□楊靈君

尋根而入順勢(shì)而導(dǎo)
——“正比例的意義”教學(xué)導(dǎo)入研究

□楊靈君

教學(xué)導(dǎo)入是教學(xué)中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，是聯(lián)系新舊知識(shí)關(guān)系的紐帶。通過對(duì)“正比例的意義”一課的導(dǎo)入的課例進(jìn)行研究，可以將之歸納成四個(gè)方面：一是從觀察數(shù)量的角度尋找變量關(guān)系；二是從結(jié)合圖形的角度尋找變量關(guān)系；三是從自學(xué)聯(lián)想的角度尋找變量關(guān)系；四是從鏈接舊知的角度尋找變量關(guān)系。無論是哪一種，教學(xué)導(dǎo)入都應(yīng)始終穿行在學(xué)生原有認(rèn)知與新知生長(zhǎng)點(diǎn)之間，做到尋根而入，順勢(shì)而導(dǎo)。

正比例的意義 教學(xué)導(dǎo)入 綜述

教學(xué)導(dǎo)入是教學(xué)中不可或缺的重要環(huán)節(jié)，是聯(lián)系新舊知識(shí)關(guān)系的紐帶。它一頭扎根于學(xué)生的起點(diǎn)，一頭牽引著知識(shí)的深入。如何準(zhǔn)確架構(gòu)兩者的聯(lián)系，則是成功導(dǎo)入的標(biāo)志?！罢壤囊饬x”是在學(xué)生學(xué)習(xí)了“比和比例”，認(rèn)識(shí)了常見數(shù)量關(guān)系等基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的，幫助學(xué)生建立正比例概念則是本課要達(dá)到的目標(biāo)。那么，到底有哪些導(dǎo)入方式能將學(xué)生從出發(fā)點(diǎn)引向知識(shí)的生長(zhǎng)點(diǎn)呢？筆者認(rèn)真研讀了近30多年間中國知網(wǎng)上關(guān)于“正比例”教學(xué)的89篇文章和身邊教師的12篇教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)其導(dǎo)入部分進(jìn)行了歸類整理和研究分析。發(fā)現(xiàn)他們?cè)诮虒W(xué)導(dǎo)入的知識(shí)起點(diǎn)上有所不同：有的是從研究什么是“相關(guān)聯(lián)的量”，幫助學(xué)生先厘清概念開始；有的是從材料探究中直接進(jìn)行兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量“變與不變”的變量關(guān)系研究開始。后者居多，約占72%。導(dǎo)入方式概括起來大體上可歸納為從“觀察數(shù)量”“結(jié)合圖形”“自學(xué)聯(lián)想”“鏈接舊知”四個(gè)角度進(jìn)行。

一、從觀察數(shù)量的角度尋找變量關(guān)系

研究正比例關(guān)系是研究相關(guān)聯(lián)兩個(gè)量之間的一種特定關(guān)系，所以教學(xué)中更多地會(huì)考慮到提供有相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，讓學(xué)生從觀察中去分析出它們特定的關(guān)系。由于教師教學(xué)價(jià)值和目標(biāo)的差異，提供素材的數(shù)量有很大的不同，以下三種方法顯示出了不同層次的導(dǎo)入。

導(dǎo)入一：從研究一組數(shù)量的變化特征中導(dǎo)入

1.出示一支圓珠筆，假如這支筆的單價(jià)是3元，你還能知道什么？

2.然后依據(jù)學(xué)生的發(fā)言，逐步形成下表。

圓珠筆/支 1 2 3 4 5 …總錢數(shù)/元 3 6 9 12 15 …

3.引導(dǎo)觀察，同桌交流。

想一想：購買圓珠筆的總錢數(shù)與支數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

生：總錢數(shù)隨著筆的數(shù)量的增加而增加。

師（追問）：在這兩個(gè)變化的量中什么是不變的？

生：?jiǎn)蝺r(jià)不變。

4.歸納概括。

教師根據(jù)學(xué)生的回答，寫出相對(duì)應(yīng)數(shù)量的比，說明比值不變，從中概括這兩個(gè)量成正比例關(guān)系。

采用一組數(shù)量“單刀直入”，能較快地揭示并概括出正比例概念。但是，基于一組數(shù)據(jù)的特殊性，學(xué)生是否能順利地遷移內(nèi)在“關(guān)系”，有待于進(jìn)一步思考。

導(dǎo)入二：從研究多組數(shù)量的共同規(guī)律中導(dǎo)入

1.出示如下三組數(shù)量：

（1）六個(gè)相同的杯子注入不同高度的水

高度/cm 2 4 6 8 10 12體積/cm3 50 100 150 200 250 300底面積/cm2

（2）汽車行駛的路程和時(shí)間情況

時(shí)間/時(shí) 2 3 4 5 6 7路程/km 100 150

（3）商店商品銷售情況

花生/kg 12 11 10 9 8 7總價(jià)/元 180 165

要求學(xué)生先觀察，再根據(jù)已知數(shù)量把空格填寫完整。

2.引發(fā)思考，抽象概括。

師：觀察這三個(gè)表格中的數(shù)量變化，它們的共同點(diǎn)是什么？

學(xué)生通過自主觀察，發(fā)現(xiàn)每組數(shù)量都有一個(gè)量隨著另一個(gè)量變化而變化。通過進(jìn)一步地觀察、交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一組的兩個(gè)變化的量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比的比值不變，從而概括出正比例概念。

采用這樣的導(dǎo)入，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其規(guī)律一定比“導(dǎo)入一”要慢得多。但通過多組數(shù)量的觀察，必然能豐富學(xué)生的感知，便于學(xué)生利用類比的思想去發(fā)現(xiàn)每組數(shù)量變化的共性，有效促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的順向構(gòu)建。

導(dǎo)入三：從研究多組數(shù)量的不同變化中導(dǎo)入

教學(xué)伊始，教師出示如下三張表格：

（1）一種水果的總價(jià)和數(shù)量

數(shù)量/千克 1 2 3 4 5總價(jià)/元 4 8 12 24……

（2）一輛汽車行駛的路程和時(shí)間

時(shí)間/時(shí) 1 2 3 4 5路程/km 80 160 240 480……

（3）小明的年齡和身高

年齡/歲 1 2 3 4身高/cm 76 88 95 108 6……

要求學(xué)生根據(jù)表格中的已知數(shù)量把表格填寫完整。

學(xué)生在填寫的過程中會(huì)感受到前兩張表格中的兩個(gè)數(shù)量的變化是有規(guī)律的，而最后一張并沒有規(guī)律。突出前兩張表格中兩個(gè)數(shù)量變化的共同規(guī)律，從而概括出正比例概念。

與“導(dǎo)入二”相比，這種導(dǎo)入增設(shè)了一組不同變化規(guī)律的兩個(gè)相關(guān)聯(lián)量。學(xué)生通過比較異、同點(diǎn)，能更好地把握知識(shí)本質(zhì)，在分清事物異同中顯示知識(shí)間的聯(lián)系與區(qū)別，使其達(dá)到對(duì)知識(shí)本質(zhì)和規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)。

在設(shè)計(jì)不同變化的導(dǎo)入素材時(shí)，有教師還把正、反比例組合在一起進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)開始，給學(xué)生提供兩張表格的數(shù)量，如一張是路程與時(shí)間關(guān)系，另一張是速度與時(shí)間關(guān)系。讓學(xué)生在填寫表格的過程中去發(fā)現(xiàn)路程與時(shí)間對(duì)應(yīng)的數(shù)量的比值相等（即速度一定），而另一張速度與時(shí)間對(duì)應(yīng)的積相等（即路程一定），從中幫助學(xué)生概括出正比例與反比例的概念。這樣的導(dǎo)入不僅只涉及這一課，而是把整個(gè)單元的正、反比例內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)組合，使學(xué)生在正、反比例的并進(jìn)中學(xué)習(xí)，有利于提高學(xué)生的辨析能力。

二、從結(jié)合圖形的角度尋找變量關(guān)系

數(shù)學(xué)是研究客觀世界中數(shù)與形的一門學(xué)科，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，需要通過數(shù)與形的結(jié)合加深對(duì)知識(shí)的理解。從這一角度看，以上的導(dǎo)入素材只是在純數(shù)量的角度來研究?jī)蓚€(gè)變量的關(guān)系，那怎樣把數(shù)量的變化與圖像結(jié)合起來？以下兩個(gè)例子就是結(jié)合圖形的兩種導(dǎo)入。

導(dǎo)入四：從實(shí)驗(yàn)到圖示的觀察中導(dǎo)入

1.操作與思考中引出相關(guān)聯(lián)的量。

教師請(qǐng)兩名學(xué)生在量杯中裝入50 mL水，量得高度為5cm。

接著，教師在同樣的杯子中倒入100mL水，讓學(xué)生猜猜水會(huì)有多高。

然后，操作驗(yàn)證。

最后，引發(fā)思考：為什么水的高度是它的2倍呢？從而引出兩種相關(guān)聯(lián)的量。

2.猜想與操作驗(yàn)證中形成圖示。

教師繼續(xù)將150mL的水倒入第三個(gè)相同的杯子中。先讓學(xué)生猜想，再觀察驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)杯中水的高度是第一個(gè)杯子的3倍。

然后繼續(xù)引發(fā)對(duì)裝入200mL、250mL……水的思考。

與此同時(shí)，教師適時(shí)將操作的過程用圖示在課件中顯示出來（見圖1）。

圖1

圖2

3.抽象成圖像，研究變量關(guān)系。

教師隱去實(shí)物圖片，抽象成圖像（見圖2），然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變量關(guān)系研究，并概括出正比例概念。

這種導(dǎo)入從具體的實(shí)驗(yàn)操作開始，讓學(xué)生親身經(jīng)歷和親眼目睹物理變化的過程，再現(xiàn)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，引來源頭活水，為進(jìn)一步深入探究奠定基礎(chǔ)，雖然起點(diǎn)低，但落腳點(diǎn)較高。

導(dǎo)入五：從圖像的直觀比較中導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，讀取信息。

圖3

師：春天是游玩的好季節(jié)。有三個(gè)班同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，經(jīng)過的時(shí)間和所走路程分別畫成了三幅圖（見圖3）。

2.觀察圖像，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：請(qǐng)你觀察圖上兩個(gè)數(shù)量的變化關(guān)系，互相說說你發(fā)現(xiàn)了什么。

學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一班和第三班所行走的路程除以對(duì)應(yīng)的時(shí)間都是相等的，也就是行走的速度不變；而第二班所行走的速度在變化。同時(shí)，發(fā)現(xiàn)第三班行走的速度最快。

3.探究規(guī)律，抽象概括。

師：是不是這樣的呢？我們可以從圖中選取相關(guān)的數(shù)據(jù)進(jìn)一步研究。

教師引導(dǎo)學(xué)生將圖像中對(duì)應(yīng)的數(shù)量記錄在表格上，進(jìn)一步印證兩個(gè)相關(guān)聯(lián)量的變化規(guī)律，從而概括出正比例概念。

以上兩種導(dǎo)入都將正比例圖像結(jié)合在導(dǎo)入過程之中，使學(xué)生從圖像中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相關(guān)聯(lián)量的變化規(guī)律，經(jīng)歷從直觀形象到抽象概括的過程，并為學(xué)生后面理解正比例圖像呈一條直線做好鋪墊。

三、從自學(xué)聯(lián)想的角度尋找變量關(guān)系

這里所說的“自學(xué)聯(lián)想”，其意思是無須教師給學(xué)生更多的具體素材，而只給學(xué)生提出自學(xué)和聯(lián)想的要求。

導(dǎo)入六：從自學(xué)聯(lián)想中導(dǎo)入

師：今天我們一起來學(xué)習(xí)正比例（揭示課題：正比例的意義），我相信同學(xué)們通過自學(xué)一定會(huì)搞清楚正比例的意義。請(qǐng)大家根據(jù)以下的學(xué)習(xí)要求進(jìn)行自學(xué)。

1.先自學(xué)課本第45頁，再完成以下要求。

①書上是通過（ ）和（ ）兩個(gè)量的變化來分析它們成正比例的量的。通過這兩個(gè)量的對(duì)應(yīng)數(shù)量的比的比值總是（ ），這個(gè)比值就是（ ）不變。

②書上說的怎樣的兩種量是正比例的量和正比例的關(guān)系？在書上把它畫出來。

2.你能自己舉例來說明以下表格中兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？填上適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)后，再互相說一說這兩種量為什么能成為正比例的量？

（1）一輛汽車行駛的路程和時(shí)間

時(shí)間/時(shí)路程/km

（2）在做一件 事時(shí)，工作時(shí)間與工作總量

時(shí)間/（）總量/（）

為了讓學(xué)生有目的地自學(xué)，并能及時(shí)檢測(cè)自學(xué)效果，從第①個(gè)要求中就可以看出，讓學(xué)生把自學(xué)之后的具體素材進(jìn)行摘錄和在書上畫出。第②個(gè)要求實(shí)質(zhì)上是讓學(xué)生模仿課本上的兩個(gè)變化的量，讓學(xué)生自己聯(lián)想兩種相關(guān)聯(lián)的量，說明兩種量怎樣能成為正比例關(guān)系。而且第⑵小題的表格略有開放性，要求學(xué)生聯(lián)想要做什么工作，時(shí)間單位和總量單位都由學(xué)生自己來定。通過這樣模仿性的聯(lián)想思考，使學(xué)生自己感悟到正比例的概念。顯然這種教學(xué)導(dǎo)入更好地凸顯了“以學(xué)定教”的教學(xué)理念。

四、從鏈接舊知的角度尋找變量關(guān)系

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：學(xué)生的學(xué)習(xí)是在已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的建構(gòu)過程。在正比例意義的教學(xué)導(dǎo)入過程中，就有教師利用知識(shí)鏈之間的前后關(guān)系，創(chuàng)設(shè)素材激活學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生順利地從舊知發(fā)展到新知。

導(dǎo)入七：從鏈接比和比例中導(dǎo)入

一上課，教師就出示（ ）∶（ ）=4。

師：你想到什么？如果比的后項(xiàng)是1？如果比的后項(xiàng)是2？是2.5？……

教師依據(jù)學(xué)生的回答依次形成下表。

前項(xiàng) 4 8 10 12 16 …后項(xiàng) 1 2 2.5 3 4 …

然后再引導(dǎo)學(xué)生說說：你是怎么想的？再觀察這組數(shù)據(jù)你還發(fā)現(xiàn)了什么？

這樣的導(dǎo)入非常順暢地將學(xué)生從比的基本性質(zhì)牽引到了兩個(gè)量之間的變化規(guī)律上來。不僅能讓學(xué)生理解正比例中兩個(gè)變量的變化規(guī)律，而且將新舊知識(shí)歸并成一個(gè)整體，突出了數(shù)學(xué)的本質(zhì)和聯(lián)系。當(dāng)然，除了從鏈接比和比例等知識(shí)進(jìn)行導(dǎo)入，也可與分析基本數(shù)量關(guān)系等知識(shí)進(jìn)行遷移建構(gòu)。

綜上所述，我們不難發(fā)現(xiàn)：盡管正比例教學(xué)的導(dǎo)入有多種方式，但它始終穿行在學(xué)生原有的認(rèn)知與新知生長(zhǎng)點(diǎn)之間。因此，在設(shè)計(jì)教學(xué)導(dǎo)入時(shí)，教師首先要摸清學(xué)生已經(jīng)站在哪里，具有哪些知識(shí)；明白要帶學(xué)生去哪里，路上會(huì)有哪些坎，通向目標(biāo)的關(guān)鍵點(diǎn)在哪里。然后再依據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和實(shí)際情況定奪導(dǎo)入方式。也就是說，教學(xué)導(dǎo)入應(yīng)做到尋根而入，順勢(shì)而導(dǎo)。

（注：本文作者系朱樂平數(shù)學(xué)名師工作站“一課研究”組成員）

[1]張明紅.正比例意義教學(xué)設(shè)計(jì)與思考[J].科教文匯，2013（10下）.

[2]錢春平.經(jīng)歷數(shù)學(xué)的建構(gòu)過程[J].新課程, 2012（1）.

[3]高小娣.追溯“意義”的源頭[J].小學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)（數(shù)學(xué)），2011（4）.

（浙江省臨海市回浦實(shí)驗(yàn)小學(xué) 317000）