唐乃洋

【摘要】類(lèi)比學(xué)習(xí)法是數(shù)學(xué)教學(xué)中的有用方法，它符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，是學(xué)習(xí)新知識(shí)的階梯。正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)類(lèi)似的知識(shí)點(diǎn)很多，不論是新授還是復(fù)習(xí)，用類(lèi)比教學(xué)法，是深刻理解它們之間聯(lián)系和區(qū)別的最有效方法。

【關(guān)鍵詞】研究 方法 類(lèi)比

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）02-0139-01

類(lèi)比方法是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)一種思維方法，它可以幫助學(xué)生理解知識(shí)點(diǎn)的概念、圖像、形式、性質(zhì)等，達(dá)到理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別的目的。這樣既可以加強(qiáng)學(xué)生快速掌握新知識(shí)，又有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。

所謂“類(lèi)比教學(xué)”，就是對(duì)有相似之處的知識(shí)進(jìn)行比較，看看它們有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，并且通過(guò)它們的相似點(diǎn)來(lái)類(lèi)比新知識(shí)，特別是新舊知識(shí)有相似聯(lián)系的，如果不反復(fù)地歸類(lèi)比較，指出知識(shí)間的異同，認(rèn)清它們的本來(lái)面目，就有可能混淆，作業(yè)就會(huì)出錯(cuò)。我們知道越容易混淆的知識(shí)，放在一起學(xué)習(xí)，反而不會(huì)混淆，更會(huì)進(jìn)一步掌握新知識(shí)。下面我以一次函數(shù)與二次函數(shù)為例來(lái)談?wù)勵(lì)惐确ㄔ跀?shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用。

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，對(duì)新知識(shí)運(yùn)用類(lèi)比方法學(xué)習(xí)，能達(dá)到溫故而知新，深刻理解、增強(qiáng)記憶的目的。

在學(xué)習(xí)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)時(shí)，我先讓學(xué)生回顧已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的函數(shù)研究方法，來(lái)學(xué)習(xí)后一個(gè)函數(shù)，比較它們的系數(shù)、取值范圍和解析式的不同，明確在運(yùn)用時(shí)的注意事項(xiàng)。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到它們的研究方法都是：特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論。研究?jī)?nèi)容都是：圖像特征（形狀、位置、重要的點(diǎn)）、性質(zhì)（畫(huà)圖、觀察圖像）。

1.函數(shù)表示方法類(lèi)比

我們?cè)诔踔须A段課本介紹的函數(shù)表示方法，一般是：（1）列表法：一目了然，使用起來(lái)方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。（2）解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過(guò)程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。（3）圖像法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

2.一次函數(shù)、二次函數(shù)特例類(lèi)比

把一次函數(shù)和二次函數(shù)特例放在一起進(jìn)行類(lèi)比，一是符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，二是讓學(xué)生了解它們的研究方法，為學(xué)習(xí)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）打下基礎(chǔ)。

一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），當(dāng)b=0時(shí)，y=kx+b即y=kx，一次函數(shù)就變成了正比例函數(shù)，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。

分類(lèi)畫(huà)圖，觀察圖像：k>0，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限；k<0，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，b>0，圖像經(jīng)過(guò)第一、二象限；b<0，圖像經(jīng)過(guò)第三、四象限。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的特例是y=ax2（a≠0），當(dāng)a>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口。|a|越大，則拋物線的開(kāi)口越小。|a|越小，則拋物線的開(kāi)口越大。

分類(lèi)畫(huà)圖，觀察圖像：對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開(kāi)口大小、開(kāi)口方向、增減性。

3.二次函數(shù)解析式類(lèi)比

正比例函數(shù)、一次函數(shù)解析式都是一種表達(dá)形式，反比例函數(shù)有三種表達(dá)形式，二次函數(shù)也有三種表達(dá)形式，學(xué)生最容易混淆，不知道什么情況用什么表達(dá)式好。我們?cè)谏险n時(shí)要把二次函數(shù)的三種表達(dá)式放在一起，讓學(xué)生進(jìn)行類(lèi)比，并指出它們的運(yùn)用點(diǎn)。二次函數(shù)的一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），一般是知道三點(diǎn)坐標(biāo)，就可求出系數(shù)a，b，c。頂點(diǎn)式：y=a（x-h）2；+k，拋物線的頂點(diǎn)P（h，k），知道頂點(diǎn)坐標(biāo)和圖像上一點(diǎn)的坐標(biāo)就可求出二次函數(shù)的解析式。交點(diǎn)式：y=a（x-x1）（x-x2），僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和B（x2，0）的拋物線 。

4.畫(huà)圖方法類(lèi)比

不論是正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)還是二次函數(shù)，畫(huà)圖方法都是描點(diǎn)法，畫(huà)圖的一般步驟都是：列表、描點(diǎn)、連線，所以完全可以把它們放在一起進(jìn)行類(lèi)比，學(xué)生也不容易忘記。當(dāng)然還可以平移作圖，例如一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）的圖像，就可以通過(guò)平移y=kx的b單位得到。y=ax2（a≠0，a是常數(shù)）沿x軸平移h個(gè)單位得到y(tǒng)=a（x-h）2，把y=a（x-h）2沿y軸平移k個(gè)單位就得到y(tǒng)=a（x-h）2+k的圖像。

5.性質(zhì)類(lèi)比

性質(zhì)類(lèi)比，我們可以對(duì)函數(shù)解析式中的關(guān)鍵系數(shù)進(jìn)行分類(lèi)研究，然后讓學(xué)生從圖像上觀察它們所具有的性質(zhì)。

正比例函數(shù)y=kx（k是常數(shù)，k≠0），當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過(guò)二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小。

一次函數(shù)y=kx+b（k是常數(shù)，k≠0），它的圖像是經(jīng)過(guò)（0，b）和（-■，0）兩點(diǎn)的一條直線。直線y=kx+b可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）。當(dāng)k>0時(shí)，圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限；當(dāng)k<0，圖像經(jīng)過(guò)第二、四象限，b>0，圖像經(jīng)過(guò)第一、二象限；b<0，圖像經(jīng)過(guò)第三、四象限。

二次函數(shù)可以分類(lèi)進(jìn)行討論，用列表法對(duì)a>0，a<0時(shí)，它們的圖像、增減性、最值情況進(jìn)行比較，從而讓學(xué)生在類(lèi)比中，更加清醒地認(rèn)識(shí)它們的性質(zhì)。

6.方程與函數(shù)關(guān)系的類(lèi)比

任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以一次函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)y= 0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。從圖像上看，就是求直線y=ax+b與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。同樣道理，當(dāng)y=0時(shí)，二次函數(shù)就變?yōu)殛P(guān)于x的一元二次方程，即ax2+bx+c=0。 當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)Δ= b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。Δ= b2-4ac<0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。

7.對(duì)稱(chēng)軸類(lèi)比

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸，不是在y軸的左側(cè)就是在y軸的右側(cè)，所以我們可以把它們放在一起進(jìn)行類(lèi)比。當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab>0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)，拋物線與y軸交于（0，c）。

不論是一次函數(shù)還是二次函數(shù)，它們的知識(shí)點(diǎn)總是與圖形相對(duì)應(yīng)，我們?cè)趯W(xué)習(xí)二次函數(shù)的時(shí)候，一定要注重?cái)?shù)形結(jié)合，才能讓學(xué)生深刻地理解函數(shù)知識(shí)。我們?cè)谶M(jìn)行類(lèi)比時(shí)，可以橫向類(lèi)比，也可以縱向類(lèi)比，只要新舊知識(shí)有類(lèi)似之處、有易混易錯(cuò)之處，都可以進(jìn)行類(lèi)比，都能加深學(xué)生印象，類(lèi)比方法在復(fù)習(xí)總結(jié)中作用更大。