顧徐亞

[摘要]本文對(duì)江蘇省南通市2015年數(shù)學(xué)中考第28題進(jìn)行了深度解析，其中重點(diǎn)分析了第（2）問的三種解法，從不同的思維角度探討了該問題的普通解法和特殊解法，目的是找到壓軸題的一般解法和教法.

[關(guān)鍵詞]生態(tài)教學(xué)；數(shù)形結(jié)合

試題已知拋物線y=x²-2mx+m²+m-1（m是常數(shù)）的頂點(diǎn)為P，直線Z：y=x-l.

（1）求證：點(diǎn)P在直線l上.

（2）當(dāng)m=-3時(shí)，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，與直線l的另一交點(diǎn)為Q，M是x軸下方拋物線上一點(diǎn)，∠ACM=∠PAQ，求點(diǎn)M的坐標(biāo).

（3）若以拋物線和直線Z的兩個(gè)交點(diǎn)及坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，直接寫出所有符合條件的m的值.

簡(jiǎn)析本題以二次函數(shù)相關(guān)知識(shí)為背景，在知識(shí)層面考查學(xué)生對(duì)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的理解，如何用配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，如何確定一個(gè)點(diǎn)是否在函數(shù)圖象上；在方法層面考查了二次函數(shù)的公式法、配方法、一元二次方程的解法等；在思想層面考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程等思想；在思維品質(zhì)方面著重考查了學(xué)生思維的敏捷性、深刻性和獨(dú)創(chuàng)性.本題設(shè)計(jì)思路較為新穎，解法多樣，其中第（2）問的解決與否與第（3）問沒有任何聯(lián)系，考查了學(xué)生的生態(tài)解題能力.總之，這道題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查是多向的，區(qū)分度很強(qiáng)，是一道較好的壓軸題，

解法

問題（l）：解法1：利用配方法配成頂點(diǎn)式y(tǒng)=（x-m）²+m-l，所以P（m，m-l）.將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=x-1中可知左、右兩邊相等，故點(diǎn)P在l上，

解法2：利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式直接算出頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而代人檢驗(yàn)（此處可以算出頂點(diǎn)橫坐標(biāo)后，將其代入二次函數(shù)解析式算出頂點(diǎn)縱坐標(biāo)亦可）.

問題（2）：解法1：如圖2，作PF⊥x軸于點(diǎn)F，作QG⊥x軸于點(diǎn)G，作ME⊥y軸于點(diǎn)E，由題意可得當(dāng)m=-3時(shí)點(diǎn)P（-3，-4），Q（-2，-3），A（-5，0），B（-1，0），C（O，5）.

由以上各點(diǎn)的坐標(biāo)易得∠QAG=45°=∠A CO=∠CAD.

因?yàn)椤螦CM=∠PAQ，

所以∠QAG+∠PAQ+∠APF=∠ACO+∠ACM+∠ECM=180°.

所以∠APF=∠ECM.

又∠AFP=∠CEM=90°，

所以△AFP∽ △MEC.

所以

設(shè)點(diǎn)M（a，a²+6a+5），則AF=2，PF=4，ME=-a，CE =5-（a²+6a+5）=-a²-6a，代入上式解得a₁=0（舍），a₂=-4，從而得到M的坐標(biāo)為（-4，-3）.

解法2：如圖3，將上述坐標(biāo)均標(biāo)記到網(wǎng)格中，利用網(wǎng)格的特性可以快速找到答案.當(dāng)∠ACM=∠PAQ時(shí)可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)直線CM恰好過點(diǎn)N（CN為右上角矩形的一條對(duì)角線），而N點(diǎn)的坐標(biāo)為（一1，3），由此可以求出直線CN的解析式，進(jìn)而與二次函數(shù)聯(lián)立方程組求出M點(diǎn)的坐標(biāo).

解法3：如圖4，由所解得的坐標(biāo)易得△APQ為直角三角形且兩條直角邊之比為1：3.

故可由點(diǎn)A向直線CM作AH⊥CM于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作HD⊥y軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)A怍AI⊥DH-點(diǎn)I.

因?yàn)椤螦CM=∠PAQ，又∠AQP=∠AHC=90°.

所以△AQF∽△CHA，從而有AH：HC=1：3.

又由所作圖形易得△AIH∽△HDC， 所以

不妨設(shè)點(diǎn)I（-5，y），則HD=-3y，HI=5+3y，CD=15+9y，從而有OD=AI，即15+9y-5=-y，解得y=-l.得日（-3，-1）進(jìn)而可求直線CM的解析式，再求點(diǎn)M的坐標(biāo)，

問題（3）：由（1）的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m-1），再求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m+l，m）. 進(jìn)行分類討論，如：①OQ=OP；②PO=PQ；③QO=QP

利用兩點(diǎn)間距離公式列方程求解即可.

所要特別說明的是本問題與問題2無任何聯(lián)系，學(xué)生可根據(jù)自己的情況自由作答.

關(guān)于壓軸題教學(xué)的幾點(diǎn)思考：

壓軸題從來就不是孤立的數(shù)學(xué)題，它在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)的同時(shí)也在考驗(yàn)我們數(shù)學(xué)教師的課堂教學(xué)能力、綜合駕馭知識(shí)的能力，尤其要讓學(xué)生能夠在教師的教學(xué)中將數(shù)學(xué)知識(shí)吸收消化進(jìn)而轉(zhuǎn)變成自己的解題能力，所以在教學(xué)時(shí)需要做到以下幾點(diǎn)：

（1）化整為零，分散教學(xué).將壓軸題常見的解題方法、思想進(jìn)行總結(jié)歸類，在平時(shí)的教學(xué)中逐步滲透，幫學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的梳理和歸類，讓他們形成一種規(guī)范，一方面減輕了學(xué)生過重的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，另一方面又能大幅度地提高學(xué)生的解題能力.

（2）先易后難，生態(tài)教學(xué)，本道考題的最后一問與學(xué)生難以突破的第（2）問沒有任何關(guān)聯(lián)，但反饋的信息表明大部分學(xué)生并沒能跳過第（2）問直接解決最后一問，說明我們教師在教學(xué)時(shí)需要有意識(shí)地引導(dǎo)，甚至必要時(shí)強(qiáng)制放棄部分難題而去先完成較為簡(jiǎn)單的問題.事實(shí)上，學(xué)生在解決較容易題之后也能更好地投入到難題的思考中去，一方面思維越練越活躍，另一方面容易題都解決后去做難題也無后顧之憂，學(xué)生更能夠全力以赴.

（3）數(shù)形結(jié)合，并聯(lián)教學(xué).本題的第（2）問是學(xué)生最難以突破的一個(gè)問題.筆者提供的三種解答中，自己最欣賞的還是第二種，究其原因，不僅是這種方法最簡(jiǎn)單，更是因?yàn)檫@種方法才是真正的數(shù)形結(jié)合.筆者認(rèn)為真正的數(shù)形結(jié)合是使數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單化而非復(fù)雜化.所以我們教師在教學(xué)時(shí)需要有意識(shí)地將數(shù)與形的教學(xué)齊頭并進(jìn)、彼此聯(lián)系著進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，讓學(xué)生有選擇地去弄清數(shù)與形的關(guān)系，從而形成一種什么時(shí)候用“數(shù)”，什么時(shí)候用“形”的一套自己掌握的法則.

（4）重點(diǎn)知識(shí)，反復(fù)教學(xué)，二次函數(shù)的教學(xué)歷來是初中數(shù)學(xué)的重頭戲，其教學(xué)的成功與否關(guān)系到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功與否，所以必須不惜時(shí)間與代價(jià)全力以赴做好該知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)與訓(xùn)練，教學(xué)中需要教師做到二次函數(shù)的配方法、頂點(diǎn)式、對(duì)稱性、待定系數(shù)法等知識(shí)點(diǎn)的反復(fù)練習(xí)，使學(xué)生達(dá)到熟能生巧的程度.endprint