王　紅,杜麗華

(遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029)

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Hom-pre-Jordan代數(shù)、Hom-J-dendriform代數(shù)與Hom-J-quadri代數(shù)的構(gòu)造*1

王紅,杜麗華

(遼寧師范大學 數(shù)學學院，遼寧 大連 116029)

摘要:主要研究Hom-pre-Jordan代數(shù)、Hom-J-dendriform代數(shù)與Hom-J-quadri代數(shù).首先引入Hom-pre-Jordan代數(shù)、Hom-J-dendriform代數(shù)和Hom-J-quadri代數(shù)的定義,然后討論了pre-Jordan代數(shù)與Hom-pre-Jordan代數(shù)、J-dendriform代數(shù)與Hom-J-dendriform代數(shù)、J-quadri代數(shù)與Hom-J-quadri代數(shù)的關(guān)系,最后給出Hom-Jordan代數(shù)、Hom-pre-Jordan代數(shù)、Hom-J-dendriform代數(shù)和Hom-J-quadri代數(shù)之間的關(guān)系.

關(guān)鍵詞:Hom-Jordan代數(shù);Hom-pre-Jordan代數(shù);Hom-J-dendriform代數(shù);Hom-J-quadri代數(shù)

Hom-pre-Jordan代數(shù)、Hom-J-dendriform代數(shù)和Hom-J-quadri代數(shù)都與Loday代數(shù)有密切的關(guān)系.Loday代數(shù)指的是具有“分裂結(jié)合性”的一系列代數(shù).dendriform代數(shù)是第一類并且是最重要的一類Loday代數(shù),是1995年Loday在研究代數(shù)K-理論[1]時發(fā)現(xiàn)的,并且它在許多數(shù)學、物理領(lǐng)域中都有廣泛的應用,例如operads理論、同調(diào)[2]、Hopf代數(shù)、李代數(shù)[3]和Leibniz代數(shù)[4]、組合學、算法以及量子場等等.J-dendriform代數(shù)是具有兩個運算的Loday代數(shù)的約當代數(shù)類似.Quadri代數(shù)是由Aguiar和Loday[5]引入的一類著名的Loday代數(shù).本文就是在此基礎(chǔ)上給出Hom-pre-Jordan代數(shù)、Hom-J-dendriform代數(shù)和Hom-J-quadri代數(shù)的定義并且研究這些代數(shù)的性質(zhì).

1預備知識

定義1[6]設(shè)A是一個線性空間,A上有雙線性的代數(shù)運算°:A?A→A,α是A上的代數(shù)同態(tài),若滿足下面等式:

x°y=y°x

(1)

((x°x)°α(y))°α(α(x))=

(α(x)°α(x))°(α(y)°α(x))

(2)

?x,y∈A,則稱(A,°,α)是Hom-Jordan代數(shù).

定義2一個Hom-pre-Jordan代數(shù)(A,*,α)指的是一個線性空間A上定義了一個雙線性的乘法:(x,y)→x*y,α:A→A是代數(shù)同態(tài),且滿足下面的方程(?x,y,z,u∈A)：

(α(x)?α(y))*(α(z)*α(u))+

(α(y)?α(z))*(α(x)?α(u))+

(α(z)?α(x))*(α(y)α(u))=

α(α(z))*[(x?y)*α(u)]+

α(α(x))*[(y?z)*α(u)]+

α(α(y))*[(z?x)*α(u)]

(3)

α(α(x))*[α(y)*(z*u)]+

α(α(z))*[α(y)*(x*u)]+

[(x?z)?α(y)]*α(α(u))=

α(α(z))*[(x?y)*α(u)]+

α(α(x))*[(y?z)*α(u)]+

α(α(y))*[(z?x)*α(u)]

(4)

其中,x?y=x*y+y*x.

(α(x)?α(y))?(α(z)?α(u))+

(α(y)?α(z))?(α(x)?α(u))+

(α(z)?α(x))?(α(y)?α(u))=

α(α(x))?[(y?z)?α(u)]+

α(α(y))?[(z?x)?α(u)]+

α(α(z))?[(x?y)?α(u)];

(5)

(α(x)?α(y))?(α(z)?α(u))+

(α(y)?α(z))?(α(x)?α(u))+

(α(z)?α(x))?(α(y)?α(u))=

α(α(x))?[α(y)?(z?u)]+

α(α(z))?[α(y)?(x?u)]+

[α(y)?(z?x)]?α(α(u));

(6)

(α(x)?α(y))?(α(z)α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)◇α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)◇α(u))=

α(α(x))?[α(z)(y◇u)]+

α(α(y))?[α(z)(x◇u)]+

[(x?y)·z]α(α(u));

(7)

(α(z)·α(y))(α(x)◇α(u))+

(α(x)·α(y))(α(z)◇α(u))+

(α(x)?α(z))?(α(y)α(u))=

α(α(x))?[(z·y)α(u)]+

α(α(z))?[(x?y)α(u)]+

α(α(y))[(x?z)◇α(u)];

(8)

(α(x)?α(y))?(α(z)α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)◇α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)◇α(u))=

α(α(x))?[α(y)?(zu)]+

α(α(z))[α(y)◇(x◇u)]+

[α(y)·(x·z)]α(α(u)).

(9)

(α(x)?α(y))(α(z)α(u))+

(α(y)?α(z))(α(x)α(u))+

(α(z)?α(x))(α(y)α(u))=

α(α(z))[(x?y)α(u)]+

α(α(x))[(y?z)α(u)]+

α(α(y))[(z?x)α(u)];

(10)

(α(x)?α(y))(α(z)α(u))+

(α(x)?α(z))(α(y)*α(u))+

(α(y)?α(z))(α(x)*α(u))=

α(α(x))[α(z)(y*u)]+

α(α(y))[α(z)(x*u)]+

[(x?y)?α(z)]α(α(u));

(11)

(α(x)?α(y))(α(z)α(u))+

(α(y)?α(z))(α(x)α(u))+

(α(z)?α(x))(α(y)α(u))=

α(α(x))[α(y)(zu)]+

α(α(z))[α(y)(xu)]+

[α(y)?(x?z)]α(α(u));

(12)

(α(z)?α(y))(α(x)*α(u))+

(α(x)?α(y))(α(z)*α(u))+

(α(x)?α(z))(α(y)α(u))=

α(α(x))[(z?y)α(u)]+

α(α(z))[(x?y)α(u)]+

α(α(y))[(x?z)*α(u)];

(13)

(α(x)?α(y))(α(z)α(u))+

(α(x)?α(z))(α(y)*α(u))+

(α(y)?α(z))(α(x)*α(u))=

α(α(x))[α(y)(zu)]+

[α(y)?(x?z)]α(α(u))+

α(α(z))[α(y)*(x*u)];

(14)

(α(x)?α(y))(α(z)α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)>α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)>α(u))=

α(α(x))[α(z)(y>u)]+

α(α(y))[α(z)(x>u)]+

[(x?y)·α(z)]α(α(u));

(15)

(α(z)α(y))(α(x)*α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)α(u))+

(α(x)◇α(y))(α(z)∧α(u))=

α(α(x))[α(z)(y

[α(z)(x◇z)]α(α(u))+

α(α(y))[α(z)∧(x*u)];

(16)

(α(x)?α(y))(α(z)α(u))+

(α(y)◇α(z))(α(x)∨α(u))+

(α(x)◇α(z))(α(y)∨α(u))=

α(α(x))[(y◇u)α(u)]+

α(α(y))[(x◇u)α(u)]+

α(α(z))[(x?y)∨α(u)];

(17)

(α(z)·α(y))(α(x)>α(u))+

(α(x)·α(y))(α(z)<α(u))+

(α(x)?α(z))(α(y)α(u))=

α(α(x))[(z·y)α(u)]+

α(α(z))[(x·y)α(u)]+

α(α(y))[(x?z)>α(u)];

(18)

(α(x)◇α(y))(α(z)∨α(u))+

(α(z)◇α(y))(α(x)∨α(u))+

(α(x)?α(z))(α(y)α(u))=

α(α(x))[α(y)(z∨u)]+

α(α(z))[α(y)(x∨u)]+

[(x?z)◇α(y)]α(α(u));

(19)

(α(x)◇α(z))(α(y)∧α(u))+

(α(x)·α(y))(α(z)<α(u))+

(α(y)α(z))(α(x)*α(u))=

α(α(x))[α(z)(y∧u)]+

[(x·y)z]α(α(u))+

α(α(y))[α(z)<(x*u)];

(20)

(α(x)?α(y))(α(z)α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)>α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)>α(u))=

α(α(x))[α(y)(zu)]+

α(α(z))[y>(x>u)]+

[y·(x·z)]α(α(u));

(21)

(α(z)<α(x))(α(y)*α(u))+

(α(y)·α(z))(α(x)<α(u))+

(α(y)◇α(x))(α(z)∧α(u))=

[α(y)?(z?u)]α(α(u))+

α(α(z))[α(y)>(x

α(α(x))[α(y)∨(z∧u)];

(22)

(α(z)<α(y))(α(x)*α(u))+

(α(x)·α(z))(α(y)<α(u))+

(α(x)◇α(y))(α(z)∧α(u))=

α(α(x))[(zy)α(u)]+

α(α(z))[(x◇y)<α(u)]+

α(α(y))[(x·z)∧α(u)];

(23)

(α(x)?α(y))(α(z)α(u))+

(α(y)◇α(z))(α(x)∨α(u))+

(α(x)◇α(z))(α(y)∨α(u))=

α(α(x))[α(y)(zu)]+

[y◇(x◇z)]α(α(u))+

α(α(z))[α(y)∨(x∨u)].

(24)

x*y=x∧y+x∨y=x>y+x

x?y=x·y+y·x=x◇y+y◇x=x*y+y*x.則稱(A,,,,,α)是一個Hom-J-quadri代數(shù).

2主要結(jié)果

定理1設(shè)(A,·)為pre-Jordan代數(shù),α:A→A是pre-Jordan代數(shù)的代數(shù)同態(tài),定義代數(shù)運算*:x*y=α(x·y):則(A,*,α)為Hom-pre-Jordan代數(shù).

證明顯然α是代數(shù)運算*的代數(shù)同態(tài),首先驗證(3)式成立.

(α(x)?α(y))*(α(z)*α(u))+

(α(y)?α(z))*(α(x)*α(u))+

(α(z)?α(x))*(α(α(y)*α(u))-

[α(α(z))*[(x?y)*α(u)]+

α(α(x))*[(y?z)*α(u)]+

α(α(y))*[(z?x)*α(u)]=

α3[(x·y)·(z·u)+(y·x)·(z·u)+

(y·z)·(x·u)+(z·y)·(x·u)+

(z·x)·(y·u)+(x·z)·(y·u)]-

[[z·[(x·y)·u]]+[z·[(y·x)·u]]+

[x·[(y·z)·u]]+[x·[(z·y)·u]]+

[y·[(z·x)·u]]+[y·[(x·z)·u]]]=0.

同理可以驗證(4)式成立,所以(A,*,α)為Hom-pre-Jordan代數(shù).

證明顯然α是(A,?*,*,α)的代數(shù)同態(tài),首先驗證(5)式成立.

(α(x)?α(y))?*(α(z)?*α(u))+

(α(y)?α(z))?*(α(x))?*(α(x)?*α(u))+

(α(z)?α(x))?*(α(y)?*α(u))-

α(α(x))?*[(y?z)?*α(u)]-

α(α(y))?*[(z?x)?*α(u)]-

α(α(z))?*[(x?y)?*α(u)]=

(α(x)?*α(y))?*(α(z)?*α(u))+

(α(y)*α(x))?*(α(z)?*α(u))+

(α(y)?*α(x))?*(α(z)?*α(u))+

(α(x)*α(y))?*(α(z)?*α(u))+

(α(y)?*α(z))?*(α(x)?*α(u))+

(α(z)*α(y))?*(α(x)?*α(u))+

(α(z)?*α(y))?*(α(x)?*α(u))+

(α(y)*α(z))?*(α(x)?*α(u))+

(α(z)?*α(x))?*(α(y)?*α(u))+

(α(x)*α(z))?*(α(y)?*α(u))+

(α(x)?*α(z))?*(α(y)?*α(u))+

(α(z)*α(x))?*(α(y)?*α(u))-

α(α(x))?*[(y?*z)?*α(u)]-

α(α(x))?*[(z*y)?*α(u)]-

α(α(x))?*[(z?*y)?*α(u)]-

α(α(x))?*[(y*z)?*α(u)]-

α(α(y))?*[(z?*x)?*α(u)]-

α(α(y))?*[(x*z)?*α(u)]-

α(α(y))?*[(x?*z)?*α(u)]-

α(α(y))?*[(z*x)?*α(u)]-

α(α(z))?*[(x?*y)?*α(u)]-

α(α(z))?*[(y*x)?*α(u)]-

α(α(z))?*[(y?*x)?*α(u)]-

α(α(z))?*[(x*y)?*α(u)]=0.

同理(6)～(9)成立,因此(A,?*,*,α)為Hom-J-dendriform代數(shù).

命題1若(A,*,α)為Hom-pre-Jordan代數(shù),定義x°y=x*y+y*x(?x,y∈A),則(A,°,α)是Hom-Jordan代數(shù).

證明顯然(1)式成立,只需驗證(2)式成立.

((x°x)°α(y))°α(α(x))-

(α(x)°a(x))°(α(y)°a(x))=

[(x*x+x*x)°a(y)]°α(α(x))-

[α(x)*α(x)+α(x)*α(x)]°

[α(y)*α(x)+α(x)*α(y)]=

[((x*x)*α(y))*α(α(x))+

((x*x)*α(y))*α(α(x))+

(α(y)+(x*x))*α(α(x))+

(α(y)*(x*x))*α(α(x))+

α(α(x))*((x*x)*α(y))+

α(α(x))*((x*x)*α(y))+

α(α(x))*(α(y)*(x*x))+

α(α(x))*(α(y)*(x*x))]-

[(α(x)*α(x))*(α(y)*α(x))+

(α(x)*α(x))*(α(x)*α(y))+

(α(x)*α(x))*(α(y)*α(x))+

(α(x)*α(x))*(α(x)*α(y))+

(α(y)*α(x))*(α(x)*α(x))+

(α(y)*α(x))*(α(x)*α(x))+

(α(x)*α(y))*(α(x)*α(x))+

(α(x)*α(y))*(α(x)*α(x))]=0.

參考文獻：

[1]Loday J L.Dialgebras in Dialgebras and related operads[J]. Lect. Notes Math.,2002,1763:7-66.

[2]Frabetti A.Dialgebra homology of associative algebras[J]. C. R. Acad. Sci. Paris, 1997, 325:135-140.

[3]孟道驥. 復半單李代數(shù)引論[M].北京:北京大學出版社,1998.

[4]Frabetti A. Leibniz homology of dialgebras of matrices[J]. J. Pure. App. Alg., 1998, 129: 123-141.

[5]Aguiar M, Loday J L. Quadri-algebras[J]. J. Pure. App. Alg., 2004, 1991: 205-221.

[6]Yau D. Hom-Maltsev, Hom-Alternative and Hom-Jordan algebras[J], Int. Electron. J. Algebra,2012(11):177-217.

(責任編輯:陳衍峰)

DOI:10.13877/j.cnki.cn22-1284.2016.04.009

*收稿日期：2015-10-20

基金項目：遼寧省自然科學基金項目(20140428)

作者簡介：王紅,遼寧鐵嶺人,遼寧師范大學數(shù)學學院碩士研究生.

中圖分類號：O153

文獻標志碼：A

文章編號：1008-7974(2016)02-0029-04