◇周衛(wèi)東

一節(jié)“準、深、透、高”的數(shù)學課
——評張齊華老師“解決問題的策略——一一列舉”一課

◇周衛(wèi)東

聽齊華的課，是一種享受。能為他的課作些點評，是我樂意做的！

蘇教版教材從第二學段開始，每一冊都編排了“解決問題的策略”，目的是讓學生把解決問題的一些具體經(jīng)驗上升為數(shù)學思考，不斷增強運用策略解決問題的有效性和自覺性，進一步提高解決問題的能力，不斷積累數(shù)學活動經(jīng)驗,滲透初步的數(shù)學思想,發(fā)展實踐能力與創(chuàng)新精神。齊華關于 “解決問題的策略——一一列舉”一課的教學，正是在深刻洞悉教學內容意蘊的基礎上，實現(xiàn)著符合自身教學追求和風格的一種完美呈現(xiàn)。細細品味，這是一節(jié)“準、深、透、高”的數(shù)學課。

一 準，關注策略機理的形成過程

美國著名的數(shù)學教育家赫斯認為：“數(shù)學教學的問題并不在于尋找最好的教學方式，而在于明白數(shù)學是什么，如果不正視數(shù)學的本質問題，便永遠解決不了教學上的爭議。”數(shù)學知識的本質既表現(xiàn)為隱藏在客觀事物背后的數(shù)學知識、數(shù)學規(guī)律，又表現(xiàn)為隱藏在數(shù)學知識背后的本質屬性。對策略的體驗與理解,是學生形成解決問題策略的中心環(huán)節(jié)，亦是保底環(huán)節(jié)，必須讓學生充分經(jīng)歷策略機理的形成過程，在“理”上做足文章。在齊華的這節(jié)課中，一方面,重視讓學生探索相關解題策略的思考過程與操作步驟；另一方面，引導學生逐步把握相關策略的主要含義與基本特征，讓學生在充分經(jīng)歷應用相關策略解決問題的探索過程中,獲得對解決問題策略的直觀感受,并形成初步的理性認識,逐步完成對策略的自主建構。為幫助學生理解“一一列舉”的策略機理，首先，齊華安排學生進行前置性研究，給予學生充裕的時間和空間進行探索，以獲得充分的感性認識和活動經(jīng)驗；然后在課堂上對“木條多余”“利用圍墻”“添加支架”等原生態(tài)錯例進行剖析，并加以提煉和升華，幫助學生建立起“吃透、吃準有用信息是建構策略的前提”的心理基礎，進而通過算式、列表、畫圖等途徑，從計算周長的維度找到問題的答案；最后，再從計算面積的維度反證 “王大伯的任務不可能實現(xiàn)”的推想。三大環(huán)節(jié)正推反證，逐層推進，形成了強大的“思維場”，促進了學生對策略機理的深度理解，進而實現(xiàn)對知識的有效建構。

二 深，關注數(shù)學思想的有機滲透

對“解決問題的策略”的教學，許多教師把教學目標定位于引導學生“如何列舉”“如何畫圖”等具體方法，而忽視對課程標準中關于 “體會策略的價值”“增強學生使用策略的意識”的教學建議和要求。其實，解決問題的策略不僅僅對應的是某一種具體的方法，其背后蘊涵著豐富的數(shù)學思想方法。如，畫圖，蘊涵數(shù)形結合的思想和具體畫圖的方法；倒推，蘊涵過程或者運算的可逆性思想以及相應的互逆思想；替換，蘊涵過程中不變量的思想和相對應的等量關系……

在齊華看來，方法、策略、思想是三個遞進的層次，數(shù)學方法上升到一定的高度形成策略，數(shù)學策略的進一步凝練形成了數(shù)學思想，而數(shù)學思想則是數(shù)學學科的核心元素。眼界決定境界，高度決定力度，因而，齊華的數(shù)學課總是因充滿著濃濃的“思想味”而煥發(fā)出無窮的張力。在本課中，圍繞“周長是22米”這一條件，讓學生對各種可能的方法進行排序，突出“有序”“一一列舉”，滲透了分類思想；把各種周長等于22米的算式與相應的圖形進行匹配，讓學生感受一道算式對應著一個長方形，滲透了對應的思想；對各種可能的算式進行排序后再進行對比，得出“一個加數(shù)在依次增大，另一個加數(shù)在依次減小，而兩個加數(shù)的和是不變的”的結論，滲透了“變與不變”的思想；在第一個學生回答“如果長是7米、寬是4米，面積不等于20平方米，所以王大伯的愿望不可能實現(xiàn)”的結論后，引導學生萌發(fā)“你只舉了一個例子是不能說明問題的，因為周長是22米的長方形有好幾種，萬一另外有一種長方形的面積正好是20平方米呢”的辯證思想，形成了初步的邏輯推理、科學歸納的啟蒙意識。

三 透，關注知識教學的隱性價值

齊華深知，每一種策略都具有戰(zhàn)略性的思想價值，也就是說，它背后有著更強大的現(xiàn)實意義和運用意義。因而他倡導：學習每一種策略，都要力求揭示這種策略的價值和意義，不僅讓學生了解到運用一些策略能夠解決一些典型的問題，而且力求找尋知識的“附加值”，尋找知識的隱性教學功能，帶領學生體會那種登高遠眺、“一覽眾山小”的快感。

教材中的例題是：“王大叔用22根1米長的木條圍成一個長方形花圃，怎樣圍面積最大？”齊華把它改編成：“王大伯想用22根1米長的木條，圍一個面積是20平方米的長方形花圃。如果22根木條要全部用完，而且不能折斷，你覺得他能完成這一任務嗎？”文字變化似乎不大，但細細琢磨，深感意蘊無窮。稍稍改動，使例題有了較大的“增值”空間，為學生思維的自由馳騁、知識之間的溝通創(chuàng)造了更多的可能。原本的例題，只要在周長維度上實現(xiàn)列舉，就能找到面積最大的一種情況，而改編后的問題，不僅具有原來的功能，而且可以從面積的維度來反證列舉的各種可能；原本的例題，以直白的求解的姿態(tài)呈現(xiàn)，而改編后的問題，以“你覺得他能完成這一任務嗎”這種“判斷式”的方式呈現(xiàn)，又使思考、求解的路徑多了許多；原本的例題帶來的只有“周長一定，面積在變化”的規(guī)律，而改編后的例題，除此之外還多了“面積一定，周長在變化”的規(guī)律。

在練習階段，齊華精心設計了“兩枚硬幣同時拋起，落地后，會出現(xiàn)幾種不同的情況”這一問題，題目雖短卻掀起 “軒然大波”：究竟是正正、反反和一正一反3種情況，還是正正、反反、正反和反正4種情況呢？正反與反正是1種情況還是2種情況呢？再次“撩”起學生的興趣和探求欲，并進而在實驗操作中達成了共識：兩枚硬幣落下后，正反與反正不是一回事，而是兩回事。這樣的訓練，使學生在鞏固應用了“一一列舉”策略的同時，更為深刻地理解了在 “一一列舉”中可能涉及的概率問題。

這樣的設計，不是奔著理解某個知識點或找到一種解決問題方法的單一目標 “匆匆而去”，而是具有“慢慢走，欣賞啊”的從容心態(tài)，有著更為宏觀的學科視野。

四 高，關注教學方式的根本改變

對于課堂教學狀況，數(shù)學教育家弗賴登塔爾曾戲稱：“每一個人都在睡覺，僅有一個人在講，這種狀態(tài)就是教學?！蔽阌怪M言，當前的數(shù)學課走進了一個怪圈，要走出這個怪圈，需要勇氣，需要才氣，更需要底氣。這方面，齊華做到了：“齊華義無反顧地轉身了，如果他不轉，我們就欣賞不到今天這么精彩的課了。你看，齊華都把課堂還給學生了，我們還死死把控著課堂的每個環(huán)節(jié)，何苦呢？ ”[陳洪杰，《小學教學（數(shù)學版）》2016年第1期]

在這節(jié)課中，齊華“訥于言而敏于行”，話真的很少，沒有了我們所習慣且嘆為觀止的“齊華式”語言，而更多的是一些提示性的、啟發(fā)式的、鼓勵式的提示語。齊華很善于“造勢”，讓學生主動出擊，充分表達各自的所思所想，并“順其勢而改其路，四兩撥千斤”。這種相機穿插于學生自主學習過程中的引導，把握方向性，具備整體觀，做到服務學生的學，促進學生的學，而不是遮蔽學生的學、替代學生的學。

美國經(jīng)濟學界和政界劃時代的學者約翰·肯尼思·加爾布雷有一句名言：“當人們證明改變思想和沒有必要改變思想的選擇時，人人都忙著證明后者。”是的，思想的改變是行動改變的前提。齊華課堂的改變，讓我們承認，學習在本質上是學生自己的事情，教學所應發(fā)揮的作用應該是幫助、促進和催生，而不是替代；讓我們承認，教學促進學生的可持續(xù)發(fā)展，興趣和好奇心、方法和能力對學習力的培養(yǎng)至關重要；讓我們承認，學習不只是知識的累積，更是自我的完善與創(chuàng)造。只有會學習、會思考、會探索，愛提問、愛溝通、愛合作、善交流，學生的靈性才能得到舒展，智慧才能得到綻放。

（作者單位：江蘇南京市長江路小學）