楊 輝，汪忠志

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

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信息化時(shí)代大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革初探

楊 輝，汪忠志

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)和大學(xué)教育中的數(shù)學(xué)差距越來越大，改革的主要方向是正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程、目的和步驟，把傳統(tǒng)的主要培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力的教學(xué)方式轉(zhuǎn)變?yōu)槔弥悄茉O(shè)備進(jìn)行編程計(jì)算和思考解決問題的方式的教學(xué)中來。

大學(xué)數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)目的；學(xué)習(xí)步驟；課程體系；評價(jià)體系；教育改革

一、大學(xué)數(shù)學(xué)教育存在的問題分析

毫無疑問，當(dāng)今世界的數(shù)學(xué)教學(xué)存在一些大的問題。如果你問政府人員，他們會(huì)告訴你，數(shù)學(xué)沒能擔(dān)負(fù)起國家重任；如果你問學(xué)生，他們會(huì)告訴你數(shù)學(xué)很難學(xué)；如果你問老師，他們會(huì)告訴你，想讓學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)真的很難。而現(xiàn)實(shí)世界中其他想學(xué)數(shù)學(xué)的人，包括雇主和日常生活中的人們，卻發(fā)現(xiàn)自己沒有足夠的數(shù)學(xué)能力。這很離奇，數(shù)學(xué)這門課在教育中讓很多人倍感氣餒，但是現(xiàn)實(shí)世界中，它卻表現(xiàn)出人類歷史上前所未有的重要性。世界越來越量化，越來越依賴數(shù)學(xué)，我們的經(jīng)濟(jì)比以往任何時(shí)候都更需要數(shù)學(xué)的推動(dòng)。因此，問題就在于，教育中的數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)之間，差別在哪里？如何糾正？我們認(rèn)為，答案就在我們面前，計(jì)算機(jī)和智能手機(jī)或ipad等。數(shù)值計(jì)算、符號(hào)演算以及數(shù)學(xué)軟件包等計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展, 不但可以代替許多人工的推導(dǎo)和運(yùn)算, 而且正在改變著人們對數(shù)學(xué)知識(shí)的需求, 沖擊著傳統(tǒng)的觀念和方法。[1]計(jì)算機(jī)是劃分現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)和現(xiàn)在教育的數(shù)學(xué)的一大重要因素。計(jì)算機(jī)的橫空出世，能縮小每個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人從“知道”到“做到”、從“做到”到“做好”之間的距離，它要培養(yǎng)的是解決問題的高手，而這樣的人正是當(dāng)今社會(huì)急需的人才。[2]現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)學(xué)的關(guān)鍵在于求解問題建立數(shù)學(xué)模型并模擬其結(jié)果，分析結(jié)果，評判它們，但在教育教學(xué)中數(shù)學(xué)卻非常的不同，數(shù)學(xué)只是計(jì)算，多數(shù)時(shí)候是用手來算，幸運(yùn)的話或許能使用計(jì)算器。數(shù)學(xué)題都很小，而且似乎與現(xiàn)實(shí)世界相隔甚遠(yuǎn)。

二、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程的步驟

為了更好地解釋我們講的是什么以及我們應(yīng)該做什么，我們先從一個(gè)問題開始：為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)?尤其是為什么世界上每個(gè)人都應(yīng)該學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？我們認(rèn)為，主要有三大目的：第一個(gè)目的是技術(shù)工作特別是科學(xué)計(jì)算能力，技術(shù)工作比任何其它工作對經(jīng)濟(jì)的推動(dòng)都大，幾乎所有的研究都顯示，數(shù)學(xué)及進(jìn)一步的STEM(科學(xué)、技術(shù)、工程和數(shù)學(xué))的能力是推動(dòng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的重要能力。因此，對于我們的經(jīng)濟(jì)而言，讓人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常重要。科學(xué)計(jì)算能力概括地說主要包括數(shù)學(xué)建模能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算與仿真能力等。[3]第二個(gè)目的是日常生活，要在任何經(jīng)濟(jì)體特別是發(fā)達(dá)經(jīng)濟(jì)體中生存，你需要比原來更多的定量分析能力。無論是同按揭貸款打交道，還是考慮要不要相信統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，你都需要良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)才能去考慮是否信任某一答案，去建立并理解問題。第三個(gè)目的可以稱之為邏輯思維訓(xùn)練。數(shù)學(xué)一直是人類理解如何推理的重要嘗試，無論對數(shù)學(xué)本身還是對生活的其他方面，對經(jīng)營還是僅僅對于思考世界都是非常強(qiáng)大的工具。但是我們現(xiàn)在所教的數(shù)學(xué)完全實(shí)現(xiàn)不了以上目的。

下面再回過頭來思考：什么是數(shù)學(xué)，從事數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)是什么意思。我們認(rèn)為整個(gè)數(shù)學(xué)過程可以分成四步：第一步是提出正確的問題，如果你針對某種情況提出錯(cuò)誤的問題，你幾乎肯定得到錯(cuò)誤的答案，所以你要提出正確的問題，然后你需要用數(shù)學(xué)公式描述現(xiàn)實(shí)世界，建立起數(shù)學(xué)形式之后，就可以開始第三步計(jì)算，計(jì)算意味著從數(shù)學(xué)式子得到答案，第四步是將數(shù)學(xué)答案放回現(xiàn)實(shí)世界并進(jìn)行驗(yàn)證。瘋狂的是，世界范圍內(nèi)，學(xué)生80%的學(xué)習(xí)時(shí)間都花在手動(dòng)進(jìn)行第三步上，而這一步恰巧是計(jì)算機(jī)唯一比人類更擅長的一步，我們應(yīng)該用計(jì)算機(jī)來做第三步，除了少數(shù)需要訓(xùn)練心算的教學(xué)情況外，我們應(yīng)該讓學(xué)生更多地去做第一、二、四步。我們不希望學(xué)生成為三流計(jì)算機(jī)，而希望學(xué)生成為一流問題解決者。關(guān)鍵是要意識(shí)到數(shù)學(xué)不等于計(jì)算，數(shù)學(xué)要遠(yuǎn)大于計(jì)算，計(jì)算可以說是一種你希望盡量避免的東西，它是一種實(shí)現(xiàn)目的的手段，而不是目的本身。因此，能更好地讓計(jì)算機(jī)自動(dòng)化，就能更好地解決更高層次的問題，這是一個(gè)重大問題。

人們會(huì)問，作為文化的一部分，難道我們每個(gè)人不應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)嗎？我們請這一問題的提問者對比古希臘語，在歐洲，有些人將古希臘語當(dāng)做一門學(xué)科在學(xué)習(xí)，但是這是一門很專業(yè)的學(xué)科，我們不能讓全世界所有人都在一生中抽出10年學(xué)古希臘語。我們認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該教授我們所描述的那些內(nèi)容，需要進(jìn)行區(qū)分并認(rèn)識(shí)到，這是一項(xiàng)重大的人類努力，需要有很好的理由才能這樣做。下面我們想?yún)^(qū)分兩種方式，這兩種方式中，技術(shù)怎樣用于數(shù)學(xué)是不同的，這里我們要講的主要是基于計(jì)算機(jī)，這讓世界過去十年煥然一新，這是因?yàn)橛?jì)算機(jī)將數(shù)學(xué)從計(jì)算中解放出來，并把它運(yùn)用到教育中。數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中變化很大，因?yàn)橛?jì)算機(jī)在進(jìn)行計(jì)算?，F(xiàn)在需要變革我們的數(shù)學(xué)教育模式，讓其模仿現(xiàn)實(shí)世界，這是基于計(jì)算機(jī)的，運(yùn)用計(jì)算機(jī)來改善我們的學(xué)習(xí)過程，這也很重要。但我們不能把兩者弄混淆，實(shí)際上我們需要計(jì)算機(jī)的輔助，來幫助基于計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。但是計(jì)算機(jī)輔助本身不夠，將錯(cuò)誤的問題利用得再好也不能讓其成為正確的問題。那么，人們?yōu)楹畏磳ξ以跀?shù)學(xué)方面的主張呢？反對者會(huì)說，你需要先了解基礎(chǔ)。我想，他們的意思是，你需要先懂得手算的原理，再去用計(jì)算機(jī)算。但是想想，要了解什么樣的基礎(chǔ)，難道學(xué)習(xí)開車的基礎(chǔ)是學(xué)習(xí)如何設(shè)計(jì)和維修車輛嗎？在我們看來，數(shù)學(xué)是解決問題的那四步，我們應(yīng)該小心確保將重點(diǎn)放在我們所關(guān)心的目的上，而不是放在我們用于實(shí)現(xiàn)目的的手段上。關(guān)于基礎(chǔ)，技術(shù)發(fā)明的順序影響了人們思考什么是更基礎(chǔ)的東西，紙比計(jì)算機(jī)發(fā)明得早，并不意味著它是更基礎(chǔ)的東西。我們在課程設(shè)計(jì)中存在一個(gè)錯(cuò)誤，它和這個(gè)問題相關(guān)。也就是說，我們?nèi)绾慰紤]這些數(shù)學(xué)課程，典型的數(shù)學(xué)課程中，有配方法、求逆矩陣等，求解方程組，這都和計(jì)算方法有關(guān)，都是以機(jī)械方法為中心的。我們認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)該是以問題為中心。有個(gè)例子說明兩者在文化上具有重大差異，這些問題在孩子們甚至成人求解時(shí)，應(yīng)該能夠激發(fā)他們的求解渴望和興趣，設(shè)計(jì)一種貨幣，你需要什么硬幣和紙幣，對于城市，基于交通，我們應(yīng)該什么時(shí)候出發(fā)去上班或上學(xué)。如果我們早出發(fā)一點(diǎn)，我們會(huì)到得很早，但是我們?nèi)绻霭l(fā)晚一點(diǎn)，我們又會(huì)到很晚。這是一個(gè)很復(fù)雜的建模問題。

下面看看第二種反對意見：“計(jì)算機(jī)讓數(shù)學(xué)變得愚鈍”。我們希望反對者看看現(xiàn)實(shí)世界，你們還相信計(jì)算機(jī)降低了生物、物理、工程、音樂等相關(guān)學(xué)科中所要求的概念性數(shù)學(xué)嗎？事實(shí)其實(shí)正好相反，這些科目的問題所用到的數(shù)學(xué)工具越來越復(fù)雜，這是以往任何時(shí)候都比不了的。當(dāng)然，你也可以想到，這應(yīng)該也能適用于教育。只要正確使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算，你就可以求解更難的問題。你走得更遠(yuǎn)，讓人們獲得更多經(jīng)驗(yàn)，這是關(guān)鍵。人們需要體驗(yàn)數(shù)學(xué)，并獲得相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)然計(jì)算機(jī)使用方法也可能是錯(cuò)誤的，例如將一切都換成選擇題來方便打分，還有人自豪地說，用計(jì)算機(jī)系統(tǒng)教學(xué)生如何手算求解二次方程，計(jì)算機(jī)在這里被當(dāng)作老師，教學(xué)生本來該計(jì)算機(jī)做的事情，在我們看來，這完全反了。我們應(yīng)該讓計(jì)算機(jī)來求解方程，讓學(xué)生明白為什么要求解方程，問題是什么？有了計(jì)算機(jī)后，你可以進(jìn)行更復(fù)雜的計(jì)算了，比如到大學(xué)畢業(yè)甚至博士畢業(yè)，我們的學(xué)生甚至部分老師也只會(huì)求解一元二次方程，相同的問題，而現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)問題可能是三次甚至更高階的方程才能描述的，而一個(gè)數(shù)學(xué)軟件就可以求解三次甚至更高階方程。

第三種反對意見：手算步驟教會(huì)學(xué)生如何理解。我們不得不說，大多數(shù)人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，只是學(xué)習(xí)步驟。我們承認(rèn)，步驟化是生活的一個(gè)重要方面。但有一種明確的步驟化，我們會(huì)把它寫出來，也就是計(jì)算機(jī)程序，相關(guān)過程叫做編程。我們認(rèn)為，編程之于數(shù)學(xué)就像作文之于語言。編程讓你能夠?qū)懴履銓σ粋€(gè)問題的理解，好處在于可以運(yùn)行程序，實(shí)際用它來做事，所以編程是早期數(shù)學(xué)教育的關(guān)鍵部分，他應(yīng)該是高等教育的一部分。作為一種表達(dá)方式，我們希望數(shù)學(xué)更具有實(shí)踐性，同時(shí)更具有概念性?，F(xiàn)在振奮人心的是，我們不需要選擇，現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)在智力和概念性上要比我們現(xiàn)在所講授的數(shù)學(xué)強(qiáng)很多。通過模擬現(xiàn)實(shí)世界，我們將同時(shí)提供實(shí)踐應(yīng)用和概念理解，具體在哪個(gè)鄰域都沒有關(guān)系，有很多事情是可以立刻去做的，而且，采用基于計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)讓我們能夠重排課程體系。

三、改革大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系和評價(jià)體系

現(xiàn)在，課程體系是根據(jù)計(jì)算復(fù)雜度排序的，根據(jù)計(jì)算的難度，實(shí)際不該如此，應(yīng)該按照概念復(fù)雜度排序更好，根據(jù)理解事物的難度，計(jì)算可以交給計(jì)算機(jī)。以微積分為例，我們通常是先講微分再講積分，實(shí)際上，積分從概念上很好理解的，我們通常上課主要講解如何計(jì)算，誰算得對快，誰就是“優(yōu)秀”的學(xué)生。例如，如何求一個(gè)圓的面積這個(gè)例子，我們通過增加多邊形的邊數(shù)，不斷增加，直到邊數(shù)非常大，然后圖形看起來很像一個(gè)圓，這很激動(dòng)人心，如果邊變得非常非常小，就可以基于無窮小邊的概念，來進(jìn)行計(jì)算。邊數(shù)等于無窮，每一段無窮小，微分學(xué)這是最開始，這是我們關(guān)于如何計(jì)算世界中事物的基本概念，這是非常有用非常強(qiáng)大的概念，這提供了一種直觀感受，不是讓學(xué)生迷失在計(jì)算中，而是讓學(xué)生能夠體驗(yàn)數(shù)學(xué)能做些什么。世界很多地方的一大障礙是評估，有一個(gè)問題是，評估是讓教育更好了還是更糟了。這要看情況，但我們認(rèn)為就數(shù)學(xué)而言，如果所有人都在評估手算能力，而不是問題解決能力，這樣會(huì)限制計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)教育中的作用，所以，我們要修正評估方式。

現(xiàn)在我們想講，數(shù)學(xué)改革已經(jīng)很多年了，為什么要現(xiàn)在思考這一問題？原因有很多，我們這樣總結(jié)一下，這樣做的動(dòng)機(jī)很充分，現(xiàn)實(shí)中的數(shù)學(xué)和教育中的數(shù)學(xué)之間差距在逐漸拉大，問題一天不解決，鴻溝就會(huì)越來越大。在大學(xué)里已基本實(shí)現(xiàn)計(jì)算設(shè)備的普及，另外一點(diǎn)是界面，最近很多計(jì)算機(jī)工程方面的嘗試都在試圖優(yōu)化我們同計(jì)算機(jī)打交道的界面以及增強(qiáng)基本功能，現(xiàn)在的大學(xué)生基本普及手機(jī)和ipad等現(xiàn)代化通信設(shè)備，這些智能設(shè)備都可以進(jìn)行數(shù)學(xué)軟件的運(yùn)行。讓學(xué)生超越他們能夠綜合的數(shù)學(xué)水平去理解更復(fù)雜的情況，這是一個(gè)非常重要的標(biāo)志。我們想總結(jié)的不僅是基于計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)，還有一些我們在這里聽到的技術(shù)事實(shí)。有人講到讓數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向個(gè)性化學(xué)習(xí)，我們認(rèn)為這是很關(guān)鍵的，還有在線學(xué)，MOOC, 還有使用真實(shí)數(shù)據(jù)的能力，實(shí)際使用世界的真實(shí)數(shù)據(jù)，不要只使用五個(gè)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，使用昨天來自金融市場的一萬個(gè)實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)，這些都是我們能通過現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)及我們剛剛講到的科學(xué)技術(shù)來實(shí)現(xiàn)的。

四、結(jié)語

有一些情況不僅僅存在于數(shù)學(xué)教育中，我們應(yīng)該在整個(gè)教育中處理，也就是自動(dòng)化的現(xiàn)實(shí)世界中機(jī)械化的作用。隨著世界越來越自動(dòng)化，問題是我們在教育中如何應(yīng)對？一種應(yīng)對方式是繼續(xù)在教育中避開機(jī)器的使用，按照歷史上的老一套來做，先學(xué)會(huì)用手做，然后接受教育后再去使用機(jī)器。我們認(rèn)為這種方式是錯(cuò)誤的。它經(jīng)不起時(shí)間的檢驗(yàn)，最終必將被淘汰。另一種力量是依靠自動(dòng)化的力量，使用最好的現(xiàn)實(shí)世界工具，接受他們存在的事實(shí)，依靠它們來走得更遠(yuǎn)。過去數(shù)十年見證了STEM 的轉(zhuǎn)變，特別是數(shù)學(xué)，推動(dòng)STEM 獲得自動(dòng)化，計(jì)算機(jī)對所有的古老學(xué)科進(jìn)行了最偉大的改造。它改變了這些學(xué)科的基礎(chǔ)，使其自動(dòng)化，使其機(jī)器化，我們應(yīng)該借助于這種力量。我們堅(jiān)信，基于計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)將是必然的，無論以什么形式，未來25 年，如下兩件事中一件會(huì)發(fā)生在數(shù)學(xué)上：數(shù)學(xué)要么像古希臘語一樣，成為高度專業(yè)化的學(xué)科，感興趣的人可以去學(xué)習(xí)，但不該強(qiáng)迫全世界都學(xué)習(xí)它，或者它將轉(zhuǎn)變?yōu)橐环N現(xiàn)實(shí)世界的模擬，轉(zhuǎn)化為基于計(jì)算機(jī)的現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)。一大問題是從哪里開始，哪個(gè)國家，哪些國家會(huì)搶在其它國家前面應(yīng)用這些，并比其它國家更好地推進(jìn)STEM 教育，我們希望能夠加入世界數(shù)學(xué)教育的變革中來，希望參與者都從這個(gè)過程中獲得樂趣，特別是學(xué)生。

學(xué)習(xí)邏輯思維能力的方式有很多，例如一個(gè)很好的方式是編程。用手算來學(xué)習(xí)邏輯是非常錯(cuò)誤的，因?yàn)檫@對大多數(shù)人根本沒有用，他們很多時(shí)候并沒有學(xué)到邏輯，而是學(xué)了一些他們根本不理解的計(jì)算過程。

[1]阿拉斯泰爾·L·德.精通Excel金融建模[M].吳建剛,譯.北京:人民郵電出版社,2012.

[2]趙云河.從數(shù)學(xué)思維的發(fā)展看數(shù)學(xué)教學(xué)[J].內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)學(xué)院學(xué)報(bào)(綜合版), 2004(3):81-83.

[3]周芳芹,湯劍,朱溦.工科大學(xué)生科學(xué)計(jì)算能力培養(yǎng)的思考[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2013(2):38-40.

(責(zé)任編輯 汪繼友)

A Preliminary Study on College Mathematics Education in Information Age

YANG Hui, WANG Zhong-zhi

(School of Mathematical Science and Engineering, Anhui University of Technology, Ma’anshan243002,Anhui, China)

The gap between math in reality and that of college education is getting bigger. The general direction is to correctly understand the process, the goal and the steps of learning math and transform the traditional teaching mode that aims for cultivating students’ calculating skills to the teaching of solving problems through thinking and smart devices of programming calculation.

College Mathematics;learning objective;learning process;curriculum system;assessment system;education reform

2015-10-22

安徽省高等學(xué)校質(zhì)量工程項(xiàng)目:數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)綜合改革試點(diǎn)(2014zy023)；安徽省高校省級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目:基于數(shù)學(xué)文化的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的構(gòu)建(2015jyxm110)；安徽工業(yè)大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目:數(shù)學(xué)文化課程建設(shè)的探索與實(shí)踐(2014jy33)；安徽工業(yè)大學(xué)青年教師科學(xué)研究項(xiàng)目(QZ201418)

楊 輝(1980-)，男，安徽池州人 ，安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院講師，博士。 汪忠志(1965-)，男，安徽安慶人，安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院教授。

G642.0

A

1671-9247(2016)02-0095-03