□王菊女

例談數(shù)學(xué)拓展性課程的開發(fā)途徑

□王菊女

作為學(xué)校自主開發(fā)開設(shè)、供學(xué)生自主選擇的數(shù)學(xué)拓展性課程，目前尚處于研究和開發(fā)的起步階段。從學(xué)生已有的知識和生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以小學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容為載體，根據(jù)學(xué)生發(fā)展需要，吸收和整合小學(xué)數(shù)學(xué)教材以外的知識，通過盤活教材內(nèi)容，立足生活實(shí)踐，倡導(dǎo)鏈接網(wǎng)絡(luò)等途徑開發(fā)拓展性課程，可以挖掘和培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能和特長，讓每一個學(xué)生愉快學(xué)習(xí)、幸福成長。

拓展性課程 開發(fā) 途徑

浙江省教育廳《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》明確指出:“義務(wù)教育課程分為基礎(chǔ)性課程和拓展性課程?！蓖卣剐哉n程是指學(xué)校自主開發(fā)開設(shè)、供學(xué)生自主選擇的課程，它著力于實(shí)施因材施教和個性化教育，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和綜合素質(zhì)。意見還規(guī)定，小學(xué)階段每學(xué)年拓展性課程課時要占總課時比例的15%左右。教師如何在教學(xué)中根據(jù)學(xué)生的興趣愛好開發(fā)拓展性課程就顯得尤為迫切。對此，筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐來談一些思考。

一、盤活教材

教師要想開發(fā)數(shù)學(xué)拓展性課程首先要基于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，盤活教材中的相關(guān)內(nèi)容，并進(jìn)行有效的利用、巧妙的轉(zhuǎn)化、適度的拓展，增設(shè)一些有利于學(xué)生主動探索與創(chuàng)造的學(xué)習(xí)素材，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)的空間。

（一）根據(jù)教材內(nèi)容創(chuàng)設(shè)延伸性的拓展素材

小學(xué)數(shù)學(xué)知識體系具有系統(tǒng)性和嚴(yán)密性，它的編排綜合考慮了“知識的邏輯順序”“學(xué)生的認(rèn)識順序”和“學(xué)生的心理發(fā)展順序”，知識點(diǎn)與知識點(diǎn)之間具有相通性和連貫性。受教材篇幅、教學(xué)時間等限制，能便于學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容無法完整地呈現(xiàn)在現(xiàn)有的教材中，因此教師要仔細(xì)挖掘教材，對某一部分知識進(jìn)行針對的延伸、拓展，有利于培養(yǎng)學(xué)生探究與創(chuàng)新能力。

例如人教版五年級下冊，在學(xué)生學(xué)習(xí)了“2，5，3的倍數(shù)特征”后，我們開發(fā)了“9的倍數(shù)特征”和“不是9的倍數(shù)特征”拓展課（見下圖）。學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)了很多規(guī)律。

不是9的倍數(shù)的一位數(shù)也是有規(guī)律的，它們各自的數(shù)就是商的循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)（見下圖）。

按照這個規(guī)律，學(xué)生一下子就可以算出一個數(shù)用9除得到的商，如34除以9，它的余數(shù)是7，這個7就是商的小數(shù)部分的循環(huán)節(jié)（見下圖）。

（二）結(jié)合教學(xué)內(nèi)容尋求趣味性的拓展素材

數(shù)學(xué)的趣味性可以分為感性的和理性的。感性的趣味性往往體現(xiàn)在題目編寫、題型設(shè)計(jì)、圖式新穎、問題別致等表面的趣味，可以引人入觀，使人對問題發(fā)生興趣，引人去作深入的思考。理性的趣味性是在人們對數(shù)學(xué)問題作了深思以后，又重新發(fā)現(xiàn)了驚奇的一面，使問題變得貼近人的思想，使人有豁然開朗之感。在教學(xué)中教師緊扣教學(xué)內(nèi)容，尋找或引用與教學(xué)內(nèi)容有關(guān)的新穎有趣而富有思考的拓展性素材，展示數(shù)學(xué)外在形式與內(nèi)在結(jié)構(gòu)的和諧美、奇異美，使學(xué)生體味數(shù)學(xué)的奧妙，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的趣味價(jià)值，使課堂教學(xué)富有吸引力。

例如人教版四年級上冊，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“多位數(shù)減多位數(shù)”后，我們開發(fā)了“數(shù)學(xué)黑洞”主題研究課。

學(xué)生通過自主探究，發(fā)現(xiàn)根據(jù)以上規(guī)律，不管選用哪個三位數(shù)最后都得到了495。例如用986試，986-689=297，972-279=693，963-369=549，954-459=495。

學(xué)生在探索過程中，學(xué)習(xí)積極性馬上得到提高，通過反復(fù)研究（例如開始時取數(shù)8028，最大的重新組合數(shù)為8820，最小的為288，兩者的差為8532。重復(fù)上述過程得出8532-2358=6174），發(fā)現(xiàn)最后總能得到6174，這就是著名的“卡普雷卡爾黑洞：6174”。接著引導(dǎo)學(xué)生用同樣的規(guī)則自己在課外繼續(xù)探究五位數(shù)、六位數(shù)等規(guī)律，學(xué)生探究的激情被點(diǎn)燃了，于是樂此不疲地投入研究中。這樣使原本以計(jì)算為主的“多位數(shù)減多位數(shù)”的練習(xí)，變得形象、生動，而且體會到數(shù)學(xué)自身的奇特現(xiàn)象，感受到數(shù)學(xué)如此巧妙，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的奧秘，體會到數(shù)學(xué)的內(nèi)在之美。

（三）針對練習(xí)內(nèi)容創(chuàng)設(shè)思考性的拓展素材

雖然為了及時有效地鞏固學(xué)生所學(xué)的知識，教材中編排的習(xí)題大部分是封閉的，答案是唯一的，但這樣的習(xí)題不利于發(fā)揮學(xué)生的潛能、個性的發(fā)展。在教學(xué)中，教師應(yīng)通過挖掘習(xí)題內(nèi)涵，探究問題的實(shí)質(zhì)，將習(xí)題變式、引申、重組等，使其封閉的變?yōu)殚_放的，淺顯的變?yōu)樨S富的，讓學(xué)生在解決問題的過程中，綜合素質(zhì)得到提高。

例如人教版一年級下冊，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“認(rèn)識圖形（二）”后，課文第7頁的課后練習(xí)題：把一張長方形的紙剪成大小相等的兩塊，你能想出幾種剪法？根據(jù)此題，教師將其改編成“花壇設(shè)計(jì)”的主題研究活動課（如下）。

學(xué)生根據(jù)自身對“同樣多”的理解以及生活經(jīng)驗(yàn)和有關(guān)資料進(jìn)行了創(chuàng)造性設(shè)計(jì)。有的把正方形分成同樣多的兩部分進(jìn)行種花（整個花壇種滿花），有的只種同樣多的花（花壇不種滿）（見下圖）。

在設(shè)計(jì)過程中，大部分小朋友都用水彩筆填上了不同的顏色，并用文字說明種什么花。有的在沒有種上花的花壇里進(jìn)行自主添加建筑物，如石凳、噴水池等。通過習(xí)題改編，使不同層次的學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上得到發(fā)展，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新性思維，同時使學(xué)生體會到美的創(chuàng)造和美的享受。

又如，針對人教版四年級上冊第50頁一道練習(xí)題：將0、2、3、4、5這五個數(shù)字組成三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法算式，你能寫出幾個？你能寫出乘積是最大的算式嗎？針對該題目，我們開發(fā)了“積的最大和最小”主題拓展課。教師首先出示：用一根長32厘米的鐵絲做成一個長和寬都是整數(shù)的長方形，能做幾種？誰的面積大？學(xué)生利用已學(xué)習(xí)的周長和面積知識，初步得出：兩數(shù)之和不變時，兩數(shù)相差越小積越大，兩數(shù)相差越大積越小。接著師生共同探究：將1、2、3、4這四個數(shù)字組成兩個兩位數(shù)（每個數(shù)字只用一次），要使積最大應(yīng)該是哪兩個數(shù)？要使積最小應(yīng)該是哪兩個數(shù)？學(xué)生遷移規(guī)律，在確定最高位后，將排列組合的兩種情況利用減法求差確定了最大和最小的答案。最后出示教材中的練習(xí)題，學(xué)生在列舉四種情況的過程中發(fā)現(xiàn)“大數(shù)配小數(shù)，小數(shù)配大數(shù)”與“減法求差”的方法一致。此過程滲透方法，培養(yǎng)建模思想，趣味性和數(shù)學(xué)味得到彰顯。

二、融通實(shí)踐

實(shí)踐活動主要是以數(shù)學(xué)為主軸，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的同時帶動其他學(xué)科知識來解決實(shí)際問題。在教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識基礎(chǔ)，開展調(diào)查探究、勞動技術(shù)、社會實(shí)踐、數(shù)學(xué)游戲、數(shù)學(xué)大講壇等活動，讓學(xué)生了解社會、探究自然、體驗(yàn)生活，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探究、動手實(shí)踐、團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力，使學(xué)生動手動腦進(jìn)行實(shí)踐和思維想象，發(fā)展學(xué)生的綜合實(shí)踐能力。

（一）基于課本內(nèi)容的小課題研究

教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容篩選、提煉出一些具有一定挑戰(zhàn)性和綜合性問題作為小課題，引導(dǎo)學(xué)生圍繞這個問題綜合運(yùn)用已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，通過自主探索和合作交流，解決一些與數(shù)學(xué)知識、生活經(jīng)驗(yàn)密切聯(lián)系的實(shí)際問題，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力得到培養(yǎng)。

例如人教版四年級上冊，學(xué)生在學(xué)習(xí)了“大數(shù)的認(rèn)識”之后，教師開發(fā)了“對折的力量”為主題的數(shù)學(xué)拓展課。教師首先引導(dǎo)學(xué)生猜想：一張普通報(bào)紙的厚度為0.01毫米，如果把一張報(bào)紙對折30次，你認(rèn)為它的高度大約是多少呢？它的高度會超過世界屋脊珠穆朗瑪峰的高度（約為8844米）嗎？當(dāng)學(xué)生表示肯定不可能時，教師鼓勵學(xué)生動手折一折。學(xué)生拿出報(bào)紙動手對折，發(fā)現(xiàn)當(dāng)報(bào)紙對折到第8次時，就折不動了。然后通過計(jì)算器把每次對折發(fā)生的變化，記錄在下面的表格中，發(fā)現(xiàn)報(bào)紙每對折一次，報(bào)紙的層數(shù)是原來的2倍，當(dāng)把報(bào)紙對折30次時，所達(dá)到的高度就遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了珠穆朗瑪峰的高度。

對折次數(shù) 報(bào)紙的層數(shù) 對折后的厚度（毫米）1 2 3……

學(xué)生在這一系列的數(shù)學(xué)活動中，綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)了數(shù)感。

又如人教版五年級下冊，結(jié)合“長方體和正方體”這一主題單元，開發(fā)了一系列的主題實(shí)踐活動課。如“變化的小紙盒”，通過將立體圖形打開得到平面展開圖，再將平面展開圖圍成立體圖形，在平面展開圖與立體圖形相互轉(zhuǎn)化的過程中加深立體圖形與平面展開圖之間的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的空間觀念；如“香煙的包裝”，學(xué)生運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過的表面積計(jì)算、排列組合等數(shù)學(xué)知識和方法，通過觀察、操作、分析、綜合、抽象、概括，解決在包裝過程中包裝盒的表面積問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的能力。

（二）基于校內(nèi)外資源的小課題研究

生活是數(shù)學(xué)的寶庫，現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息。教師根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和知識基礎(chǔ)，開展調(diào)查統(tǒng)計(jì)、勞動制作等活動，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，發(fā)展學(xué)生的個性，促使學(xué)生關(guān)心社會問題，培養(yǎng)學(xué)生社會責(zé)任感。學(xué)生在自主探究與合作交流中理解數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，從而培養(yǎng)了學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。

例如人教版六年級上冊，學(xué)生學(xué)習(xí)了百分?jǐn)?shù)和扇形統(tǒng)計(jì)圖以后，教師以“生活中的百分?jǐn)?shù)”為主題，引導(dǎo)學(xué)生自主選擇一個主題進(jìn)行調(diào)查、統(tǒng)計(jì)與分析。其中一個小組選擇了“數(shù)學(xué)課外閱讀情況”的調(diào)查與分析，調(diào)查結(jié)果如下：

×××小學(xué)六（3）班學(xué)生課外閱讀情況統(tǒng)計(jì)表

×××小學(xué)六（3）班學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)課本情況統(tǒng)計(jì)表

×××小學(xué)六（3）班學(xué)生數(shù)學(xué)課外閱讀情況統(tǒng)計(jì)表

×××小學(xué)六（3）班學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題讀題情況統(tǒng)計(jì)表

學(xué)生通過調(diào)查、收集信息，分析統(tǒng)計(jì)結(jié)果，得出現(xiàn)在班級一般意義上的數(shù)學(xué)閱讀幾乎是“零數(shù)學(xué)閱讀”的結(jié)論，并且分析了出現(xiàn)這種情況的原因和危害。

有的小組選擇了“學(xué)生喜歡吃洋快餐”為主題，進(jìn)行了調(diào)查、統(tǒng)計(jì)與分析，如右下圖：

通過這樣的調(diào)查和統(tǒng)計(jì)活動，學(xué)生得出了：大多數(shù)的學(xué)生都有喜歡吃“洋快餐”的習(xí)慣。這種飲食習(xí)慣不僅對學(xué)生的身體健康沒有好處，而且也不利于發(fā)展我國的特色食品。這樣，學(xué)生既學(xué)會了收集信息、處理信息，又同時體會到了調(diào)查統(tǒng)計(jì)的作用。

（三）基于鄉(xiāng)土資源的小課題研究

鄉(xiāng)土資源主要是指小學(xué)生學(xué)習(xí)、生活所在地的自然資源和人文資源，它包括鄉(xiāng)土地理、自然景觀、民間習(xí)俗、歷史變遷、傳統(tǒng)文化、生產(chǎn)和生活經(jīng)驗(yàn)等。教師根據(jù)小學(xué)生的實(shí)際情況，從這些內(nèi)容中尋找蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)文化素材，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力和創(chuàng)新精神。如教師根據(jù)學(xué)生感興趣的自然現(xiàn)象、人文景觀、歷史變遷等開展參觀、調(diào)查活動。

例如，根據(jù)臨海市尤溪鎮(zhèn)旅游資源豐富，節(jié)假日旅游的人數(shù)眾多的鄉(xiāng)土資源，教師設(shè)計(jì)了“美麗尤溪，旅游勝景”為主題的模擬實(shí)踐活動系列課程。教師組織六年級學(xué)生通過模擬解決旅游過程中可能遇到的問題,如交通問題、住宿問題、吃飯問題、旅游景點(diǎn)選擇與購物活動的規(guī)劃等，進(jìn)行相關(guān)的小課題研究。有的小組研究尤溪鎮(zhèn)的旅游概況，有的小組研究尤溪鎮(zhèn)的旅游線路，有的小組介紹尤溪鎮(zhèn)農(nóng)業(yè)結(jié)構(gòu)特征和土特產(chǎn)等。

三、鏈接網(wǎng)絡(luò)

當(dāng)前是多媒體網(wǎng)絡(luò)迅速發(fā)展的信息化時代，網(wǎng)絡(luò)資源為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富的素材。在教學(xué)過程中，教師大體可從兩個方面對網(wǎng)絡(luò)素材進(jìn)行開發(fā)，一是挖掘網(wǎng)絡(luò)上的教育軟件，尤其是具有趣味性的游戲軟件；二是尋找網(wǎng)絡(luò)上有關(guān)的數(shù)學(xué)故事，如數(shù)學(xué)趣聞、數(shù)學(xué)家軼事等。教師有效利用網(wǎng)絡(luò)素材既可以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維，又培養(yǎng)學(xué)生收集信息、處理信息的能力。

（一）用好教育游戲軟件

網(wǎng)絡(luò)教育游戲軟件是指教育內(nèi)容作為游戲內(nèi)容，運(yùn)用游戲的方法，綜合考慮游戲的教育性與娛樂性，使游戲者在游戲過程中能夠掌握知識、培養(yǎng)情感、提高技能、益于發(fā)展智力，以達(dá)到教育目的的教育類游戲軟件。在互聯(lián)網(wǎng)時代，教育游戲軟件也越來越豐富，如國內(nèi)上海昱泉公司的“游戲?qū)W堂”、創(chuàng)新未來公司的wawayaya、北京中教電信有限公司的“真知探索”等等，國外比較典型的有北美kaboose公司的Funschool、美國Sheppared software等專業(yè)的教育游戲軟件。在教學(xué)中，教師可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和年齡特征，從網(wǎng)絡(luò)中收集一些符合學(xué)生“玩”的教育游戲，使學(xué)生在玩中手、腦、耳、口和左右半腦同時運(yùn)用，從而鍛煉了學(xué)生思維的敏捷性、深刻性，促使學(xué)生的智力水平得到提高。

例如在學(xué)生學(xué)習(xí)了周長、面積和體積后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生“玩”微軟公司為教師和學(xué)生推出的教育版Minecraft(《我的世界》)。教師通過游戲布置算數(shù)任務(wù)，讓學(xué)生以三人一組的方式組隊(duì)完成，這樣通過游戲與數(shù)學(xué)教學(xué)混搭在一起進(jìn)一步學(xué)習(xí)物體的周長、面積和體積。學(xué)生在“玩”的過程中可以輕松地通過建造物體，并以游戲的方式模擬應(yīng)用于實(shí)際生活中。這種游戲的方式能夠?qū)?shù)學(xué)概念視覺化，達(dá)到寓教于樂的效果。

（二）尋找數(shù)學(xué)故事

數(shù)學(xué)故事是指以現(xiàn)實(shí)生活為基礎(chǔ)，以數(shù)學(xué)課本內(nèi)容為依據(jù)，以數(shù)字、運(yùn)算、計(jì)量、代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、邏輯與推理等方面的知識為主要內(nèi)容的故事。在互聯(lián)網(wǎng)迅速發(fā)展的今天，多媒體網(wǎng)絡(luò)資源非常豐富，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容引導(dǎo)學(xué)生通過上網(wǎng)搜索，尋找古今中外著名的數(shù)學(xué)故事，如數(shù)學(xué)家的軼事、卓越成就，著名數(shù)學(xué)家如高斯、華羅庚、蘇步青等做過的名題，數(shù)學(xué)益智游戲，數(shù)學(xué)趣聞，數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史等，從而豐富學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，開闊學(xué)生的視野，感悟數(shù)學(xué)思想，啟迪數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生自主獲取信息進(jìn)行自主學(xué)習(xí)的能力。

例如人教版六年級上冊，學(xué)生學(xué)習(xí)了“比的應(yīng)用”，了解了有關(guān)“黃金比”的知識后，教師以“生活中的黃金比”為主題，讓學(xué)生上網(wǎng)查找有關(guān)“黃金比”知識，探究生活中哪些設(shè)計(jì)用到了黃金比。學(xué)生交流探究材料如下：

總之，有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)拓展性課程建設(shè)的思考與實(shí)踐是很有意義、很有價(jià)值的。它無疑為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)叩開了一扇窗，對落實(shí)學(xué)校的育人目標(biāo)，造就學(xué)生的主體意識，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)渠道，改良學(xué)生的學(xué)習(xí)方法，提升學(xué)生的自我管理和選擇性學(xué)習(xí)等具有重要的作用。

材料一：黃金分割與生活

材料二：人體與黃金分割

材料三：美術(shù)與黃金分割

[1]陳加倉.小學(xué)數(shù)學(xué)拓展性課程的開發(fā)與實(shí)踐研究[J].課程教育研究,2013（2下）.

[2]姜為燕.關(guān)于方法指導(dǎo)，拓展數(shù)學(xué)思維——小學(xué)數(shù)學(xué)拓展性課程建設(shè)的研究與實(shí)踐[J]，教學(xué)實(shí)踐，2014（1）.

（浙江省臨海市哲商小學(xué) 317000）