■浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué)　曹良華

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“空間向量的數(shù)量積運(yùn)算”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

■浙江省杭州市余杭高級(jí)中學(xué)曹良華

筆者有幸參加了2015年浙江省高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)評(píng)比活動(dòng)，并得到了與會(huì)專家和老師的一致認(rèn)同，獲得了課堂教學(xué)評(píng)比一等獎(jiǎng).以下是本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和課后的教學(xué)反思，以此拋磚引玉，供同行參考.

一、教學(xué)內(nèi)容解析

向量兼具“數(shù)”和“形”的雙重形態(tài)，是溝通代數(shù)和幾何的橋梁.空間向量為處理立體幾何問題提供了一個(gè)新的視角，是解決三維空間中圖形位置關(guān)系與度量問題的有效工具.

空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，是人教社A版《數(shù)學(xué)2-1》中繼空間向量的加減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算之后的又一種運(yùn)算，是平面向量運(yùn)算向空間推廣的一個(gè)實(shí)例.在平面向量的夾角、長(zhǎng)度概念和數(shù)量積定義的基礎(chǔ)上，通過類比的方式，得出空間向量數(shù)量積的相關(guān)概念、運(yùn)算律，并舉例說明了空間向量數(shù)量積運(yùn)算在處理立體幾何中垂直關(guān)系中的重要作用，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

做好“類比”、抓住“本質(zhì)”、學(xué)會(huì)“方法”、奠定“基礎(chǔ)”是本節(jié)課的教學(xué)主線.通過類比發(fā)現(xiàn)“任意兩個(gè)空間向量都是共面的”，抓住本質(zhì)確定“空間任意兩個(gè)向量的數(shù)量積本質(zhì)上就是平面向量的數(shù)量積”；基于空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，學(xué)會(huì)用數(shù)量積解決垂直問題的方法，體會(huì)化歸轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想.另外，本節(jié)課內(nèi)容為后續(xù)學(xué)習(xí)坐標(biāo)表示下的向量方法解決空間角、長(zhǎng)度、垂直等問題奠定了重要基礎(chǔ).

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

教學(xué)指導(dǎo)意見對(duì)本節(jié)內(nèi)容的要求是：理解空間向量的長(zhǎng)度和夾角的意義；理解空間向量的數(shù)量積的意義及其運(yùn)算律；能利用空間向量的運(yùn)算解決直線和直線垂直、直線和平面垂直、兩點(diǎn)間距離或線段長(zhǎng)度等相關(guān)問題.結(jié)合教學(xué)實(shí)際，制定教學(xué)目標(biāo)如下：

（1）通過小組合作、自主探究、交流分享，在類比中歸納得出明確的認(rèn)識(shí)：空間任意兩個(gè)向量都是共面的，空間任意兩個(gè)向量的數(shù)量積就是平面向量的數(shù)量積；學(xué)生能進(jìn)一步理解和掌握空間向量數(shù)量積的相關(guān)概念及運(yùn)算.

（2）經(jīng)歷例1、2的分析、求解過程，學(xué)生能初步體驗(yàn)空間向量在解決立體幾何有關(guān)問題中的重要價(jià)值，能基本掌握用數(shù)量積處理空間中線線、線面垂直問題.

（3）在解決具體問題的過程中，學(xué)生能強(qiáng)化數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，感悟數(shù)學(xué)思想（數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等）的魅力.

三、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在經(jīng)歷空間向量的概念及線性運(yùn)算之后，已感受空間向量與平面向量之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)并運(yùn)用類比的方法學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算.由于空間任意兩個(gè)向量必共面，因此空間向量在本質(zhì)上與平面向量是一致的.同時(shí)學(xué)生在平面向量的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)認(rèn)識(shí)到平面向量的數(shù)量積在判定位置關(guān)系（垂直）、角與距離的計(jì)算中的應(yīng)用價(jià)值，這為研究空間位置關(guān)系及相關(guān)度量提供了類比前提，即在平面向量的夾角和向量長(zhǎng)度概念的基礎(chǔ)上，類比引入空間向量的夾角、長(zhǎng)度的概念和表示方法，類比平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算得到空間兩個(gè)向量的數(shù)量積的概念和計(jì)算方法、運(yùn)算律.

空間向量的投影以及數(shù)量積的分配律，代數(shù)形式上與平面向量中完全一樣，但是在幾何直觀上又有些許不同.這是學(xué)生在類比歸納中的一個(gè)難點(diǎn)，需要適時(shí)鋪墊引導(dǎo)，逐個(gè)突破.

數(shù)量積在解決立體幾何中直線和平面垂直、直線和直線垂直等問題的過程中，學(xué)生對(duì)幾何元素與空間向量之間的對(duì)應(yīng)及如何用空間向量表示所涉及的幾何元素可能困難較大，這是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題的關(guān)鍵.

基于教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析，本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)確定如下：

重點(diǎn)：通過類比歸納得出空間向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，能利用數(shù)量積運(yùn)算解決空間垂直問題.

難點(diǎn)：理解空間向量的投影以及數(shù)量積的分配律；用空間向量表示線線、線面垂直，并深刻體會(huì)“沒有運(yùn)算的向量只能起到路標(biāo)作用，有了向量的運(yùn)算力量無窮”.

四、教學(xué)策略分析

（一）本節(jié)課的框架設(shè)計(jì)

為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，我按照以下框架安排本節(jié)課的教學(xué)：

環(huán)節(jié)1：?jiǎn)栴}引入，提出概念；

環(huán)節(jié)2：自主探究，交流分享；

環(huán)節(jié)3：例題賞析，感悟“運(yùn)算”；

環(huán)節(jié)4：歸納總結(jié)，作業(yè)鞏固.

（二）對(duì)教學(xué)方法和手段的分析

本節(jié)課的教學(xué)主線是：做好“類比”、抓住“本質(zhì)”、學(xué)會(huì)“方法”、奠定“基礎(chǔ)”.教學(xué)過程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，踐行“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)理念，凸顯“以學(xué)生為主體的教，在教師引導(dǎo)下的學(xué)”的授課模式.通過問題引入、閱讀理解、表格填寫、交流分享等途徑，讓學(xué)生“動(dòng)起來”，讓課堂“活起來”.在概念、運(yùn)算律的建構(gòu)中，始終堅(jiān)持讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行類比與歸納；在例題賞析中，注重引導(dǎo)學(xué)生建立“已知”與“待求”間的“關(guān)聯(lián)”.借助向量工具適時(shí)轉(zhuǎn)化難點(diǎn)，設(shè)置問題串適時(shí)突破難點(diǎn)，注重滲透數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.通過課堂小結(jié)與感悟，讓學(xué)生能對(duì)課堂所學(xué)有持續(xù)的思考，激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，進(jìn)一步增強(qiáng)教師引領(lǐng)的輻射作用.

另外，根據(jù)教學(xué)需要，對(duì)教材內(nèi)容和呈現(xiàn)方式作了如下設(shè)計(jì)：

（1）設(shè)置“自主探究，交流分享”環(huán)節(jié)，并以表格的形式呈現(xiàn)空間與平面向量數(shù)量積的對(duì)比，增強(qiáng)對(duì)比的效果，突出兩者的共性，有利于空間向量數(shù)量積的知識(shí)構(gòu)建.

（2）以表格形式呈現(xiàn)課本第90頁思考題中的3個(gè)問題，概括為“可約、可除、可結(jié)合”三個(gè)問題，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)三種運(yùn)算的直觀理解.

（3）以例1、例2為載體，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“數(shù)量積運(yùn)算”價(jià)值的認(rèn)識(shí).通過“課堂感悟”，引導(dǎo)學(xué)生去體會(huì)“沒有運(yùn)算的向量只能起到路標(biāo)作用，有了運(yùn)算的向量力量無窮”.

（4）制作實(shí)用的多媒體課件，設(shè)計(jì)合理的板書，輔助課堂教學(xué)的有效開展.

五、教學(xué)過程

（一）問題引入，提出概念

之前剛剛學(xué)習(xí)了空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，通過學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)：空間向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算與平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算是完全一樣的.必修4中已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，從定義、幾何意義、運(yùn)算律等方面認(rèn)識(shí)了數(shù)量積運(yùn)算，那么空間向量的數(shù)量積運(yùn)算會(huì)是怎么樣的呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧加減、數(shù)乘運(yùn)算學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生體會(huì)空間向量與平面向量的內(nèi)在聯(lián)系，暗示學(xué)生運(yùn)用類比的方法學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算等.借此，提出“空間向量的數(shù)量積”的概念，為后續(xù)自主探究、交流分享環(huán)節(jié)作好鋪墊.

（二）自主探究，交流分享

1.小組合作，自主探究

分組：4人小組，確定1名組長(zhǎng).組長(zhǎng)負(fù)責(zé)組織討論、記錄、匯報(bào)討論結(jié)果.

引導(dǎo)：呈現(xiàn)研究平面向量數(shù)量積運(yùn)算的幾個(gè)維度，暗示學(xué)生探究的方向.

向量的數(shù)量積平面　空間夾角定義、范圍對(duì)非零向量a，b，作O■→A=a，O■→B= b，則∠AOB叫做a與b的夾角，范圍：［0，π］定義　非零向量a·b=|a||b|cosθ，規(guī)定：0·a=0幾何意義a的長(zhǎng)度|a|與|b|在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積運(yùn)算律（λa）·b=λ（a·b），a·b=b·a，a·（b+c）=a·b+a·c

巡視、點(diǎn)撥：確認(rèn)組長(zhǎng)，對(duì)討論過程中個(gè)別疑難處進(jìn)行指導(dǎo).

提醒：對(duì)照表格進(jìn)行填寫，梳理空間向量數(shù)量積運(yùn)算的相關(guān)知識(shí).

設(shè)計(jì)意圖：充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，踐行“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)理念，凸顯“以學(xué)生為主體的教，在教師引導(dǎo)下的學(xué)”的授課模式，讓學(xué)生“動(dòng)起來”，讓課堂“活起來”.

2.概念辨析，交流分享

（1）空間向量的投影.

向量的投影

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過類比平面向量中的向量投影的概念、作法，在猜想、論證后得到空間向量的投影概念及作法.在此過程中，進(jìn)一步體會(huì)空間向量和平面向量的內(nèi)在聯(lián)系，領(lǐng)悟“空間任意兩個(gè)向量都是共面的，空間向量的投影可以轉(zhuǎn)化為平面向量的投影”，同時(shí)還學(xué)會(huì)了空間向量投影的直觀作法.

（2）空間向量數(shù)量積運(yùn)算的分配律.

（b+c）在a方向上投影=b在a方向上投影+c在a方向上投影

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在理解了“空間向量的投影”的概念之后，對(duì)投影的認(rèn)識(shí)有進(jìn)一步提升的需要.另外，從定義出發(fā)論證分配律也需要借助投影來實(shí)現(xiàn).以長(zhǎng)方體為背景的空間向量圖示，能直觀呈現(xiàn)空間位置和向量投影，達(dá)到“此時(shí)無聲勝有聲”的奇效，是本節(jié)課的一處亮點(diǎn).

（3）課本第90頁思考題辨析.

若a，b，c都不為0　數(shù)量積運(yùn)算誤區(qū)數(shù)量積運(yùn)算可約嗎　a·b=a·c■b=c　不可以可除嗎　若a·b=k，則a=k b　不可以可結(jié)合嗎?。╝·b）c=a（b·c）　不可以

設(shè)計(jì)意圖：通過回答表格的問題，學(xué)生進(jìn)一步理解了空間向量數(shù)量積的概念及相關(guān)運(yùn)算律，有效地完善了空間向量數(shù)量積運(yùn)算的知識(shí)建構(gòu)，為后續(xù)使用空間向量工具解決立體幾何問題提供了運(yùn)算支持.

3.例題賞析，感悟“運(yùn)算”

例1在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.

設(shè)計(jì)意圖：將文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)譯為數(shù)學(xué)語言表達(dá)是例1的難點(diǎn)，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題是又一個(gè)難點(diǎn)，解決問題的核心是數(shù)量積運(yùn)算.因此設(shè)置如下步驟來突破難點(diǎn)：

第一步，用數(shù)學(xué)語言表示；（已知：PO⊥平面α，l在平面α內(nèi)，OA是斜線PA在α內(nèi)的射影，且l⊥OA.求證：l⊥PA）

第二步，構(gòu)建“已知”與“求證”的關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為向量問題；

第三步，選擇合適的向量表示，利用數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算證明；

第四步，根據(jù)計(jì)算結(jié)果解釋幾何結(jié)論（三垂線定理）；

第五步，體驗(yàn)數(shù)量積運(yùn)算的價(jià)值：數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫空間線線垂直的位置關(guān)系.

例2如圖，m，n是平面α內(nèi)的兩條相交直線.如果l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α.

設(shè)計(jì)意圖：例2呈現(xiàn)了數(shù)量積運(yùn)算刻畫空間線面垂直關(guān)系的價(jià)值.證明l與α內(nèi)任意一條直線g是關(guān)鍵，運(yùn)用空間向量共面定理表示g=xm+yn是本題的難點(diǎn).通過與例1的對(duì)比，促使學(xué)生深刻體會(huì)數(shù)量積運(yùn)算在刻畫空間垂直關(guān)系中的應(yīng)用價(jià)值.為此設(shè)置問題串來突破難點(diǎn)：

問題1如何判斷直線l⊥平面α？

問題2如何判斷l(xiāng)⊥g（g為平面α內(nèi)任意一條直線）？

問題3如何判斷l(xiāng)⊥g？

問題4如何用m，n表示g？

4.歸納總結(jié)，作業(yè)鞏固

4.1知識(shí)

（1）空間向量數(shù)量積的定義、幾何意義、運(yùn)算律；

（2）用數(shù)量積運(yùn)算來刻畫空間中的垂直關(guān)系：線線垂直、線面垂直.

4.2方法

類比與歸納

4.3思想

（1）數(shù)形結(jié)合思想；（2）化歸轉(zhuǎn)化思想.

4.4學(xué)習(xí)感悟

沒有運(yùn)算的向量只能起到路標(biāo)作用，有了運(yùn)算的向量力量無窮！

4.5課后作業(yè)

必做作業(yè)：書本第92頁練習(xí)1，書本第99頁B組第1題；選做作業(yè)：試證明三垂線定理的逆定理.

六、教學(xué)反思

從實(shí)際的教學(xué)反饋來看，本節(jié)課的總體架構(gòu)是切實(shí)可行的，收效也非常好.本節(jié)課的亮點(diǎn)主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

1.教學(xué)思路的獨(dú)創(chuàng)性

教學(xué)設(shè)計(jì)中突出了“構(gòu)建向量的代數(shù)系統(tǒng)”的思路，尋求達(dá)成“沒有運(yùn)算的向量只能起到路標(biāo)作用，有了運(yùn)算的向量力量無窮”的共識(shí)，是本節(jié)課的第一大亮點(diǎn).

教學(xué)設(shè)計(jì)合理地解讀了人教版教材的編寫意圖，為空間向量章節(jié)內(nèi)容的教學(xué)提供了一個(gè)很好的范式.本節(jié)課介紹了又一種新的空間向量運(yùn)算（數(shù)量積運(yùn)算），從定義、幾何意義、運(yùn)算律、應(yīng)用等維度對(duì)這種運(yùn)算進(jìn)行研究.本節(jié)課的重心是數(shù)量積運(yùn)算的認(rèn)知以及價(jià)值體驗(yàn)的過程，而不是解題應(yīng)用.

2.教學(xué)定位的適切性

教學(xué)重、難點(diǎn)的確定是否適切，直接影響教學(xué)是否有效.本節(jié)課的定位和預(yù)設(shè)，符合學(xué)生認(rèn)知水平.

高二學(xué)生在經(jīng)歷空間向量的概念及線性運(yùn)算之后，已初步感受空間向量與平面向量之間的內(nèi)在聯(lián)系（空間任意兩個(gè)向量必共面），能體會(huì)運(yùn)用類比的方法學(xué)習(xí)空間向量及其運(yùn)算.基于平面向量數(shù)量積的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到平面向量數(shù)量積在判定垂直關(guān)系中的應(yīng)用價(jià)值，這為研究空間位置關(guān)系提供了類比前提，自然地確定了教學(xué)重點(diǎn)——通過類比歸納得出空間向量數(shù)量積的概念及運(yùn)算，并能利用數(shù)量積運(yùn)算解決空間垂直問題.

空間向量的投影以及數(shù)量積的分配律，代數(shù)形式上與平面向量中完全一樣，但是在幾何直觀上又有些許不同.這是學(xué)生在類比歸納中的一個(gè)難點(diǎn)，需要適時(shí)鋪墊引導(dǎo)，逐個(gè)突破.教學(xué)過程中，充分利用直觀的幾何圖示，幫助學(xué)生建立對(duì)空間向量投影和分配律的幾何內(nèi)涵的認(rèn)知，這是本節(jié)課的又一亮點(diǎn).

3.教學(xué)過程的探索性

教學(xué)過程中，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，踐行“學(xué)生先行，交流呈現(xiàn)，教師斷后”的教學(xué)理念，突顯“以學(xué)生為主體的教，在教師引導(dǎo)下的學(xué)”的授課模式.這是本節(jié)課的第三個(gè)亮點(diǎn).

通過問題引入、閱讀理解、表格填寫、交流分享等途徑，讓學(xué)生“動(dòng)起來”，讓課堂“活起來”，使課堂教學(xué)成為在教師指導(dǎo)下的探索學(xué)習(xí)過程.在概念、運(yùn)算律的建構(gòu)中，始終堅(jiān)持讓學(xué)生主動(dòng)進(jìn)行類比與歸納，在探究中發(fā)現(xiàn)、理解數(shù)學(xué)概念；設(shè)置問題（串）引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)“已知”與“待求”間的“關(guān)聯(lián)”，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

當(dāng)然，本節(jié)課也存在許多不足之處，需要在后續(xù)的教學(xué)中加以改進(jìn).

（1）小組合作的探究活動(dòng)開放程度不夠，探究發(fā)現(xiàn)的層次不夠高，課堂生成“意外”不多.

（2）例題賞析環(huán)節(jié)中，學(xué)生的主動(dòng)參與程度不高，氣氛調(diào)動(dòng)和難點(diǎn)突破的設(shè)計(jì)還需優(yōu)化.

（3）教學(xué)中用的都是靜態(tài)的圖示，動(dòng)態(tài)圖示和現(xiàn)代教育技術(shù)手段運(yùn)用不夠.