■浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)　朱寒杰■江蘇省天一中學(xué)　何志奇

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讓學(xué)生的思維在課堂中自然流淌——以高三一輪復(fù)習(xí)“圓錐曲線中的轉(zhuǎn)化問(wèn)題”教學(xué)為例

■浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)朱寒杰
■江蘇省天一中學(xué)何志奇

2015年12月11日，江蘇省海門(mén)中學(xué)舉辦了第31屆教學(xué)“百花獎(jiǎng)”全國(guó)展示活動(dòng).作為邀請(qǐng)嘉賓，筆者很榮幸站在海門(mén)中學(xué)的講臺(tái)上展示了一節(jié)高三圓錐曲線的復(fù)習(xí)課，課后，受到了江蘇省天一中學(xué)數(shù)學(xué)特級(jí)教師、教授級(jí)高級(jí)教師——何志奇教授和其他與會(huì)教師的一致好評(píng).現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)、自己的點(diǎn)滴感悟和何教授的專家點(diǎn)評(píng)分享如下，供同行參考.

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

筆者拿到的課題是高三一輪復(fù)習(xí)——直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，翻閱蘇教版選修2-1教材和2015年江蘇高考數(shù)學(xué)考試說(shuō)明，均未找到這一知識(shí)點(diǎn).于是筆者準(zhǔn)備將本課的題目定為“圓錐曲線中的轉(zhuǎn)化問(wèn)題”，任何圓錐曲線解答題只有進(jìn)行了合理的轉(zhuǎn)化才能有準(zhǔn)確的計(jì)算.故探討這一問(wèn)題，顯得很有意義.

1.五年高考切入課題

本課以江蘇省2011~2015年五年高考的圓錐曲線大題為切入點(diǎn)，分析各題中的關(guān)鍵條件的轉(zhuǎn)化，從而讓學(xué)生感受到條件轉(zhuǎn)化在圓錐曲線問(wèn)題中的重要性.從學(xué)生最感興趣的高考題入手，快速吸引學(xué)生的注意力，提升本節(jié)課的學(xué)習(xí)興趣.

2.典型例題展開(kāi)課題

在學(xué)生求知欲最強(qiáng)的時(shí)候，立即給出如下例題：

圖1

本題設(shè)計(jì)思路清晰，題目簡(jiǎn)潔明了，解題策略豐富多樣，能夠充分體現(xiàn)“圓錐曲線中的轉(zhuǎn)化問(wèn)題”這一主題.根據(jù)學(xué)生對(duì)條件的不同轉(zhuǎn)化方式，本題給出如下三種解題策略.

策略1：

解答：設(shè)MN方程為x=my+1，代入8x2+9y2-72=0，消去x，得（8m2+9）y2+16my-64=0，

策略2：

解答：設(shè)AM方程為x=ty-3（t≠0），代入8x2+9y2-72= 0，得（8t2+9）y2-48ty=0，

又右焦點(diǎn)坐標(biāo)F2（1，0），所以MN方程為代入8x2+9y2-72=0，

由MA⊥NF1，故kAM·kNF1=-1，即

策略3：

又因?yàn)镸A⊥NF1，所以直線NF1方程為

化簡(jiǎn)得16t4-33t2-45=0，即（t2-3）（16t2+15）=0，

從課堂的教學(xué)情況來(lái)看，課前預(yù)設(shè)的這三種策略正是學(xué)生上課時(shí)依次想到的.這也讓學(xué)生的思維在課堂中自然地流淌.

通過(guò)這道例題的講解，告訴學(xué)生：“圓錐曲線問(wèn)題一旦轉(zhuǎn)化不得力，就會(huì)遇到計(jì)算的麻煩.所以，大家在遇到計(jì)算中的困難時(shí)，除了暴力求解，也請(qǐng)多思考最優(yōu)的解法.畢竟只有改革創(chuàng)新，社會(huì)才能進(jìn)步！”

3.經(jīng)典練習(xí)深化課題

正當(dāng)學(xué)生的思維處在最興奮的時(shí)候，給出如下練習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)在計(jì)算過(guò)程中轉(zhuǎn)化問(wèn)題.

圖2

本題可以視為例1的變式，學(xué)生在解答過(guò)程中可以利用例1解答中的部分過(guò)程.本題給出如下四種解題策略.

策略1：利用求根公式，代入化簡(jiǎn)，得

策略2：利用“消元”思想，代入化簡(jiǎn)，得

策略4：尋找出現(xiàn)問(wèn)題的“根源”：

4.探究發(fā)現(xiàn)拓展課題

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不應(yīng)僅僅學(xué)習(xí)知識(shí)，還應(yīng)主動(dòng)提出問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，培養(yǎng)自身的探究能力，于是本教學(xué)環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般的角度對(duì)練習(xí)題進(jìn)行拓展延伸.“從特殊到一般”和“從一般到特殊”，是認(rèn)識(shí)問(wèn)題的普遍規(guī)律，按照梅森的觀點(diǎn)，特殊化與一般化正是數(shù)學(xué)思維的核心，同時(shí)也是怎樣解題的關(guān)鍵所在.

人教版選修2-1第77頁(yè)中的“閱讀材料”給出了圓錐曲線在直角坐標(biāo)系中的統(tǒng)一方程.于是，結(jié)合學(xué)生的討論，我順勢(shì)給出如下命題，供學(xué)生課后思考.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：（1-e2）x2+y2-2pe2x-p2e2=0，A，B為曲線C與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)D（n，0）的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).設(shè)直線AM，BN的斜率分別為k1，k2．求證：為定值．

二、點(diǎn)滴感悟

1.圓錐曲線復(fù)習(xí)什么

圓錐曲線是全國(guó)各地高考的重點(diǎn)考查對(duì)象.歷年各地高考題中均會(huì)出現(xiàn)圓錐曲線解答題，此題往往會(huì)成為各位考生的噩夢(mèng).那么圓錐曲線試題的難到底難在哪里呢？筆者認(rèn)為，就是轉(zhuǎn)化和運(yùn)算.轉(zhuǎn)化是指“合理拆分圓錐曲線的幾何特征與代數(shù)表示”；運(yùn)算是指“分析運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、確定運(yùn)算程序、檢驗(yàn)運(yùn)算結(jié)果”.所以我們?cè)趶?fù)習(xí)中要從這兩方面幫助學(xué)生克服心理障礙.這也正是我們?cè)趫A錐曲線復(fù)習(xí)中要著重強(qiáng)調(diào)的兩個(gè)方面.在分析每一道圓錐曲線試題時(shí)，都要從這兩個(gè)方面幫助學(xué)生突破難點(diǎn).

2.圓錐曲線復(fù)習(xí)課怎么上

經(jīng)過(guò)這次展示活動(dòng)，筆者認(rèn)為要備好一節(jié)圓錐曲線復(fù)習(xí)課，需從以下四個(gè)方面重點(diǎn)突破：（1）精選例題.要在一節(jié)45分鐘的課堂上教給學(xué)生更多的知識(shí)，一道簡(jiǎn)潔明了的例題是必不可少的，不在題意上給學(xué)生設(shè)置障礙.同時(shí)，此題還必須具有“開(kāi)放性”，學(xué)生無(wú)論用“通性通法”還是“獨(dú)門(mén)絕技”都能解決的例題才是好的例題. （2）變式訓(xùn)練.筆者認(rèn)為，例題是教師在課堂上通過(guò)自己的講解，幫助學(xué)生達(dá)到預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo).而練習(xí)則是教師希望學(xué)生通過(guò)自己的努力鞏固剛剛學(xué)到的知識(shí)與方法.所以要達(dá)到一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，除了例題的講解還必須配有相應(yīng)的練習(xí).而此練習(xí)要盡可能地對(duì)例題進(jìn)行變式拓展，這樣就能充分利用例題中的解答過(guò)程，最大程度地利用45分鐘的寶貴時(shí)間.（3）留有思考的空間.一節(jié)完整的課并不意味著要解決所有問(wèn)題，筆者認(rèn)為要將課堂內(nèi)容適當(dāng)?shù)匮由斓秸n堂外，給學(xué)生留有思考的空間，使得學(xué)生上完本節(jié)課仍然意猶未盡.（4）留有總結(jié)的時(shí)間.海門(mén)中學(xué)的做法是：在一節(jié)課結(jié)束前3分鐘會(huì)有一個(gè)鈴聲，用來(lái)提醒上課教師一節(jié)課的總結(jié)時(shí)間到了.筆者認(rèn)為這是一個(gè)很好的做法.很多時(shí)候，不在于你教給學(xué)生多少，而是學(xué)生自己總結(jié)了多少.不僅如此，筆者認(rèn)為還應(yīng)將總結(jié)的時(shí)間交給學(xué)生，讓學(xué)生自己談?wù)勔还?jié)課的收獲.

三、專家點(diǎn)評(píng)

點(diǎn)評(píng)專家：何志奇（江蘇省特級(jí)教師、江蘇省首批教授級(jí)高級(jí)教師）

（1）能緊扣教學(xué)重點(diǎn)與學(xué)生在解析幾何中最容易出現(xiàn)的困難進(jìn)行分析.解析幾何的本質(zhì)是幾何問(wèn)題代數(shù)化，而本課的教學(xué)目標(biāo)是學(xué)會(huì)對(duì)解析幾何問(wèn)題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，目標(biāo)定位準(zhǔn)確具體、全面且適當(dāng).其中當(dāng)學(xué)生的思路與教師的思路發(fā)生偏差時(shí)，朱老師能順應(yīng)學(xué)生的思路，給學(xué)生恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)來(lái)幫助學(xué)生獲取成功，而不是強(qiáng)行將學(xué)生的思維納入教師思維的軌道，課堂上學(xué)生沒(méi)有感到很失敗，沒(méi)有沉默不語(yǔ)，教師也沒(méi)有一個(gè)人在唱獨(dú)角戲，學(xué)生嘗到的是解法成功的喜悅.從學(xué)生的角度來(lái)看，例1的策略1和策略2，學(xué)生是很自然想到而獲得成功的.

（2）本課一大亮點(diǎn)是抓住一道題進(jìn)行展示.就像拍照，同一個(gè)人以不同的姿勢(shì)拍出各式各樣的照片.圓錐曲線復(fù)習(xí)不在于題目的多少，而在于對(duì)同一道題能否從某個(gè)方法上或者某個(gè)知識(shí)點(diǎn)角度進(jìn)行深入的挖掘.本節(jié)課對(duì)例1進(jìn)行了非常深入的挖掘，將題目的演繹發(fā)揮得淋漓盡致.高三復(fù)習(xí)，一節(jié)課需要多少題目？貴在精，不在于灌.朱老師用一道題目一個(gè)課堂練習(xí)圍繞解析幾何的“轉(zhuǎn)化”核心演繹了精湛的教學(xué)藝術(shù).

（3）在課堂演繹過(guò)程中，以最快的速度切入主題，迅速吸引學(xué)生的眼球.這在圓錐曲線復(fù)習(xí)課中非常重要，為后續(xù)騰出更多的時(shí)間進(jìn)行題目的剖析與演繹.本課的教學(xué)完全順著學(xué)生之意進(jìn)行展示，尊重學(xué)生的個(gè)體思維差異，學(xué)生回答什么，就講什么方法，并未刻意地向?qū)W生灌輸相關(guān)知識(shí)與方法.真正做到老師的一桶水，準(zhǔn)備充分，為不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)技能等方面提出不同思維層次的要求.

（4）本課的另一亮點(diǎn)則是將解題過(guò)程寫(xiě)成框架圖，顯得非常清晰，邏輯意識(shí)潤(rùn)物細(xì)無(wú)聲地滲透到學(xué)生的心里，學(xué)生印象深刻.

（5）本課的一大遺憾則是未讓學(xué)生提出問(wèn)題，哪怕是一個(gè)問(wèn)題也好的呀！李政道先生曾說(shuō)過(guò)：“求學(xué)問(wèn)，需學(xué)問(wèn)；只學(xué)答，非學(xué)問(wèn).”我們現(xiàn)在的學(xué)生“只會(huì)答，不會(huì)問(wèn)”.在實(shí)際的教學(xué)中，我們應(yīng)該把更多的時(shí)間留給學(xué)生，讓其能夠“于無(wú)疑處有疑”.

感謝江蘇省海門(mén)中學(xué)給了筆者這樣一次展示教學(xué)的機(jī)會(huì).從備課、磨課到上課，筆者收獲良多，尤其是何教授的精彩點(diǎn)評(píng)，筆者一定會(huì)謹(jǐn)記于心.在今后的課堂教學(xué)中，努力做到把“更多的時(shí)間留給學(xué)生”，讓其能夠“于無(wú)疑處有疑”.

參考文獻(xiàn)：

1.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.