【摘要】從七年級(jí)、八年級(jí)數(shù)學(xué)課本當(dāng)中的練習(xí)題出發(fā)，引出兩道中考題，剖析牽涉到的知識(shí)點(diǎn)，尋找解題關(guān)鍵，將中考題回歸教材，分析題意，尋找基本圖形，回憶課本上關(guān)于這一部分知識(shí)是如何講解的，觀察這個(gè)圖與基本圖形之間的異同點(diǎn)，以教材為理論依據(jù)，將問題逐次展開，一層層解決。

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱 展開 最短

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）02-0119-01

人教版八年級(jí)上冊(cè)《軸對(duì)稱》中的一道題：如圖1，A為馬廄，B為帳篷，木馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線。

我們用軸對(duì)稱的知識(shí)將這一天所走的最短路線這一組折線轉(zhuǎn)化為一條線段，畫出圖形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短這一定理來求解，并通過反證法來證明。以這道題為基礎(chǔ)，可以將問題背景布置為我們所學(xué)過的各種幾何圖形，例如2014四川涼山州中考卷26題：如圖2，圓柱形容器高為18cm，底面周長為24cm，在杯內(nèi)壁離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，求螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁C處的最短距離。

當(dāng)所討論的圖形是對(duì)稱圖形時(shí)，一切居于對(duì)稱位置的元素都是可證相等的，一切居于對(duì)稱位置的三角形或其他多邊形都是可證全等的，若所討論圖形不是完備的對(duì)稱圖形，但存在對(duì)稱因素時(shí)，添加輔助性的思考是“從對(duì)稱的觀點(diǎn)補(bǔ)所缺的部分”。本題以圓柱為背景，似乎與軸對(duì)稱沒有絲毫關(guān)聯(lián)，但因?yàn)樵O(shè)置了從杯外壁到杯內(nèi)壁之間的路徑問題，螞蟻要從杯外到內(nèi)必須經(jīng)過杯子的上沿，杯上沿就可以作為對(duì)稱軸，先將杯壁展開成一矩形，再將內(nèi)、外壁看成是兩個(gè)重合的矩形，將內(nèi)壁向上翻折成一個(gè)平面。如圖3，將圓柱側(cè)面展開成矩形EFGH，使得螞蟻A在矩形的邊EF上，則蜂蜜C在EH、FG中點(diǎn)的連線上，將點(diǎn)A沿著杯上沿EH翻折得到A，則AC的長度就是螞蟻從外壁A處到達(dá)內(nèi)壁B處的最短距離。

由此，又想到七年級(jí)《相交線與平行線》一章中的造橋選址問題：如圖4，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN，橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）。對(duì)于這道題的分析，運(yùn)用的是平移的方法，利用橋的長度不變，假設(shè)可以先過橋，那么橋兩岸的小路就可以連成一條路，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短問題來解決。

以此為理論依據(jù)，2013年天津市中考第25題：在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，4），點(diǎn)E在OB上，且∠OAE=∠0BA.將△AEO沿x軸向右平移得到△A′E′O′，連接A′B、BE′，當(dāng)A′B+BE′取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E′的坐標(biāo)。

當(dāng)拿到一道綜合題，不急于動(dòng)手去解，先想象，弄懂它所描繪的情景，這是“合理、科學(xué)的思考”的核心，是其最重要的組成部分，本題第一感覺這是典型的“馬飲水”問題，但是與傳統(tǒng)的軸對(duì)稱問題又有所不同，傳統(tǒng)問題中，在直線的同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)，要在直線上找一個(gè)點(diǎn)，使得兩定點(diǎn)到這個(gè)點(diǎn)的距離之和最小，而本題直線上有一定點(diǎn)，線外有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，但動(dòng)點(diǎn)A′E′的相對(duì)位置不變，如圖5，要找到某個(gè)位置使得A′B+BE′最小，注意到A′A與E E′始終相等，因此，可以通過構(gòu)造全等三角形將BE′變換到能與A′B組成一條折線的位置，利用兩點(diǎn)之間線段最短解題。過點(diǎn)A作AB′⊥AO，并截取AB′=BE，連接A′B′，則△A A′B′≌△EE′B，從而A′B′=BE′，則A′B+BE′= A′B+ A′B′，當(dāng)B、A′、B′三點(diǎn)共線時(shí)，A′B+ A′B′最短，通過EE′=A A′，可得到點(diǎn)E′的坐標(biāo)。

圖形的對(duì)稱變換問題在近年中考有大量的應(yīng)用，遇到這類題時(shí)，通過分析題意，尋找基本圖形，回憶課本上關(guān)于這一部分知識(shí)如何講解，觀察這個(gè)圖與基本圖形之間的異同點(diǎn)，以教材為理論依據(jù)，將問題逐次展開，一層層解決。

參考文獻(xiàn)：

[1]《數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)》，北京：人民教育出版社，2004，04.

[2]《數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)》，北京：人民教育出版社，2013，03.

作者簡(jiǎn)介：

張麗華（1978.11-），女，漢族，福建三明人，本科，中學(xué)二級(jí)。