◇鄭毓信

“課例研究”的一個(gè)實(shí)例：數(shù)學(xué)思維的教學(xué)
——“‘課例研究’之思考與實(shí)踐”系列之二（下）

◇鄭毓信

(上接2016年第5期第7頁）

三、與變化相關(guān)的若干數(shù)學(xué)思想

與“聯(lián)系的觀點(diǎn)”一樣，“變化的觀點(diǎn)”作為現(xiàn)實(shí)生活中最常用的思想方法之一在數(shù)學(xué)中也有十分廣泛的應(yīng)用。當(dāng)然，它也有一些特殊的含義與用法，以下就借助具體課例進(jìn)行說明。

首先，研究對象由常量向變量的轉(zhuǎn)變就可以看成由 “初等數(shù)學(xué)”過渡到“變量數(shù)學(xué)”的主要標(biāo)志。另外，盡管“變量數(shù)學(xué)”的主要內(nèi)容，特別是微積分理論，已經(jīng)超出了小學(xué)數(shù)學(xué)的范圍，但是仍然可以看到相關(guān)數(shù)學(xué)思想的滲透。

具體地說，如果說“函數(shù)”這一概念集中地表明了我們應(yīng)當(dāng)注意研究不同變量之間的關(guān)系，那么，“比”的概念就具體地體現(xiàn)了這一數(shù)學(xué)思想，我們應(yīng)努力尋找“變化中的不變成分”，其本身也可被看成一種最為簡單的函數(shù)——正比例函數(shù)。

也正因如此，與主要致力于創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，即突出“比”這一概念與實(shí)際生活的聯(lián)系相比較，在這一內(nèi)容的教學(xué)中就應(yīng)更加突出其所反映的研究視角，即集中于 “變化中的不變成分”。例如，從上述角度去分析，許衛(wèi)兵老師以“蜜茶的配制方法”引入“比”顯然就是較為恰當(dāng)?shù)腫5]，特別是，教學(xué)中他將學(xué)生的注意力引向這樣一個(gè)問題：“蜂蜜的量在變，水的量也在變，為什么配制出的蜜茶依然‘甜味適中，味道很好’？”另外，盡管我們在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生很好地認(rèn)識比、除法與分?jǐn)?shù)這三者之間的對等關(guān)系，但同時(shí)應(yīng)清楚地指明它們各自的特點(diǎn)和適用范圍，包括相應(yīng)的研究視角。（對此可見參考文獻(xiàn)[7]）

由以下分析我們可以更好地理解“尋找變化中的不變成分”對于數(shù)學(xué)研究的特殊重要性：它不僅可以看成“找規(guī)律”活動的基本立足點(diǎn)，也直接體現(xiàn)了由實(shí)例抽象出一般性概念的本質(zhì)，盡管這時(shí)我們所使用的是“規(guī)律”“本質(zhì)”等詞語，而不是“變”與“不變”等概念。

另外，事實(shí)上“尋找變化中的不變成分”也可以看成“變式理論”的核心所在。例如，徐斌老師關(guān)于“分?jǐn)?shù)乘法實(shí)際問題”的教學(xué)設(shè)計(jì)[5]就可被看成“過程式變式”的具體應(yīng)用，即我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^相關(guān)情境，特別是條件與所要解決問題的變化（包括同一問題的不同解法），幫助學(xué)生較好地掌握一類問題的共同特點(diǎn)（以及不同問題之間的聯(lián)系），即由不同實(shí)例抽象出相應(yīng)的模式，從而以此為基礎(chǔ)更為有效地解決更多的問題［以下就是變式理論中關(guān)于“過程式變式”的具體論述：“構(gòu)建特定經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)的變式 （即過程能力）來自問題解決的三個(gè)維度：（1）改變某一問題。改變初始問題成為一個(gè)鋪墊，或者通過改變條件、改變結(jié)論和推廣來拓展初始問題。（2）把同一個(gè)問題的不同解決過程作為變式，形成一個(gè)問題的多種解決方法，從而聯(lián)結(jié)各種不同的解決方法。（3）同一方法解決多種問題，將某種特定方法用于解決一類相似的問題。”[7]］——顯然，這也就更為清楚地表明了上述思想的方法論意義。

以下就是徐斌老師在自己的課例中所提到的一些問題（為方便起見，筆者作了適當(dāng)簡化）：

（1）嶺南小學(xué)六年級有 45個(gè)同學(xué)參加學(xué)校運(yùn)動會，其中男運(yùn)動員占，男運(yùn)動員有多少人？（原來的問題是：“由所給出的條件，你能知道什么？”）

（2）在上述問題中，女運(yùn)動員有多少人？（教師在課堂上所提的問題是：“要求女運(yùn)動員有多少人，可以先求什么？”由于這時(shí)存在三種不同的解法，教師在課堂上又追問道：“這三種解法有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？”）

（6）蘇州園科文中心上映電影，共有300張票，____。還剩多少張票沒賣完？（請補(bǔ)充條件，并列式解答）

（7）陽澄湖蟹莊計(jì)劃銷售蟹1400千克，結(jié)果第一個(gè)月銷售了計(jì)劃的，第二個(gè)月銷售了計(jì)劃的， ？（請自主補(bǔ)充問題，并列式）

除“尋找變化中的不變成分”外，以下也是與變化直接有關(guān)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)思想：如果變化中不存在不變成分，這時(shí)我們往往就應(yīng)根據(jù)需要在可能的變化中找出最佳的選擇——從數(shù)學(xué)的角度看，這也就是所謂的“極值問題”。

例如，從上述角度分析，我們顯然也就能更好地理解劉德武老師的課例——體積的問題[5]。

在這節(jié)課上，劉老師首先對相關(guān)知識進(jìn)行了回顧：“這兒有一個(gè)沒有蓋兒的長方體紙盒，如果讓你求它的體積，怎么計(jì)算？”然后，通過將任務(wù)轉(zhuǎn)化成“將一張長方形紙剪拼成一個(gè)長方體，并計(jì)算長方體的體積”，教師又提出了這樣一個(gè)問題：就這樣的情況，你能不能大膽地提出一個(gè)與它的體積有關(guān)的問題？再者，通過條件的適當(dāng)變化，如將“在四個(gè)角上分別剪去一個(gè)邊長為4厘米的正方形”改為“在四個(gè)角上分別剪去一個(gè)邊長為2厘米的正方形”，并進(jìn)一步思考“體積會怎樣？會變大、變小，還是不變”，教師又將學(xué)生的注意力引向了這樣一個(gè)問題：“誰愿意大膽地猜猜看，怎樣剪所得出的長方體體積最大？”由此可見，盡管教師在這一教學(xué)活動中并沒有明確提出所謂的“極值問題”，但相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)很好地體現(xiàn)了上述數(shù)學(xué)思想。

四、數(shù)學(xué)抽象的建構(gòu)性質(zhì)與反思性質(zhì)

上面已經(jīng)提到了數(shù)學(xué)抽象的建構(gòu)性質(zhì)，這就是指，數(shù)學(xué)并不是對客觀事物或現(xiàn)象量性特征的直接研究；恰恰相反，即使在具有明顯現(xiàn)實(shí)原型的情況下，數(shù)學(xué)抽象也是一種“重新建構(gòu)”的活動，我們應(yīng)當(dāng)把這種建構(gòu)活動的產(chǎn)物作為直接的研究對象。

應(yīng)當(dāng)指出的是，從上述角度去分析，我們也就可以清楚地看出在“抽象的思想”與“分類的思想”之間所存在的重要區(qū)別（從而，我們事實(shí)上也就不應(yīng)將“分類的思想”簡單地歸屬于“數(shù)學(xué)抽象的思想”，盡管在很多情況下適當(dāng)?shù)某橄蟮拇_為準(zhǔn)確、有效地進(jìn)行分類提供了必要準(zhǔn)則）：盡管“分類”為由各個(gè)特例抽象出一般性概念提供了直接基礎(chǔ)，但這畢竟不應(yīng)等同于具體的抽象活動，因?yàn)槲覀兯P(guān)注的只是依據(jù)對象的某些特征將其區(qū)分為不同的類別，而并非抽象活動本身。

還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)抽象的建構(gòu)性質(zhì)還直接關(guān)系到一種十分重要的數(shù)學(xué)思想：客體化與結(jié)構(gòu)化的思想?？腕w化思想是指，盡管數(shù)學(xué)概念只是抽象思維的產(chǎn)物，而非現(xiàn)實(shí)世界中的真實(shí)存在，但是，由于它是借助于明確的定義（包括“顯定義”和“隱定義”）得到建構(gòu)的，而且在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)研究中，我們只能依靠定義和相應(yīng)的規(guī)則去進(jìn)行推理，而不能求助于直觀，因此，盡管某些數(shù)學(xué)概念在最初很可能只是少數(shù)人的“發(fā)明創(chuàng)造”，但是，一旦這些對象得到了建構(gòu)，它們就立即獲得了確定的客觀意義，或者說，這時(shí)我們必須將此看成完全不依賴于思維的獨(dú)立存在。我們還可以在更高的層面上去論及數(shù)學(xué)研究的“客觀性”：數(shù)學(xué)對象主要應(yīng)被看成一種“文化物”。正如著名數(shù)學(xué)家波萊爾所指出的：“凡屬文明或文化上的所有事物，我們往往假定了它們的存在，因?yàn)樗鼈兪俏覀兒蛣e人共有的東西，我們可以就它們互相交流思想。有些東西，只要我們相信在別人的頭腦里和自己的頭腦里都是以同樣的形式存在的，我們可以一起來考慮和討論，那么它就成為客觀事物（而不是‘主觀’事物）了?！盵8]進(jìn)而，正因?yàn)閿?shù)學(xué)對象是明確定義的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)結(jié)論又是按照相應(yīng)的定義與給定的推理規(guī)則進(jìn)行推理的結(jié)果，所以數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)就完全反映了它們的相互關(guān)系。也就是說，數(shù)學(xué)對象的建構(gòu)事實(shí)上是一種整體性的活動，或者說，數(shù)學(xué)對象并非各個(gè)孤立的對象，而是整體性的結(jié)構(gòu)——這也就是“結(jié)構(gòu)化思想”的基本含義。

顯然，按照上述分析，我們可以引出這樣一個(gè)結(jié)論：盡管小學(xué)幾何與算術(shù)的教學(xué)存在重要的區(qū)別，算術(shù)的學(xué)習(xí)主要可以歸結(jié)為數(shù)的認(rèn)識與運(yùn)算，幾何的學(xué)習(xí)則主要集中于圖形的認(rèn)識以及如何去求得它們的量性屬性（如周長、面積、體積），但在兩者的教學(xué)中我們又都應(yīng)當(dāng)突出 “客體化與結(jié)構(gòu)化”這一數(shù)學(xué)思想，因?yàn)闊o論是算術(shù)還是幾何的研究對象，它們都是抽象思維的產(chǎn)物。

這也就為現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常出現(xiàn)的以下錯(cuò)誤提供了直接解釋，即這主要是因?yàn)閷W(xué)生還沒有習(xí)慣于將分?jǐn)?shù)看成獨(dú)立的對象，并從純粹的數(shù)量比較這一角度研究它們的相互關(guān)系：“未必比大，因?yàn)楹芸赡苁侵改骋惠^小整體的，而可能是另一很大整體的?！睆耐唤嵌确治?，我們顯然又可看出，所謂的“無量綱性”并不能被看成分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征，因?yàn)槿绻覀兪冀K未能超越其現(xiàn)實(shí)原型并從純粹的數(shù)量比較這一角度去從事研究，那么，即使就最簡單的自然數(shù)的認(rèn)識而言，我們也可能陷入同樣的誤區(qū)，比如認(rèn)為：“2未必比3小，因?yàn)檫@里所說的‘2’可能指‘2 個(gè)十’，相應(yīng)的‘3’則可能指‘3個(gè)一’?！?/p>

另外，數(shù)學(xué)抽象的又一重要特征是：數(shù)學(xué)抽象具有無限的發(fā)展可能性，它主要表現(xiàn)為特殊與一般的辯證運(yùn)動。具體地，如果說 “由特殊上升到一般”可被看成“抽象”最為基本的含義，那么，數(shù)學(xué)中的抽象就不僅是指這樣一種含義（對此可稱為“弱抽象”），而且也包括相反方向上的運(yùn)動，即我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^引入新的特征強(qiáng)化原型以完成新的抽象（這就是所謂的“強(qiáng)抽象”）。例如，梯形、平行四邊形和長方形等概念可以看成是以四邊形為原型并通過依次引入 “一組對邊互相平行”“兩組對邊互相平行”“一個(gè)角是直角”等條件所逐步生成的。

應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，在弱抽象與強(qiáng)抽象之間存在著互相依賴、相互促進(jìn)的重要聯(lián)系。例如，著名的法國布爾巴基學(xué)派首先就是以某些基本的數(shù)學(xué)理論（自然數(shù)理論、實(shí)數(shù)理論等）為原型，通過弱抽象獲得了“代數(shù)結(jié)構(gòu)”“序結(jié)構(gòu)”“拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”這三種基本的“母結(jié)構(gòu)”；然后，以此為基礎(chǔ)，他們又通過強(qiáng)抽象構(gòu)造出了各種各樣的“子結(jié)構(gòu)”——這樣，通過弱抽象與強(qiáng)抽象的綜合運(yùn)用，我們最終獲得了一個(gè)無限豐富但又井然有序的數(shù)學(xué)世界。

以上我們主要是以一些具體課例為背景引出了若干較為重要的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是，盡管這些課例在很多方面都為相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)提供了直接的范例，但我們的分析顯然已超出這一范圍而上升到了更高的高度，或者說真正做到了“小中見大”，從而，也就為“課例研究的必要發(fā)展”提供了一個(gè)實(shí)例。

[5]方運(yùn)加.品課·小學(xué)數(shù)學(xué)卷001[M].北京：教育科學(xué)出版社，2013：165-200；127-143；43-63.

[7]顧冷沅，等.變式教學(xué)：促進(jìn)有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式[J].云南教育（中學(xué)教師），2007（3）：25-28.

[8]鄧東阜，等.數(shù)學(xué)與文化[M].北京：北京大學(xué)出版社，1990：149.

（作者系南京大學(xué)哲學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，本刊顧問）