□郭建華 于 健

（南京市第二十九中學，江蘇南京 210036；南京市金陵中學，江蘇南京 210005）

強化幾種意識 破解向量最值問題*

□郭建華 于 健

（南京市第二十九中學，江蘇南京 210036；南京市金陵中學，江蘇南京 210005）

學生遇到較靈活的向量最值問題時還是會出現(xiàn)思維受阻的情況.教師在教學中應該強化六種意識，幫助學生形成向量解題意識，突破向量最值問題的解題“瓶頸”.同時引導學生總結提煉向量最值問題中所蘊含的數學思想方法，讓學生進一步理解和把握變量分離法、數形結合方法（基于幾何表示的幾何法，基于坐標表示的代數法）、方程思想、化歸與轉化思想方法的實質，積累解題經驗，發(fā)展思維能力.

意識；向量；最值問題

向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何與三角函數的一種有效工具，有著極其豐富的實際背景.平面向量是高考考查的重點知識之一，特別是與最值相關的題目，更是備受命題者的關注.其設計精巧、入口寬、解法靈活，可有效考查學生用向量的語言和方法表述和解決一些問題，同時也發(fā)展學生的運算能力以及分析問題、解決問題的能力.但學生遇到較靈活的向量最值問題時還是不知所措，思維受阻，錯誤率高.筆者認為在平時的教學中應該著重培養(yǎng)學生的“幾種意識”，讓學生形成“向量思想”，以此突破向量最值問題.下面筆者試舉例加以分析.

一、“坐標”意識

所謂“坐標”意識，是指通過構建直角坐標系，將向量改用坐標表示，將要求解的目標轉化為代數問題來處理的一種思維方式.“坐標法”是解決向量問題的一條重要途徑，依據題設條件中所給的等邊三角形、直角三角形、矩形等特殊圖形，很容易想到建立直角坐標系求解.其優(yōu)點是思維方式比較“固定”，學生很容易掌握[1]3.關鍵是合理建立直角坐標系，準確求出關鍵點的坐標.特別是處理與向量相關的最值問題時，若利用向量和函數的相關知識求解使得運算復雜，解題過程較煩瑣時，則可以考慮用“坐標法”來嘗試一下，會達到事半功倍的效果.

例1在面積為2的△ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P在直線EF上，則的最小值是_____.

解析由題設易知，△PBC的面積為1，以B為坐標原點，BC所在直線為x軸，過點B與直線BC垂直的直線為y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系，設則，當且僅當時取等號，所以的最小值為

圖1

評析 充分利用平面幾何圖形的幾何特征，恰當建立直角坐標系，將幾何問題坐標化，轉化為代數問題求解，突出了問題求解的通性通法.通過引入參數和坐標運算，立即得目標函數，進而將問題轉化為求函數的最值問題.這樣求解可以大大降低思維難度，同時也能起到化難為易的效果.

二、“基底”意識

所謂“基底”意識，是指有預見性地選擇適當的“基底”，并用“基底”來表示有關向量，以實現(xiàn)化歸的一種思維方式．“基底”意識的本質是平面向量基本定理的靈活運用，難點是如何選擇“基底”有利于簡化運算[1]4.對于處理與向量相關的最值問題時，適當選擇基底，將未知向量用基底表示，再進行線性運算，將幾何問題代數化，會使復雜問題簡單化.

例2在Rt△ABC中，CA=CB=2，M，N是斜邊AB上的兩個動點，且，則的最大值為 ．

評析 用基底意識解題，首先要有預見性地、恰當地選擇基底，其次要用基底正確地表示圖形中的其他相關的向量，它是實現(xiàn)轉化與化歸的一種有效形式，也是解題的難點和關鍵之處.本題依據題設條件選擇以為一組基底，設BN=x，通過線性運算，將目標轉化為關于x的二次函數的最值問題.

三、“投影”意識

所謂“投影”意識，是指能自覺運用向量的“投影”來解決實際問題的一種思維方式．其實，它是對向量數量積本質的理解和把握．向量的數量積是向量知識中非常重要的核心知識，但許多學生對它的掌握往往只停留在膚淺運用的層面，只會機械地套用公式[1]1，缺乏對公式中隱含的“本質信息”——向量“投影”的意義和價值的認識.要想讓學生較深刻地理解和把握向量數量積的概念，必須強調對向量“投影”概念的理解與應用．即讓學生理解數量積a·b的幾何意義：數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.利用投影意識處理與向量相關的最值問題，則可以回避煩瑣的代數運算.

例3如圖2所示，在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，動圓Q的半徑為1，圓心在線段CD（含端點）上運動，P是圓Q上及內部的動點，設向量（m，n為實數），則m+n的取值范圍是_______.

圖2

圖3

評析 利用“投影”意識，把m+n的取值范圍問題轉化為向量在向量上的投影問題，然后再利用數形結合思想求解.借助于這種方式處理問題有利于學生更好地使用代數的方式求解幾何問題，同時也讓學生體會使用投影法求距離的優(yōu)越性.

四、“構造”意識

“構造”法解題對學生的思維能力要求較高，是指通過對試題結構特征的分析，聯(lián)想以前做過的熟悉的題型，對原題進行重組、推廣、替換等，使其變成一個情景新穎、處理方法常規(guī)的問題.所謂向量中的“構造”意識，是指在一個含有向量關系的等式兩邊同時“點乘”一個恰當的非零向量，把含有向量關系的等式轉化為代數方程，“點積”的對象要依據題意適當的選擇，才能達到求解的目的.因此，加強“構造”意識的培養(yǎng)可以提升學生思維的廣闊性和解題的靈活性.

圖4

評析 抓住要求解的目標，利用向量數量積將題設中向量等式“量化”，讓目標中x，y的代數結構特征凸顯出來，使得解題具有思路清晰、方法簡捷、趣味性強等特點.加強這種解題意識的培養(yǎng)，對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新性大有益處.

五、“幾何”意識

所謂“幾何”意識，是指能主動挖掘向量問題的幾何背景用以解題的一種思維方式．這種解題方法稱之為“幾何法”．向量不僅具有數的特性，還有形的特征，比如向量的加法、減法和數量積的運算都具有幾何意義[1]2，若，則向量的幾何背景可以與圓建立聯(lián)系．因此，在求解與向量相關的最值問題時，如果能將向量問題置于適當的幾何背景之中，就能夠使抽象問題直觀化，實現(xiàn)快速解題之目的．關鍵是要啟發(fā)學生主動挖掘向量的幾何背景和總結向量問題中常用的一些幾何圖形和幾何元素，將它和平面幾何、解析幾何、函數、不等式等知識結合起來解題.

例5 在平面直角坐標系xOy中，已知圓C:x2+y2-6x+5=0，點A，B在圓C上，且AB=，則的最大值是 ．

六、“特殊”意識

所謂“特殊”意識，是指當已知條件中含有某些不確定的量，但結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的特殊值（或特殊角、圖形的特殊位置、特殊點、特殊模型等）進行處理，從而得出探求結論的一種思維方式．特別是對于求解與向量相關的最值問題，這樣可大大地簡化推理、論證的過程，加強“特殊”意識解題，對提升學生的解題速度和準確度有一定的幫助.

圖5

解析 將梯形特殊化為直角梯形，設∠ADM=θ，∠A=90°，取M為AB的中點，則四邊形BMDC為平行四邊形，由故點P的軌跡是以D為圓心DA為半徑的圓在梯形內部的弧，易知M（6sinθ，0），B（12sinθ，0），D（0，6cosθ），C（6sinθ， 6cosθ），再設P（x，y），則，得（6x-12sinθ，6y-24cosθ）=（0，0），而的最小值為點P的橫坐標，即6x=12sinθ，得x=2sinθ，又6y-24cosθ=0，即y=4cosθ，即得點P的軌跡是以原點為中心焦點在y軸上的橢圓（在第一象限內），于是得點 P是橢圓和圓 x2+（y-6cosθ）2=（6cosθ）2的交點（在第一象限內），將P（2sinθ，4cosθ）代入圓方程得，從而

評析 結合已知條件，將已知圖形特殊化為直角梯形，題目就顯得更容易解決了.

學習的本質是學生將信息與頭腦中的已有信息重新整合、建構的過程.對于求解與向量相關的最值問題，平時訓練時要抓住題目的本質和特征，引導學生展開積極的思維活動，尋找問題解決的突破口、切入點，更應該拓展學生思維的廣度和深度，引導學生深入理解數學知識和方法，真正做到既知其一更知其二，最終揭示問題的本質.只要不斷積累解題經驗，形成“向量思想”，多角度審視問題，便會使問題迎刃而解.□◢

［1］盧明.平面向量復習要強化“五種意識”的培養(yǎng)［J］.中學教研（數學），2014（4）.

［2］郭建華，孫西洋.重視借題“發(fā)揮”提高學生學習效能［J］.中學教研（數學），2015（12）：7.

*本文系江蘇省教育科學“十二五”規(guī)劃立項課題：信息技術環(huán)境下高中數學“問題—探究—解決”教學模式的應用研究（D/2013/02/445）的研究成果之一