（莆田市秀嶼區(qū)笏石中心小學(xué)，福建莆田351146）

把握數(shù)學(xué)本質(zhì)讓思考改變課堂

徐志鋒

（莆田市秀嶼區(qū)笏石中心小學(xué)，福建莆田351146）

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心是數(shù)學(xué)問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題決定數(shù)學(xué)思考的質(zhì)量，影響學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的掌握。有效的數(shù)學(xué)思考是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)鍵。本文就從數(shù)學(xué)思考如何改變課堂的角度進(jìn)行闡述，以數(shù)學(xué)問(wèn)題引領(lǐng)思考，以數(shù)學(xué)思想影響思維，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)思考改變課堂教學(xué)。

本質(zhì)；思考；思想；素養(yǎng)

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維的符號(hào)語(yǔ)言。在課堂中，師生用對(duì)話的形式演繹數(shù)學(xué)問(wèn)題的走向，這其中，有效的數(shù)學(xué)思考是把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的關(guān)鍵。不難看出，設(shè)置富有層次及邏輯推理的問(wèn)題架構(gòu)，是觸發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考的核心。

思考的價(jià)值，是數(shù)學(xué)問(wèn)題能否觸動(dòng)學(xué)生的多維思索，能否激發(fā)學(xué)生的思維張力，能否激蕩學(xué)生的思考方向，從這個(gè)意義上說(shuō)，重視有效問(wèn)題的設(shè)置就是引發(fā)數(shù)學(xué)思考的關(guān)鍵。如何在有限的時(shí)間跨度里引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)思考，進(jìn)而把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，是每一位數(shù)學(xué)教師需要不斷思索的問(wèn)題。

一、“分”層遞進(jìn)，“數(shù)”概念本質(zhì)——讓數(shù)學(xué)思考全面發(fā)生

康托爾說(shuō)：數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由。要做到自由，教師的理念及教學(xué)定位至關(guān)重要。畢竟，開(kāi)放的課堂要求教師要有極高的駕馭能力及掌控全局的視野，通常來(lái)說(shuō)，這是不容易做到的。

通常而言，我們的數(shù)學(xué)課堂在學(xué)生的思考點(diǎn)上的設(shè)置還是重視不夠，在常態(tài)教學(xué)中，學(xué)生的思維空間比較逼仄。原因在于，教師在課堂上沒(méi)有提供清晰有力的架構(gòu)。試以阮志強(qiáng)老師對(duì)傳統(tǒng)的《分?jǐn)?shù)的意義》一課的演繹為例，咀嚼其中幾個(gè)片斷。

阮老師對(duì)分?jǐn)?shù)概念的建構(gòu)分為四大模塊：“說(shuō)一不二”“心有靈犀”“巧思妙創(chuàng)”和“超級(jí)變變變”，使學(xué)生以多梯次的思維活動(dòng)方式進(jìn)行不斷的追思，經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，讓分?jǐn)?shù)煥發(fā)真正的味道。

思考點(diǎn)一：請(qǐng)你寫上一個(gè)分?jǐn)?shù)，同桌交換這個(gè)分?jǐn)?shù)，想想看，這個(gè)分?jǐn)?shù)表示什么？現(xiàn)在，請(qǐng)你用簡(jiǎn)單的草圖表示同桌的這個(gè)分?jǐn)?shù)?？纯?，哪些同桌“心有靈犀”？在學(xué)生匯報(bào)時(shí)，追問(wèn)：在你畫圖之前，是怎么理解這個(gè)九分之四的？畫的圖和寫的分?jǐn)?shù)對(duì)上了嗎？“數(shù)”與“形”的契合，正是學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的抽象內(nèi)涵與直觀模型的有效統(tǒng)一，體現(xiàn)了在開(kāi)放包容的空間里主動(dòng)學(xué)習(xí)的智慧。

思考點(diǎn)二：從下面九個(gè)正方形中任選幾個(gè)圈成一個(gè)整體，創(chuàng)造一個(gè)分?jǐn)?shù)，并想一想你創(chuàng)造的分?jǐn)?shù)表示什么？這是開(kāi)放的數(shù)形結(jié)合題。一個(gè)學(xué)生經(jīng)過(guò)思考，拋出：9個(gè)正方形，表示四分之一。教師問(wèn)：這個(gè)圖表示四分之一，你看懂了嗎？看懂的舉手。舉手的寥寥無(wú)幾。全班學(xué)生陷入掙扎中：這個(gè)分?jǐn)?shù)可以么？創(chuàng)造者闡述自己的思維成果：先把8個(gè)正方形均分成4份，2個(gè)一份，再把剩下的一個(gè)正方形均分成4份，把2個(gè)正方形和現(xiàn)在的小的正方形加在一起，就是9個(gè)正方形的四分之一。這確實(shí)是一個(gè)創(chuàng)新性的思維！

思考點(diǎn)三：兩本筆記本，占全部的五分之一，問(wèn)：一共有幾本？怎么想？再取出兩本，占現(xiàn)在全部的幾分之幾？同樣都是兩本？為什么一個(gè)是五分之一，一個(gè)是四分之一？……一本的活頁(yè)，取其中的二分之一，多少？再拿二分之一？再拿二分之一？……說(shuō)得完嗎？教師很自然地引出莊子的一句話：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭。問(wèn)：讀懂這句話了嗎？學(xué)生：你有一根一尺的木棍，你每天取它的一半，你永遠(yuǎn)取不完。多么深刻的領(lǐng)悟！

教學(xué)，往往需要教師有前跨的思維，又要有后退讓出空間的從容，提出引發(fā)深層次思考的問(wèn)題，促進(jìn)探究。

二、“面”向立體，“積”淀數(shù)學(xué)素養(yǎng)——讓數(shù)學(xué)思考經(jīng)歷考驗(yàn)

華羅庚說(shuō)：新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更重要。隱性的學(xué)習(xí)目標(biāo)總是容易被教師忽視，邏輯推理的方法、想象抽象的策略，建立在學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的思考是否具有更為寬暢的空間。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思考方向往往是難以捉摸的，過(guò)程是充滿曲折的，而這種經(jīng)歷，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，恰恰是最有價(jià)值的。羅鳴亮老師對(duì)“面積”的建構(gòu)就是一波三折的過(guò)程。

羅老師以方格圖貫穿面積公式的建模過(guò)程，引導(dǎo)觀察、思考、辨析，摒棄了動(dòng)手操作，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。方格圖分為三個(gè)層次：先出現(xiàn)完整的方格圖，讓學(xué)生猜6個(gè)面積1平方分米的正方形組成的圖形是什么形狀；接著是長(zhǎng)方形長(zhǎng)6、寬4中間沒(méi)有方格線的方格；最后是長(zhǎng)9、寬8的長(zhǎng)方形，層次中體現(xiàn)深度。而學(xué)生要從長(zhǎng)9、寬8的一維中想象縱橫線上有幾個(gè)方格，求出小方格總個(gè)數(shù)，在一維與二維之間的切換，學(xué)生找到長(zhǎng)方形面積的突破口，這里，方格圖起到了不可忽視的紐帶作用。

羅老師以不同的長(zhǎng)方形素材進(jìn)行多梯度的模型建構(gòu)，讓長(zhǎng)方形的形狀呈多重立體式，即長(zhǎng)方形是以一定單位的小正方形組成的，溝通一維與二維的區(qū)別時(shí)，學(xué)生搞混了周長(zhǎng)與面積的不同，認(rèn)知出現(xiàn)了錯(cuò)誤。羅老師不急不緩，引導(dǎo)觀察：長(zhǎng)方形面積到底與什么有關(guān)？四個(gè)關(guān)鍵詞：每行個(gè)數(shù)、行數(shù)、總個(gè)數(shù)、面積之間存在的邏輯體系。學(xué)生在羅老師的巧妙牽引下，順利發(fā)現(xiàn)了一定數(shù)量的小正方形個(gè)數(shù)即面積的數(shù)量?；ù罅鈱?duì)面積模型進(jìn)行層層建構(gòu)，最后卻沒(méi)有總結(jié)出面積的公式，體現(xiàn)了教師對(duì)模型思想的重視。

本節(jié)課，“講道理”成為一大亮色。羅老師不斷追問(wèn)：你是怎么想的？請(qǐng)你講道理好吧。就是讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考，進(jìn)行推理演繹，得出結(jié)論。整節(jié)課通過(guò)數(shù)形結(jié)合的表征，直觀呈現(xiàn)抽象的面積公式的本源：長(zhǎng)方形面積為什么等于長(zhǎng)×寬？這里的思維荒蕪地帶才是數(shù)學(xué)的本質(zhì)：為什么要用長(zhǎng)×寬？學(xué)生明白這樣的道理嗎？最后一個(gè)環(huán)節(jié)，還是以羅老師懸疑式的猜測(cè)結(jié)束：面積20平方分米的長(zhǎng)方形，形狀是什么？5×4、10×2、20×1、40×0.5……閃爍著哲學(xué)中的變與不變思想及極限思想。

有深度思考的課堂，才能讓學(xué)生以理性的精神感知數(shù)學(xué)邏輯思維的奧妙！羅老師的面積模型建構(gòu)過(guò)程，讓學(xué)生充分領(lǐng)略了“面積”就是“面之積累”，而不是所謂的公式記憶。這一模型思想深植在學(xué)生心中，其策略會(huì)遷移到長(zhǎng)方體體積的演繹上：所謂“體積”，就是“體之積累”。從二維到三維的切換，正是知識(shí)及邏輯體系的一脈相承。換句話說(shuō)，就是為學(xué)生設(shè)置一個(gè)動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)路徑。

三、“植”問(wèn)題意識(shí)，“樹(shù)”模型思想——讓數(shù)學(xué)思考走向深刻

數(shù)學(xué)問(wèn)題是課堂教學(xué)的價(jià)值支撐，問(wèn)題引領(lǐng)的過(guò)程，就是體驗(yàn)、感知、領(lǐng)悟的過(guò)程，有的經(jīng)歷“輕舟已過(guò)萬(wàn)重山”，有的經(jīng)歷“山窮水盡疑無(wú)路”，固然沒(méi)有所謂的最好，但是，輕易接觸到的，學(xué)生的印象無(wú)法深刻，數(shù)學(xué)思想方法的滲透就無(wú)從談起。

以植樹(shù)問(wèn)題為例。特級(jí)教師俞正強(qiáng)詮釋的《植樹(shù)問(wèn)題》，切入點(diǎn)簡(jiǎn)單明了，兩個(gè)問(wèn)題：“20米，每5米分一段，共分幾段？”“20米路，每5米栽一棵樹(shù)，共栽幾棵樹(shù)？”“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題的思考，區(qū)分出平均分是一段一段的分，而種樹(shù)是種在段與段之間兩端的點(diǎn)上。

“點(diǎn)與段的差別在哪里？”問(wèn)題的核心是讓學(xué)生抓住點(diǎn)與段的區(qū)別，借助線段圖這個(gè)直觀模型，明白植樹(shù)問(wèn)題是一個(gè)怎樣的問(wèn)題：植樹(shù)是植在點(diǎn)上的。俞老師所舉的例子有趣：“奧巴馬”是“樹(shù)”——美國(guó)選總統(tǒng)每5年選一個(gè)奧巴馬；“獎(jiǎng)狀”是“樹(shù)”——每隔一學(xué)期一張獎(jiǎng)狀。俞老師總結(jié)樸實(shí)：一個(gè)“正宗”，即兩端都栽；二個(gè)“方便”，即一端不栽、兩端都不栽。從有形的“樹(shù)”到無(wú)形的“樹(shù)”，歷經(jīng)層層抽象，在多種復(fù)雜的問(wèn)題中剝離非本質(zhì)屬性，建構(gòu)模型，完善除法的知識(shí)體系，幫助學(xué)生豐盈對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的認(rèn)知，感悟模型思想，培養(yǎng)學(xué)生具有獨(dú)立的、獨(dú)特的思維方式和思維品格。

會(huì)舉例，是證明學(xué)生思考成效的最好方式，它不是單純的模仿，而是通過(guò)各個(gè)不同方向、事物的表征，找到一般性的代表，為抽象出數(shù)學(xué)的模型揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)打好基石。從這個(gè)意義上說(shuō)，俞老師建構(gòu)的課堂就有了思考數(shù)學(xué)本真的思想，他在教導(dǎo)學(xué)生做到：如何能夠超出生活經(jīng)驗(yàn)并學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維，特別是數(shù)學(xué)抽象。（鄭毓信語(yǔ)）而數(shù)學(xué)思想的蘊(yùn)伏及體現(xiàn)，正如史寧中所說(shuō)，數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理、模型。其中抽象是最核心的。這為我們的數(shù)學(xué)思考打下了思想的“底子”。

高效的數(shù)學(xué)課堂，應(yīng)當(dāng)看到學(xué)生成為“追問(wèn)者”，追問(wèn)問(wèn)題的本源、尋找解決的途徑、參與流程的走向，經(jīng)歷抽象建模的過(guò)程。這樣的課堂，才有真正的數(shù)學(xué)思考，我們期待。課堂中學(xué)生有獨(dú)立的思考，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］人民教育編輯部.教學(xué)大道——寫給小學(xué)數(shù)學(xué)教師［M］.北京：高等教育出版，2010.

［2］張丹.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

［3］史寧中.數(shù)學(xué)思想概論——數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象［M］.長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，2008.

（責(zé)任編輯：陳志華）