例如，“數(shù)與形”（人教版六年級(jí)上冊(cè)第107頁例1）的素材是畢達(dá)哥拉斯及門徒的擺“單子”，這是數(shù)形結(jié)合的典型案例。以此史實(shí)為依據(jù)，教學(xué)可以這樣設(shè)計(jì)：

以“數(shù)”化“形”，認(rèn)識(shí)四角數(shù)。把自然數(shù)寫成平方數(shù)即12，22，32，…引導(dǎo)學(xué)生自主用圓形、正方形、星形紙片表示平方數(shù)。反思擺“單子”的過程，從結(jié)果分析擺出的數(shù)是一個(gè)平方數(shù)，而從過程分析擺出的數(shù)是一個(gè)又一個(gè)的奇數(shù)，用算式表示：①1=12；1+3=22；1+ 3+5=32；…②最大的奇數(shù)是2n-1。

以“形”變“數(shù)”，認(rèn)識(shí)三角數(shù)。（出示第109頁第2題）若把上述的平方數(shù)稱為四角數(shù)，這道題各圖形表示是什么數(shù)？（三角數(shù)）。繼續(xù)擺三角數(shù)，得出：第n個(gè)三角數(shù)的個(gè)數(shù)。

課外作業(yè)：閱讀畢達(dá)哥拉斯擺“單子”的故事，了解五角數(shù)、六角數(shù)。

教學(xué)設(shè)計(jì)增加彈性的內(nèi)容，其實(shí)質(zhì)是拓寬“知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”三維目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)之途徑，因此，做好這方面的工作，就有利于在教學(xué)的過程中全面地貫徹和落實(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)。

綜上所述，教材的“數(shù)學(xué)方面”是課程的剛性要求，要認(rèn)真領(lǐng)悟，而其“教育方面”則可根據(jù)實(shí)際教學(xué)的需要進(jìn)行靈動(dòng)加工。教材二次開發(fā)時(shí)要達(dá)到數(shù)學(xué)教育矛盾雙方的恰當(dāng)平衡，這是實(shí)現(xiàn)課程的整體目標(biāo)的關(guān)鍵之所在。

［1］張維忠.數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)課程［M］.上海：上海教育出版社，1999.

［2］鄭毓信.數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育哲學(xué)［M］.南京：江蘇教育出版社.2007.

［3］鄭祥旦.利用連續(xù)性學(xué)習(xí)材料促進(jìn)學(xué)生有效歸納［J］.福建教育，2009（5）.

［4］〔荷蘭〕弗賴登塔爾.數(shù)學(xué)教育再探［M］.劉意竹，等，譯.上海：上海教育出版社，1999.

（責(zé)任編輯：閩曉）