李登峰，劉家財,2

(1.福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，福建 福州 350108；2.福建農(nóng)林大學(xué)交通與土木工程學(xué)院，福建 福州 350002)

基于最小平方距離的區(qū)間值合作對策求解模型與方法

李登峰1，劉家財1,2

(1.福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院，福建 福州 350108；2.福建農(nóng)林大學(xué)交通與土木工程學(xué)院，福建 福州 350002)

區(qū)間值合作對策；最小平方法；損失函數(shù)；配送聯(lián)盟；數(shù)學(xué)規(guī)劃

1 引言

由于管理決策環(huán)境與條件的不確定性、信息的不完備性與不準確性、局中人利益的多元化與目標的多樣性、知識經(jīng)驗與能力的局限性，局中人聯(lián)盟的特征(或支付)函數(shù)通常用模糊值而非精確值來表示[1-4]。聯(lián)盟特征函數(shù)用區(qū)間值表示的合作對策就是聯(lián)盟值具有不確定性的合作對策的一種重要形式，常簡稱為區(qū)間值合作對策。在區(qū)間值合作對策中，往往無法確切地知道每個聯(lián)盟的收益，而只能估計出聯(lián)盟收益的模糊值，并且將其用一個閉區(qū)間的形式來表示。區(qū)間值合作對策是清晰(經(jīng)典)合作對策的重要推廣，近年來受到了一些研究者的關(guān)注，并逐漸被運用于解決一些競爭型經(jīng)濟管理決策問題[5-14]。比如，銀行破產(chǎn)問題就是一個很好的區(qū)間值合作對策例子。Han Weibin等[5]介紹了區(qū)間值核心的概念和擬Shapley值，討論了兩者之間的關(guān)系并給出了可能存在的區(qū)間值解。Alparslan等[9]將經(jīng)典的兩人合作對策理論拓展到區(qū)間值兩人合作對策，研究了核心、平衡性和超可加性等相關(guān)的概念。Li Dengfeng[13]給出了一種用于求解支付值用區(qū)間值來表示的矩陣對策的簡單而高效的線性規(guī)劃模型，并證明其是經(jīng)典矩陣對策的拓展。

然而，現(xiàn)有區(qū)間值合作對策求解方法，大多數(shù)直接利用區(qū)間值減法等進行運算，極可能造成局中人收益(或分攤成本)的不確定性放大或為負值等問題。為此，本文借鑒最小平方法的思想，從任意聯(lián)盟中的所有局中人都希望他們從最大聯(lián)盟中獲得的分配值之和至少能盡可能地接近其聯(lián)盟值這一愿望為出發(fā)點(即局中人參與大聯(lián)盟后所獲得的分配值之和不應(yīng)和他們單獨形成聯(lián)盟時獲得的聯(lián)盟收益偏離太多)，構(gòu)造區(qū)間值距離公式，并建立以聯(lián)盟分配與聯(lián)盟支付之差的平方和為最小的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，據(jù)此求解確定每個局中人的區(qū)間值分配，有效地避免了傳統(tǒng)區(qū)間值合作對策求解過程中使用區(qū)間值減法帶來的局中人區(qū)間值分配放大或分配所得為負值等不合理現(xiàn)象。

2 區(qū)間值運算與距離

2.1 區(qū)間值運算

用I(R)表示實數(shù)集R上所有有界閉區(qū)間集合。區(qū)間值a=[aL,aR]={x|x∈R,aL≤x≤aR}，其中aL∈R和aR∈R。顯然，若aL=aR，則區(qū)間值a=[aL,aR]退化為一個精確數(shù)即實數(shù)，記為aL或aR。因此，區(qū)間值是精確數(shù)的拓展。換句話說，精確數(shù)是區(qū)間值的一種特殊情形。

區(qū)間值運算在區(qū)間值合作對策中具有重要作用。本小節(jié)介紹幾種常見區(qū)間值運算法則[5,13-15]。

定義1 設(shè)a=[aL,aR]和b=[bL,bR]為I(R)上的兩個區(qū)間值，γ∈R為任意實數(shù)。則：

(1)區(qū)間值相等：a=b當(dāng)且僅當(dāng)aL=bL和aR=bR。a=b意味著區(qū)間值a和b完全相同；

(2)區(qū)間值加法：a+b=[aL+bL,aR+bR]；

(3)區(qū)間值減法：a-b=[aL-bR,aR-bL]；

(4)區(qū)間值與實數(shù)的乘積：

2.2 區(qū)間值之間的距離

定義2設(shè)a=[aL,aR]、b=[bL,bR]和c=[cL,cR]是I(R)上的任意三個區(qū)間值。若滿足下面三條條件：

(1)D(a,b)≥0；

(2)D(a,b)=D(b,a)；

(3)D(a,b)≤D(a,c)+D(c,b)，

則稱D(a,b)為區(qū)間值a和b之間的距離。

為更好描述最小平方法思想在區(qū)間值合作對策中的應(yīng)用，給出如下區(qū)間值距離(平方)公式：

D(a,b)=(aL-bL)2+(aR-bR)2

(1)

顯然，式(1)滿足定義2中條件(1)和(2)。下面僅證明條件(3)。事實上，根據(jù)式(1)，得：

D(a,b)=(aL-bL)2+(aR-bR)2≤[(aL-cL)2+(cL-bL)2]+[(aR-cR)2+(cR-bR)2]=[(aL-cL)2+(aR-cR)2]+[(cL-bL)2+(cR-bR)2]=D(a,c)+D(c,b)

即D(a,b)≤D(a,c)+D(c,b)。因此，式(1)為區(qū)間值a和b之間的距離。

3 求解區(qū)間值合作對策的最小平方優(yōu)化模型

3.1 區(qū)間值合作對策

區(qū)間值合作對策υ定義在局中人集合N={1,2,…,n}上，區(qū)間值υ(S)為聯(lián)盟S?N的聯(lián)盟特征(或支付)值，也即區(qū)間值特征函數(shù)，記υ(S)=[υL(S),υR(S)]。規(guī)定υ(?)=0，其中?為空集。通常將υ({i})簡寫成為υ(i)(i∈N)。

任意聯(lián)盟S?N中的所有局中人都希望他們從最大聯(lián)盟中獲得的分配值之和盡可能地接近其聯(lián)盟值υ(S)。利用式(1)，則區(qū)間值x(S)與υ(S)的差異可表示為如下的距離(平方)：

所有聯(lián)盟S?N的距離之和可以表示為：

L(x)可看作為所有聯(lián)盟的一種損失函數(shù)。

3.2 最小平方優(yōu)化模型及其解法

容易看出，使損失函數(shù)L(x)取得最小值的解，可以得到所有局中人的一種最優(yōu)分配方案，即區(qū)間值合作對策的一種解。為此，建立如下數(shù)學(xué)優(yōu)化模型：

(2)

對L(x)關(guān)于變量xLj和xRj(j∈S?N)分別求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，即有：

從而可得：

(3)

(4)

為了求解xLi和xRi(i=1,2,…,n)，將方程組(3)和(4)分別展開，可得：

(5)

和

(6)

通過上述分析，可得：

則方程(5)與(6)可分別寫成如下矩陣形式：

AXL=BL

AXR=BR

記矩陣為：

其中E為單位矩陣。經(jīng)過一系列初等行變化，可得：

(A,E)～

顯然，矩陣A和E行等價，從而矩陣A可逆，且：

利用矩陣乘法，可得到方程(5)和(6)的解分別如下：

XL=A-1BL

(7)

XR=A-1BR

(8)

由此可以計算得到局中人i∈N的分配值，即區(qū)間值xi=[xLi,xRi](i=1,2,…,n)。

3.3 最小平方優(yōu)化模型的拓展及其解法

有趣的是，在兩次金融危機——1997年亞洲金融危機、2008年美國次貸危機之后世界各國的FD與kaopen指數(shù)均出現(xiàn)增速驟減，對于中低收入國家而言甚至出現(xiàn)了兩個指標的負向變化。這一現(xiàn)象一方面說明金融危機對于不同發(fā)展階段國家的影響可能是異質(zhì)的，低收入國家由于經(jīng)濟規(guī)模、金融體系發(fā)展等相對滯后可能會承擔(dān)更多的風(fēng)險。另一方面也說明國家依據(jù)當(dāng)前國際金融與國內(nèi)金融環(huán)境審慎調(diào)整金融政策與金融開放政策是應(yīng)對金融危機的當(dāng)然舉措。

在上述優(yōu)化模型即式(2)中，可根據(jù)管理決策實際需要，增加一些約束條件，比如，集體合理性條件(或有效性)即x(N)=υ(N)。于是，由式(2)可容易地寫出如下帶有約束條件的數(shù)學(xué)優(yōu)化模型：

(9)

為了求解式(9)，構(gòu)造如下拉格朗日函數(shù)：

其中λ和μ為拉格朗日乘子。

對L(x,λ,μ)分別關(guān)于變量xLj、xRj(j∈S?N)、λ和μ求偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于0，可得：

和

從而可得：

(10)

和

(11)

(12)

eTX′L=υL(N)

(13)

求解方程(12)，可得：

(14)

代入方程(13)，可得：

(15)

根據(jù)式(14)和(15)，可得到：

即，

(16)

用類似方法求解方程組(11)，可得：

(17)

4 實例計算分析

4.1 案例背景及計算

假設(shè)有3家不同的快遞企業(yè)(即局中人)1、2和3均要為某高校配送物品，由于受到市場環(huán)境、油價、人工成本、城市道路狀況等多種因素的影響，快遞企業(yè)無法提前預(yù)知確切的配送收益，只能預(yù)估出大致的收益范圍，即配送所得的收益用閉區(qū)間來表示。若上述3家快遞企業(yè)都選擇單獨對高校進行配送，其期望收益范圍均為10至11萬元，即υ(1)=υ(2)=υ(3)=[10,11]。若快遞企業(yè)開展共同配送，則通過資源整合可以較大的提高收益，具體為：若快遞企業(yè)1和2開展共同配送，則聯(lián)盟{1,2}的收益為υ({1,2})=[28,32]；若快遞企業(yè)1和3開展共同配送，則聯(lián)盟{1,3}的收益為υ({1,3})=[30,38]；若快遞企業(yè)2和3開展共同配送，則聯(lián)盟{2,3}的收益為υ({2,3})=[25,28]；若3家快遞企業(yè)一同合作開展共同配送，則收益可大大提高，即最大聯(lián)盟N={1,2,3}的收益為υ({1,2,3})=[45,50]。

對于參與共同配送的3家快遞企業(yè)來說，都不希望自己參加大聯(lián)盟后所獲得的收益比單干或彼此之間形成子聯(lián)盟時獲得的聯(lián)盟收益少太多，這將降低甚至破壞他們參與大聯(lián)盟的積極性；反之，參與大聯(lián)盟的任何一家快遞企業(yè)也絕不希望看到其他兩家快遞企業(yè)因為參與了大聯(lián)盟，所分配得到的收益比其單干或形成子聯(lián)盟時獲得的聯(lián)盟收益高太多，這也將影響其加入大聯(lián)盟的積極性。為了平衡這種矛盾，我們希望看到每一家快遞企業(yè)參與大聯(lián)盟后獲得的收益都與其單干或形成子聯(lián)盟時獲得的聯(lián)盟收益盡可能的接近，這不失為一種公平、合理的利益分配方案。為此，利用公式(7)和(8)對大聯(lián)盟獲得的收益進行分配。

將上面的相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(7)和(8)，可得：

即，快遞企業(yè)(即局中人)1、2和3得到的分配值分別為：

x1=[xL1,xR1]=[15.1,18.1],x2=[xL2,xR2]=[12.6,13.1],x3=[xL3,xR3]=[13.6,16.1]。

因此，快遞企業(yè)1從合作中可以期望得到的收益在15.1至18.1萬元之間；快遞企業(yè)2從合作中可以期望得到的收益在12.6至13.1萬元之間；快遞企業(yè)3從合作中可以期望得到的收益在13.6至16.1萬元之間。顯然，3家快遞企業(yè)通過合作均可獲得更多的收益。

若考慮集體合理性(即有效性)條件，則利用式(16)和(17)，可得：

于是，快遞企業(yè)(即局中人)1、2和3所得的分配值分別為：

這樣，快遞企業(yè)1從合作中可以期望得到的收益在16.3至19.0萬元之間；快遞企業(yè)2從合作中可以期望得到的收益在13.8至14.0萬元之間；快遞企業(yè)3從合作中可以期望得到的收益在14.8至17.0萬元之間。因此，3家快遞企業(yè)通過合作均可獲得更多的收益，且3家快遞企業(yè)從最大聯(lián)盟中分配得到的收益的上限之和與下限之和與最大聯(lián)盟收益的上、下限分別相等，即所有的收益均分配完畢。

為驗證本文所提出模型與方法的正確性及可靠性，用Lingo軟件對上述實例進行求解，所得結(jié)果與利用式(7)和(8)(或式(16)和(17))求得的結(jié)果完全一致，有興趣的讀者可自行驗證。

4.2 與現(xiàn)有方法的比較分析

(1)求解方法復(fù)雜性和計算量方面的優(yōu)勢。利用于曉輝等[16]中的方法，為求得各個局中人的收益分配，需要分別對每個局中人進行求解，工作量大、計算過程重復(fù)且繁瑣；利用本文提出的方法，只需代入一次數(shù)據(jù)，即可同時得到最大聯(lián)盟(或子聯(lián)盟)中所有局中人的收益分配。

(2)應(yīng)用范圍方面的優(yōu)勢。利用于曉輝等[16]中的方法，局中人所得區(qū)間值收益的上限和下限之和分別為234/6和56，與最大聯(lián)盟的區(qū)間值收益[45,50]相比有較大偏差，不滿足集體合理性(或有效性)條件即x(N)=υ(N)；利用本文提出的方法(式(16)和(17))，局中人所得區(qū)間值收益的上限和下限之和分別為45和50，與最大聯(lián)盟的區(qū)間值收益[45,50]的上、下限一致，即滿足集體合理性(或有效性)，也即最大聯(lián)盟的收益被完全充分地分配。換句話說，當(dāng)參與合作的局中人不希望聯(lián)盟在收益分配過程中出現(xiàn)“空頭支票”或聯(lián)盟收益還有剩余時，用本文提出的方法比于曉輝等[16]中方法更加合理。此外，由于于曉輝等[16]所提方法運用了區(qū)間值減法運算，當(dāng)用區(qū)間值來表示的聯(lián)盟特征值υ(S)=[υL(S),υR(S)](S?N)覆蓋υ(Si)=[υL(Si),υR(Si)](i∈S,S?N)，即υL(Si)≤υL(S)≤υR(Si)時，極易出現(xiàn)局中人參加聯(lián)盟后所分配得到的收益為負值或比單干時候獲得的收益更少的情形，這顯然不合理。在這種情況下，用本文所提方法進行合作收益的分配顯得更為有效和實用。準確、具體地說，于曉輝等[16]的方法只適用于求解一類具有聯(lián)盟大小單調(diào)性(SizeMonotonicity)的區(qū)間值合作對策[7]，即區(qū)間值聯(lián)盟特征函數(shù)滿足條件：υR(S)-υL(S)≥υR(Si)-υL(Si)(i∈S,S?N)，而本文方法適用于求解包括具有聯(lián)盟大小單調(diào)性的區(qū)間值合作對策在內(nèi)的任意區(qū)間值合作對策，即不要求區(qū)間值合作對策具有任何附加的約束條件。

(3)求解結(jié)果合理性方面的優(yōu)勢。利用于曉輝等[16]中的方法，局中人所得區(qū)間值收益的范圍最大為6.2，且均大于5；利用本文提出的方法，局中人所得區(qū)間值收益的范圍最大為3，最小為0.2，有效地降低了分配結(jié)果的不確定性。

5 結(jié)語

針對區(qū)間值合作對策問題，本文利用最小平方法和區(qū)間值距離概念，構(gòu)建最小平方優(yōu)化模型，并導(dǎo)出局中人區(qū)間值分配值的解析公式。文中方法原理簡單、計算量小，并且由于計算過程中未直接使用區(qū)間值的減法運算，可有效地避免區(qū)間值減法帶來的局中人分配值不確定性放大以及局中人分配值可能為負值等不合理問題，可為區(qū)間值合作對策問題提供一種新的有效解決途徑，有望在更多的經(jīng)濟、社會、管理等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。

然而，從實例計算結(jié)果可以看出，利用式(9)求得的局中人分配結(jié)果雖然滿足集體合理性條件，但卻沒有完全滿足聯(lián)盟合理性條件。比如，廠商(即局中人)1與3最終獲得的區(qū)間值分配值(即收益)的上界之和(36萬元)小于他們組成聯(lián)盟{1,3}時獲得的區(qū)間值聯(lián)盟值的上界(38萬元)，導(dǎo)致廠商1與3組成的聯(lián)盟{1,3}會有分裂的動機，從而影響最大聯(lián)盟的穩(wěn)定性。當(dāng)然，這樣的問題在Branzei等[3,6]，Han Weibin[5],Alparslan等[7]，Mallozzi等[8]和于曉輝等[16]類似方法中同樣存在。因此，能否像核心(Core)一樣，在式(2)(或式(9))中同時考慮個體合理性、聯(lián)盟合理性和集體合理性等約束條件，并導(dǎo)出類似于式(7)和(8)(或式(16)和(17))的局中人分配值(解析公式)將是今后研究的一個重要內(nèi)容。

[1] 李登峰.模糊多目標多人決策與對策[M].北京:國防工業(yè)出版社,2003.

[2] Li Dengfeng. Lexicographic method for matrix games with payoffs of triangular fuzzy numbers[J]. International Journal of Uncertainty, Fuzziness and Knowledge-Based Systems, 2008, 16(3): 371-389.

[3] Branzei R, Branzei O, Alparslan G?k S Z, et al. Cooperative interval games: A survey[J]. Central European Journal of Operations Research, 2010, 18(3): 397-411.

[4] 李登峰.直覺模糊集決策與對策分析方法[M].北京:國防工業(yè)出版社,2012.

[5] Han Weibin, Sun Hao, Xu Genjiu. A new approach of cooperative interval games: The interval core and Shapley value revisited[J]. Operations Research Letters, 2012, 40(6): 462-468.

[6] Branzei R, Dimitrov D, Tijs S. Shapley- like values for interval bankruptcy games[J]. Economics Bulletin, 2003, 3(8): 1-8.

[7] Alparslan G?k S Z, Branzei R, Tijs S. The interval Shapley value: An axiomaticzation[J]. Central European Journal of Operations Research, 2010, 18(2): 131-140.

[8] Mallozzi L, Scalzo V, Tijs S. Fuzzy interval cooperative games[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2011, 165(1): 98-105.

[9] Alparslan G?k S Z, Miquel S, Tijs S. Cooperation under interval uncertainty [J]. Mathematical Methods of Operational Research, 2009, 69(1): 99-109.

[10] Branzei R, Alparslan G?k S Z, Branzei O. Cooperation games under interval uncertainty: On the convexity of the interval undominated cores[J]. Central European Journal of Operations Research, 2011, 19(4): 523-532.

[11] Yu Xiaohui, Zhang Qiang. An extension of cooperative fuzzy games[J]. Fuzzy Sets and Systems, 2010, 161(11): 1614-1634.

[12] Alparslan G?k S Z, Branzei O, Branzei R, et al. Set-valued solution concepts using interval-type payoffs for interval games[J]. Journal of Mathematical Econo- mics, 2011, 47(4-5): 621-626.

[13] Li Dengfeng. Linear programming approach to solve interval-valued matrix games[J]. Omega, 2011, 39(6): 655-666.

[14] Li Dengfeng. Models and methods of interval-valued cooperative games in economic management[M].Switzerland:Springer, 2014.

[15] Moore R E. Methods and applications of interval analysis[M]. SIAM: Studies for Industrial and Applied Mathematics, 1979.

[16] 于曉輝,張強.模糊合作對策的區(qū)間Shapley值[J].中國管理科學(xué),2007,(Z1):76-80.

Models and Method of Interval-valued Cooperative Games Based on the Least Square Distance

LI Deng-feng1， LIU Jia-cai1,2

(1.School of Economics and Management, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China；2.School of Traffic and Civil Engineering, Fujian Agriculture and Forestry University, Fuzhou 350002, China)

interval-valued cooperative game; least square method; loss function; dispatch coalition; mathematical programming

1003-207(2016)07-0135-08

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.07.016

2014-12-24；

2015-10-20

國家自然科學(xué)基金重點項目(71231003)；國家自然科學(xué)基金資助項目(71171055)；高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助課題(20113514110009)；福建省社會科學(xué)規(guī)劃項目(2013C024)；福建省教育廳科技項目(JA13122)

李登峰(1965-)，男(漢族)，廣西博白人，福州大學(xué)經(jīng)濟與管理學(xué)院教授，博導(dǎo)，研究方向：經(jīng)濟管理決策與對策(博弈),E-mail:lidengfeng@fzu.edu.cn.

O

A