胡金華

【摘 要】數(shù)學(xué)方法是科學(xué)方法中重要的一種，它不僅被物理學(xué)廣泛應(yīng)用，而且也成為其它眾多自然學(xué)科的重要方法。高中物理電磁學(xué)內(nèi)容多、難度大，且在高考理綜考試中所占比重較大，這些內(nèi)容涉及到的試題經(jīng)常要用到一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，那么如果能夠靈活運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法來處理電磁學(xué)問題，將能起到事半功倍的效果。本文就這個(gè)問題談?wù)労瘮?shù)法、不等式法、圖象法及幾何法等在高中物理電磁學(xué)中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)方法；高中物理；電磁學(xué)

1.引言

國家高考物理科考試大綱明確提出考生應(yīng)具備的第四種能力“應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力：能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論，能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖像進(jìn)行表達(dá)、分析”，這里所要考查的就是要有靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的能力。所謂數(shù)學(xué)方法，就是在科學(xué)技術(shù)工作中，把客觀事物的狀態(tài)關(guān)系和過程用數(shù)學(xué)語言表達(dá)出來，進(jìn)行推導(dǎo)、演算和分析，以形成對(duì)問題的判斷、解釋和預(yù)言的方法。下面就以電磁學(xué)為例談?wù)剮追N數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)中的應(yīng)用。

2.函數(shù)法

在電磁學(xué)問題中，經(jīng)常需要確定兩個(gè)物理量間的變化所對(duì)應(yīng)關(guān)系（包括極值問題），這就需要利用函數(shù)思想來完成，同時(shí)函數(shù)也是進(jìn)行物理推導(dǎo)判斷的重要數(shù)學(xué)工具。在高中物理電磁學(xué)中主要用到的是一次函數(shù)、一元二次函數(shù)和三角函數(shù)。

2.1一次函數(shù)的應(yīng)用

在電磁學(xué)問題中用到的一次函數(shù)有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函數(shù)y=ax描述的是y與x之間呈線性關(guān)系，比如在靜電場(chǎng)中討論F與E、U與d、Q與U等兩個(gè)量間的關(guān)系用的就是這種函數(shù)。

觀察函數(shù)y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不難發(fā)現(xiàn)，分子分母都有未知量x（自變量），如果x增加（減小），則分子、分母都同時(shí)增加（減?。@樣無法確定因變量y的變化情況。但是如果把分子、分母都同時(shí)除以x，函數(shù)就變?yōu)閥=a/（a+b/x）關(guān)系就非常明朗了，y隨x的增大而增大，y隨x的減小而減小。這種一次函數(shù)在討論閉合電路中路端電壓隨外電阻變化等類似問題中經(jīng)常有用到。

例1：設(shè)一個(gè)閉合電路中，電源電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r，外電路為純電阻電路電阻為R，路端電壓為U外，試討論當(dāng)R發(fā)生變化時(shí)，U外如何變化？

分析與解：這類問題既可用閉合電路歐姆定律E=U外+Ir（間接法，較易，本文不做討論）求解，也可用部分電路歐姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何討論呢？根據(jù)部分電路歐姆定律有U外=IR①，又由閉合電路歐姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），這就轉(zhuǎn)化成了形如一次函數(shù)y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可見U外隨R的增大而增大，隨R的減小而減小。因此當(dāng)外電路斷開即R→∞時(shí)，有U外=E，此為直接測(cè)量法測(cè)電源電動(dòng)勢(shì)的依據(jù)；當(dāng)外電路短路時(shí)即R→0，故。U外=0。

2.2一元二次函數(shù)的應(yīng)用

在處理外電路為純電阻電路中電源輸出功率隨外電路電阻變化規(guī)律以及討論滑動(dòng)變阻器分壓接法電路中■或■示數(shù)變化情況等類似問題，可以把電阻這個(gè)動(dòng)態(tài)變化物理量轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)y=ax2+bx+c形式，將這個(gè)函數(shù)進(jìn)行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可見當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y有最值（4ac-b2）/4a。當(dāng)a>0時(shí)，y有最小值，當(dāng)a<0時(shí)，y有最大值。

例2：如圖1所示，電源電動(dòng)勢(shì)E=6V，內(nèi)阻為r=1？萃，滑動(dòng)變阻器R的總阻值為11？萃，固定電阻R0=3？萃，求當(dāng)滑動(dòng)變阻器從a到b過程中，■的讀數(shù)范圍。

分析與解：令■讀數(shù)I，并設(shè)ap部分電阻為x，則pb部分電阻為11-x，根據(jù)閉合電路歐姆定律及并聯(lián)電路的電流分配關(guān)系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）

可見當(dāng)x=0時(shí)，Imax=0.5A，x=6？萃時(shí)，Imax=0.25A，故■示數(shù)范圍為從0.25A到0.5A連續(xù)變化

3.不等式法

不等式可用在半定量討論、推斷及求解極值問題，如在討論等量同種電荷中垂線上場(chǎng)強(qiáng)大小變化、某些并聯(lián)電路中■或■示數(shù)變化以及在兩大小材料均相同的同種電荷接觸后放回原處過程中庫侖力大小變化問題中，如果條件滿足均可以運(yùn)用重要不等式a+b≥2■（a、b均為正數(shù)）或a+b+c≥33■討論最值：當(dāng)和有定值，則積有最大值；反之當(dāng)積有定值，則和有最小值。

例3.如圖3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑動(dòng)變阻器的最大值R3=5？萃，則當(dāng)滑動(dòng)片P從a滑到b過程中，電流表示數(shù)的最小值為多少？

分析與解：由閉合電路歐姆定律可知電流表示數(shù)有最小值時(shí)，外電路電阻有最大值，設(shè)ap部分電阻為x，則bp部分為5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化簡(jiǎn)可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故當(dāng)且僅當(dāng)a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃時(shí)ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示數(shù)最小值Imin.=2A。

4.幾何法

在處理靜電場(chǎng)中某帶電體受到庫侖力、重力、拉力等三個(gè)共點(diǎn)力的動(dòng)態(tài)平衡問題時(shí)，如果直接運(yùn)用平衡條件結(jié)合力的分解（正交分解）處理該類問題，過程非常繁瑣，這里可充分運(yùn)用帶電體（質(zhì)點(diǎn)）所受力的矢量三角形與對(duì)應(yīng)另一個(gè)由長(zhǎng)度組成的純標(biāo)量三角形相似，這就是應(yīng)用了平衡條件中相似三角形法，然后根據(jù)題目條件可在短時(shí)間內(nèi)快速準(zhǔn)確解決要討論的問題。

例5：一根絕緣細(xì)線下拴一帶電小球A，細(xì)線上的上端固定在天花板上，在懸點(diǎn)正下方某適當(dāng)位置，固定另一帶同種電荷小球B，A靜止時(shí)，懸線與豎直方向成θ角，如圖6所示?，F(xiàn)緩慢增加B的帶電量使θ角逐漸增大，則有關(guān)A球所受力的變化，下列說法正確的是（ ）

A.懸線的拉力大小不變 B.懸線拉力逐漸增大

C.庫侖力逐漸增大 D.庫侖力大小可能不變

分析與解：設(shè)懸線長(zhǎng)為L(zhǎng)，如圖7所示，掛在細(xì)線下端的小球在重力、細(xì)線拉力和電荷之間的庫侖斥力這三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)。由平衡條件的相似三角形可知：△OAB～△ACD，即L/G=L/F=AB/F，可見細(xì)線的拉力T=G不變，而庫侖力隨著AB的增大而增大。故本題正確答案為AC。

6.結(jié)論

數(shù)學(xué)方法在高中物理電磁學(xué)中應(yīng)用廣泛而且巧妙，本文主要描述了函數(shù)法、不等式法、圖象法及幾何法，但有時(shí)在解決某些復(fù)雜電磁學(xué)問題時(shí)可能要用到上述這些方法中的兩種或兩種以上，甚至還可能用到其它方法如極限法。因此，在解題時(shí)可通過聯(lián)想、數(shù)理結(jié)合、數(shù)形結(jié)合來靈活地選擇合適的數(shù)學(xué)方法來解決電磁學(xué)問題，這將對(duì)提高解決電磁學(xué)問題的能力大有裨益。

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