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第一部分：課堂實(shí)錄

一、課堂引入：用問題激起相應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)活動(dòng).

師：前面我們學(xué)習(xí)過任意角的三角函數(shù)，下面我們通過幾個(gè)問題來檢測(cè)一下大家的掌握情況.

這些問題零散地分布于上一節(jié)內(nèi)容即任意角的三角函數(shù)教材的例習(xí)題之中，比如人教版必修4第12頁例1即求的正弦、余弦和正切值，但教材在處理過程中用了一句非常典型的話：易知∠AOB的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為在這里集中呈現(xiàn)，并不是讓學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)單地重復(fù)，而是讓學(xué)生交流這個(gè)“易知”背后的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，這樣不僅有利于激起對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的回憶，更有利于新的經(jīng)驗(yàn)的產(chǎn)生.

于是在學(xué)生紛紛表明完成并進(jìn)行簡(jiǎn)單的組內(nèi)交流后提出了問題：你是怎么求這些角與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的？

看見學(xué)生還在邊說邊深思，老師決定幫他加上一把火：那它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)之間是什么關(guān)系？它們的坐標(biāo)之間是什么關(guān)系？

生1繼續(xù)：兩個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它們的坐標(biāo)互為相反數(shù).

（眾生皆點(diǎn)頭微笑）那么你們由此可以得出什么樣的關(guān)系式？

除了少數(shù)同學(xué)在得到正切的關(guān)系時(shí)出了點(diǎn)小問題但也在小組交流時(shí)順利得以解決，最后學(xué)生都得到了如下結(jié)果：

師：利用這樣的方法，你還可以求出什么角的三角函數(shù)值？

二、深入探討，將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)推廣到一般化，通過歸納演繹，形成概念.

師：剛才的探討中我們用到了三個(gè)特殊的角，大家有沒有想一下，還有更多的角不可能這么特殊，我們能不能從更一般的角入手研究一下？

生2：剛才我發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)銳角α將其終邊繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)π弧度之后所得到的角，它的三角函數(shù)值與α之間都會(huì)有一定的關(guān)系.

在大家的鼓勵(lì)下他寫出了三個(gè)式子：

sin（π＋α）=-sinα，cos（π＋α）=-cosα，tan（π＋α）=tanα.

大家的掌聲還未落，又一個(gè)學(xué)生舉起了手.

生3：我覺得這里的α不一定要是銳角，對(duì)任何一個(gè)角來說，這三個(gè)式子都成立.

眾生愕愕，但看到老師鼓勵(lì)的眼神，于是都表現(xiàn)出了探索的興趣，紛紛在各小組內(nèi)進(jìn)行熱烈地討論.

隨著討論的進(jìn)行，同學(xué)們的見解逐漸統(tǒng)一，生3的臉上也露出了自信的笑容.這時(shí)卻還有一個(gè)同學(xué)還在低頭默默地在紙上畫著什么，于是老師示意：你還有什么不同的看法，能不能和大家一起分享一下？

生4：我覺得這個(gè)式子好像還可以強(qiáng)化一下.

以生3為代表的相當(dāng)部分同學(xué)頓時(shí)都用一種驚訝的眼神看向了生4.

生4：既然是將角α將其終邊繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，那么不管按什么方向，旋轉(zhuǎn)多少弧度，只要能使得到的角的終邊和α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這三個(gè)式子都應(yīng)該成立！

老師看了一下頓時(shí)安靜下來陷入了思考的同學(xué)們：大家好像都不反對(duì)你的看法，可問題是這樣得到的角與α之間有什么樣的關(guān)系呢？

生4：可以寫為（2k＋1）π＋α，k∈Z（為方便敘述，下面的k都是整數(shù)）.

師：你能把你得到的關(guān)系用等式表達(dá)出來嗎？

生4在黑板上寫出了相應(yīng)的關(guān)系式：

眾生沉思之時(shí)，生5站起來了：我覺得這幾個(gè)式子還可以結(jié)合我們前面學(xué)過的公式一來理解，（2k＋1）π＋α的終邊與π＋α的終邊相同，它們的三角函數(shù)值相等.

這一下其他學(xué)生也都表示了理解，紛紛點(diǎn)起頭并露出了笑容.

師：看來他們兩個(gè)人思考問題的出發(fā)點(diǎn)雖然不一樣，但得到的結(jié)論卻完全一樣.在這個(gè)過程中他們所用到的知識(shí)和方法其實(shí)并不新鮮，都是大家在前面學(xué)習(xí)時(shí)遇到并用過的.所以我們?cè)谔角笮碌闹R(shí)時(shí)不要局限于一種固定的角度，要敢于大膽地去嘗試，很多有趣的東西在我們探索之初我們并不知道一定就會(huì)得到這么美的結(jié)果.

三、橫向聯(lián)系，嘗試運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)并進(jìn)一步積累，強(qiáng)化概念的形成過程.

于是教室內(nèi)在安靜了幾分鐘之后再次陷入熱烈的討論之中，最后兩個(gè)同學(xué)自告奮勇地上前代表他們所在組表述探究成果.

正在學(xué)生分享探索的喜悅時(shí)，老師又提出了問題：這些式子這么美，所以我們的前輩們就稱它們?yōu)檎T導(dǎo)公式.大家能否結(jié)合我們剛才的探索再思考一下：它們可能會(huì)有哪些用途？

生8：我想對(duì)于一個(gè)數(shù)值上很大的角，我們可以利用這些公式來求它的三角函數(shù)值.

生9：我覺得這倒在其次，只是求三角函數(shù)值我們也可以通過三角函數(shù)的定義來求，過程未必會(huì)比這復(fù)雜，我覺得關(guān)鍵還在于可以把一個(gè)數(shù)值上很大的角與一個(gè)銳角的三角函數(shù)值之間產(chǎn)生聯(lián)系.

生10：我覺得這幾組公式還提示了兩個(gè)角的終邊如果關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于x軸對(duì)稱，關(guān)于y軸對(duì)稱的話，就可以找到它們相應(yīng)的三角函數(shù)值之間的關(guān)系.

同學(xué)們興奮地隨著他們的表述或沉思或輕聲附和，這時(shí)老師出示了兩組問題（教材上例題）：下面就請(qǐng)大家用你們的聰明才智來發(fā)揮這幾組公式的用武之地，看看到底在實(shí)際問題中是怎么運(yùn)用的.

四、回顧活動(dòng)過程，在經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用過程中通過抽象概括，形成思想方法.

在各小組紛紛做完練習(xí)并交流之后，老師提問：在剛才的運(yùn)用過程中，大家有什么感受？

生11：這些公式用起來確實(shí)很好，但是九個(gè)公式有點(diǎn)多，容易弄混淆，而且什么時(shí)候用哪個(gè)公式好像也有點(diǎn)麻煩.

師：那么我們有沒有什么辦法讓我們?cè)谟玫倪^程中不那么容易混淆呢？

生12：我是通過畫圖來幫助我記憶運(yùn)用這些公式的.

師：很好.當(dāng)代數(shù)形式遇到困難時(shí)我們就用圖形來幫助，這就叫數(shù)形結(jié)合.

生13：我好像看到了一個(gè)規(guī)律，無論哪一組公式，它們對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)名稱都沒發(fā)生變化，只是符號(hào)上有很多不一樣的地方，好像有點(diǎn)麻煩，暫時(shí)還沒找到規(guī)律.

這時(shí)所有同學(xué)的臉上都露出了笑容，似乎在說，真的是這樣呢.

師：那我們能不能一起來努力看這些個(gè)不同的符號(hào)有什么樣的規(guī)律呢，如果想不清楚，就可以回到我們探索這些公式的過程中去再想一想.

又是一番激烈的交流討論.

生14：任何一個(gè)終邊不在坐標(biāo)軸上的角，其三角函數(shù)值都可以和一個(gè)銳角取得聯(lián)系，它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)名稱不變，符號(hào)就是這個(gè)角所在象限對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值的符號(hào).

看到其他同學(xué)都有些疑惑，老師作了一下溝通：你能不能具體地說一下是什么聯(lián)系？

生14：當(dāng)這個(gè)角是第一象限角時(shí)，它可以寫成2kπ＋α的形式，它的三角函數(shù)值就等于α的三角函數(shù)值；當(dāng)這個(gè)角是第二象限角時(shí)，它可以寫成（2k＋1）π-α的形式，它的三角函數(shù)值在名稱上和α的三角函數(shù)相同，但符號(hào)取決于第二象限角的對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)，比如正弦為正，余弦和正切都為負(fù)；當(dāng)這個(gè)角是第三象限角時(shí)，它可以寫成（2k＋1）π＋α，它的三角函數(shù)值和α的三角函數(shù)相比名稱上沒變，符號(hào)取決于第三象限對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)；當(dāng)這個(gè)角是第四象限角時(shí)，這個(gè)角可以寫成2kπ-α的形式，它的三角函數(shù)值和α的三角函數(shù)相比名稱上沒變，符號(hào)取決于第四象限對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào).

眾生都跟著點(diǎn)頭，并露出了會(huì)心的笑意.

師：很好.這樣具體問題具體分析，把枯燥的公式記憶連同其原理一起理解，形式上相得益彰，效果上事半功倍.可我卻有一個(gè)問題，這里的這個(gè)α一定要是銳角嗎？

同學(xué)們略微作了一下思考，都搖了搖頭：應(yīng)該不一定.但臉上都有些茫然：那該怎么說呢？這時(shí)老師寫了一個(gè)問題：的三角函數(shù)值與的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系呢？

這時(shí)生3再次站了起來：只要一個(gè)角的終邊與α角有一種對(duì)稱關(guān)系，那么不管α角是不是銳角，這些式子都應(yīng)該成立，這個(gè)α角都可以看成一個(gè)銳角，那么對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值名稱上與α的三角函數(shù)值名稱上不變，符號(hào)取決于把α看成一個(gè)銳角時(shí)，2kπ＋α、（2k＋1）π＋α、（2k＋1）πα、2kπ-α所在象限角的三角函數(shù)值的符號(hào).

沉默片刻，教室里爆發(fā)出一陣熱烈的掌聲.

師：讓我們用掌聲我們自己的努力和智慧喝彩！下面我們?cè)倩氐浇滩牡?5頁例2，大家看一看能不能用剛才我們歸納的公式來快速解決問題？

第二部分：課后反思

一、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成需要操作過程，而概念課的教學(xué)，操作的重點(diǎn)在概念的形成、概念的理解和概念的運(yùn)用上.具體到誘導(dǎo)公式來說，在探討誘導(dǎo)公式的過程中，運(yùn)用不同的操作方式讓學(xué)生明白“誘從何來，導(dǎo)出什么”是重中之重，不然無論我們花多大力氣，學(xué)生也不會(huì)明白為什么要學(xué)習(xí)這些公式，這些公式因何而來，為何而用.本節(jié)課在處理這個(gè)操作過程時(shí)借用了任意角的三角函數(shù)特別是三角函數(shù)線的概念中出現(xiàn)的四個(gè)圖（參見人教版必修4第16頁圖1.2.7），發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)象限角，它的三角函數(shù)都和一個(gè)銳角的三角函數(shù)有關(guān)這一已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行探索，很好地讓學(xué)生形成了利用誘導(dǎo)公式可以快速地確定一個(gè)角的三角函數(shù)值的應(yīng)用經(jīng)驗(yàn).

二、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累不可能一蹴而就，需要不斷的積累.一方面，要充分發(fā)揮它在學(xué)習(xí)新知識(shí)方面的積極作用，另一方面還要在相同的、類似的數(shù)學(xué)活動(dòng)中再次積累，直至形成深刻的、豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).本節(jié)課中，我們不斷地從特殊角到一般角，從銳角到看成銳角，借助這些角的終邊與這個(gè)銳角終邊的特殊關(guān)系這一規(guī)律，再到只要兩個(gè)角的終邊具有這樣的對(duì)稱關(guān)系，我們都會(huì)得到這樣的結(jié)構(gòu)形式，從而得到一般化的公式及理解.

三、學(xué)生在概念的探索過程中，會(huì)自發(fā)地去運(yùn)用一些已有的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也能夠直接地獲得一些懵懂、模糊的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，我們有必要對(duì)學(xué)生所經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)通過回顧、反思等內(nèi)在的思考，通過一些邏輯性的檢驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)感性經(jīng)驗(yàn)向理性經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)變，個(gè)人經(jīng)驗(yàn)向?qū)W科的科學(xué)經(jīng)驗(yàn)升級(jí).本節(jié)課中，公式的探討到什么程度為止，課前并沒有預(yù)設(shè)，但隨著學(xué)生探討的不斷深入，經(jīng)驗(yàn)的不斷積累，最終探討到了在教材公式的基礎(chǔ)上加上2kπ的形式，一定程度上有些意外之喜.

四、數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)都會(huì)經(jīng)歷一個(gè)以積累為目的，到積累和運(yùn)用相輔相成，再到純熟的運(yùn)用境界的過程.本節(jié)課中最終順應(yīng)了學(xué)生的實(shí)際，將公式擴(kuò)展到在教材的基礎(chǔ)上再加上2kπ的形式，一定程度上也是為后面再學(xué)習(xí)探討三角函數(shù)圖像性質(zhì)特別是對(duì)稱性服務(wù).例如函數(shù)y=sinx的對(duì)稱中心，學(xué)生根據(jù)周期性很容易接受可以是（2kπ，0），但為什么（2kπ＋π，0）也是其對(duì)稱中心就很不容易弄明白.如果學(xué)生能夠運(yùn)用到本節(jié)課中公式的探索中所積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，那么在理解上就會(huì)順暢得多，自然得多.

五、在數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)下的教學(xué)對(duì)教師的教學(xué)也是一種挑戰(zhàn).尊重學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與運(yùn)用就意味著我們要對(duì)學(xué)生可能具有可能運(yùn)用到的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有一個(gè)預(yù)判，也意味著課堂上將會(huì)有更多我們沒有設(shè)想到的場(chǎng)景和問題，也意味著我們的教學(xué)目標(biāo)不能再那么固定和僵化，而要根據(jù)課堂上可能出現(xiàn)的問題進(jìn)行不斷調(diào)整，更意味著我們今天所積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是為了今后的運(yùn)用而要求我們的教學(xué)要有更好的前瞻性……所有這些問題，都將是擺在我們面前所要面對(duì)的挑戰(zhàn).