劉中坡，烏建中，王菁菁，呂西林

(1.同濟大學機械與能源工程學院，上海 201804；2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室, 上海 200092)

軌道型非線性能量阱對高層結(jié)構(gòu)脈動風振的控制仿真①

劉中坡1，烏建中1，王菁菁2，呂西林2

(1.同濟大學機械與能源工程學院，上海 201804；2.同濟大學土木工程防災國家重點實驗室, 上海 200092)

介紹了軌道型被動NES(Nonlinear Energy Sink)，并對附加NES裝置的5層鋼框架進行了白噪聲激勵下的振動臺實驗，結(jié)果表明了NES能在多個頻率范圍內(nèi)抑制結(jié)構(gòu)振動?；贜ES的這種優(yōu)點，將其應用到高層結(jié)構(gòu)的風振控制上。采用線性回歸方法的AR模型，模擬了不同高度處的脈動風速時程作為建筑結(jié)構(gòu)的外部激勵。以脈動風激勵下高層建筑頂層的加速度為控制目標，對NES的質(zhì)量、軌道表達式和黏滯阻尼參數(shù)進行了一系列優(yōu)化，選擇較優(yōu)的參數(shù)對NES控制下某結(jié)構(gòu)的脈動風致振動進行了仿真計算。計算結(jié)果表明:NES可以有效減小脈動風作用下建筑結(jié)構(gòu)的最大加速度與加速度均方根，并且其可以同時減小結(jié)構(gòu)多個模態(tài)的振動，從而提高風載荷下高層建筑的舒適度。

風振控制; 高層建筑； 脈動風； NES； AR模型

引 言

對于高層建筑，地震和強風作用下引起的結(jié)構(gòu)動力反應，會影響結(jié)構(gòu)的安全和使用的舒適度。傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設計通過加強結(jié)構(gòu)強度來滿足結(jié)構(gòu)的安全和使用要求，在實際工程上經(jīng)濟性較差。為了減小結(jié)構(gòu)反應，常見的是通過在建筑結(jié)構(gòu)物的某些部位設置調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper, TMD) 以減小地震和風振反應。然而傳統(tǒng)線性TMD的適用頻帶較窄,只有多個吸振器聯(lián)合作用才能實現(xiàn)多模態(tài)控制。另外一種方法是利用非線振子的寬頻吸振特性進行減振, 很多學者持續(xù)對其進行了大量的研究。國外學者Roberson最早對應用非線性吸振器進行振動控制做了研究[1]，提出用非線性剛度吸振器可以使得吸振帶寬有所增加。Vakakis等把一個非線性振子與一個線性振子連接到一起,并對整個系統(tǒng)在沖擊載荷下的共振現(xiàn)象進行了研究[2]，Gourdon通過數(shù)值計算的方法驗證了該系統(tǒng)并指出非線性振子優(yōu)于傳統(tǒng)的線性吸振裝置[3]。Vakakis把該類剛度為立方非線性剛度的振動控制振子命名為非線性能量阱(Nonlinear Energy Sink,簡稱NES)[4]。Jiang研究了NES與單自由度振子在外界正弦激勵的響應[5]。Starosvetsky等開展了NES參數(shù)優(yōu)化的研究工作，并在試驗中證實了其振動控制效果優(yōu)于TMD[6]。國內(nèi)學者也對NES開展了若干研究;張也弛、孔憲仁等對兩自由度NES在簡諧荷載下的力學特性與振動控制效果使用數(shù)值方法進行了研究[7];王菁菁采用數(shù)值仿真的方法對軌道型NES的軌道參數(shù)進行了優(yōu)化計算[8]，并使用數(shù)值方法驗證了這種類型NES在沖擊載荷與地震波激勵下的寬頻控制特性。目前NES的應用研究主要集中在航天、機械與汽車領域，在建筑結(jié)構(gòu)領域的應用研究較少，本文在文獻[8]的研究基礎之上對軌道型NES應用到建筑結(jié)構(gòu)風致振動的控制進行探討。

1 軌道型NES及其振動控制特性

1.1 安裝NES的結(jié)構(gòu)運動方程

軌道型NES由軌道、質(zhì)量塊和阻尼器構(gòu)成，軌道在豎直平面內(nèi)彎曲，其形狀函數(shù)一般為高階多項式用于給在其之上滑動的質(zhì)量塊提供非線性的回復力。質(zhì)量塊沿軌道運動，其運動方向與結(jié)構(gòu)需要控制的方向平行，如圖1(a)所示。當被控結(jié)構(gòu)振動的時候，結(jié)構(gòu)與NES之間產(chǎn)生相對運動，被控結(jié)構(gòu)振動的部分能量被傳遞到NES并通過NES的阻尼耗散，同時利用NES沿軌道運動時與被控結(jié)構(gòu)之間相互作用，從而達到結(jié)構(gòu)振動控制的目的。

圖1 NES的結(jié)構(gòu)與附加NES的多層框架模型Fig.1 Multi-story frame with NES and structure of track NES

附加了NES的框架結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示，使用拉格朗日方程建模得到結(jié)構(gòu)與NES運動方程為:

(1)

(2)

(3)

式中h(uN)為NES滑道形狀函數(shù)。

從方程(2)的表達式可以得出，軌道型NES的回復力FNES與質(zhì)量塊的位移、速度有著強非線性的關(guān)系。使用軌道型NES實現(xiàn)寬頻振動控制就是利用了非線性振子振動頻率與其自身能量水平相關(guān)的特性。與其他類型的NES類似的是，由于非線性回復力的原因，它自身振動的頻率與被控結(jié)構(gòu)振動的幅值、頻率和振型有關(guān)。因為這3個參數(shù)影響主體結(jié)構(gòu)將振動能量傳遞到NES的效率，而NES能否與被控結(jié)構(gòu)做反相的共振與其自身能量水平高低有關(guān)[9]。不論哪種外界激勵，例如白噪聲、正弦波或地震波，都會引起被控結(jié)構(gòu)不同幅值、振型的動力響應，從而使NES表現(xiàn)出不同的振動控制效果。所以，采用數(shù)值計算方法對軌道型NES進行優(yōu)化的時候，需要考察不同頻譜成分與幅值的外界激勵作用下主體結(jié)構(gòu)在無控與NES控制下的動力響應來選擇較優(yōu)的NES參數(shù)。

1.2 基于白噪聲的隨機激勵作用下NES振動臺試驗

為了驗證NES在類似脈動風這類穩(wěn)態(tài)隨機激勵作用下的振動控制效果，將其安裝在試驗框架的頂層之上，振動臺把最大加速度為0.04g且?guī)挒?～25 Hz的有限帶寬白噪聲沿框架的弱軸向作用到框架上，并對比同一白噪聲作用下的空框架的響應。振動臺試驗采用0.04g有限帶寬白噪聲激勵，雖然不能完全模擬風洞實驗中的風效應，但是可以近似地模擬脈動風對結(jié)構(gòu)小幅值、頻譜豐富和作用時間長的激勵。

圖2 框架與NES實物圖Fig.2 Structure of the frame and track NES

圖3 框架頂層無控和有控時的加速度時程對比Fig.3 Comparison of acceleration time history at roof of the frame

在白噪聲激勵下，框架無控與有NES控制下的頂層加速度時程如圖3所示，在時域結(jié)果中可以看到NES對框架頂層加速度控制有較好的效果。將加速度時程數(shù)據(jù)分別求絕對值的極值和均方根得到：框架無控下加速度最大值為0.128g、加速度均方根為0.043，NES控制下最大加速度為0.065g、加速度均方根為0.0171。

為了從頻域中觀察NES控制頻率范圍寬廣的特性，對框架頂層加速度時程數(shù)據(jù)進行小波變換與傅里葉變換，可得到變換之后的時頻能量圖與加速度響應譜，分別如圖4與圖5(a),(b)所示。從圖中可以看到相對無控狀態(tài)下，框架弱軸向的前3階模態(tài)對應頻率下的振動都有不同程度上抑制，尤其以動力響應較大的1,2階振動控制效果最為明顯。將該試驗工況下采集到的NES加速度值做傅里葉變換，從而得到NES的加速度響應譜如圖5(c)所示。從圖中可以看出，NES自身振動的頻率對應框架的前3階頻率，從另外一個角度說明了NES可以作用到結(jié)構(gòu)的多個模態(tài)。

振動臺試驗的結(jié)果說明了軌道型NES的頻率范圍相對傳統(tǒng)TMD較窄作用頻率范圍的減震方式較優(yōu)，并且對將其應用到激勵類似有限帶寬白噪聲的脈動風載荷作用下的建筑結(jié)構(gòu)振動控制提供了試驗依據(jù)。

圖4 框架頂層加速度無控、有控下的時頻能量圖對比Fig.4 Comparison of time-frequency energy diagram of top floor acceleration

圖5 頂層加速度無控、有控下的響應譜對比與NES響應譜Fig.5 Comparison of acceleration response spectrums of top floor

1.3 NES對振動控制的魯棒性

考慮到若將NES應用到建筑結(jié)構(gòu)風振控制中的話，就需要同時考慮其在地震控制下的魯棒性。在驗證了NES在較小幅值的穩(wěn)態(tài)隨機激勵下振動控制的有效性之后，為了驗證其魯棒性又進行了不同地震波加載試驗。使用抗震減震研究中經(jīng)常用到的El Centro波、汶川波與日本311波作為振動臺臺面輸入，分別在PGA為0.05g,0.1g和0.15g的條件下進行試驗。由于空框架在PGA為0.15g的El Centro波作用下響應已經(jīng)非常的大，再增加載荷可能會對框架有所損傷，另外為了方便與NES控制下框架的響應進行對比，所有試驗工況地震波輸入最大PGA設定為0.15g。在此試驗過程中，試驗用框架、NES與上一節(jié)中試驗一致，試驗結(jié)果如表1所示。

表1 框架模型頂層最大加速度和加速度響應的均方根

Tab.1 Maximum acceleration and acceleration rms values at the roof of the frame

地震波PGA/g頂層最大加速度對比/g均方根對比控制效果空框架NES空框架NES最大加速度均方根ElCentro0.050.220.130.0570.0241%65%0.10.50.30.130.05440%58.5%0.150.7440.6070.1860.118.4%46.2%汶川波0.050.210.1510.0460.0228.1%56.5%0.10.4550.340.1060.06125.3%42.5%0.150.6740.530.1590.1121.4%30.8% 日本311地震波0.050.120.0990.0260.01117.5%57.7%0.10.270.240.0630.0311.1%52.4%0.150.460.450.1120.0582.2%48.2%

從試驗結(jié)果可以看出，NES在本組試驗中對框架頂層加速度同樣起到較好的控制作用，尤其是對加速度均方根的控制效果最為明顯。對絕大多數(shù)試驗工況的峰值加速度都有較好的控制作用，日本311地震波激勵下控制效果弱于另外兩種波，是由于該地震波的頻率主要集中在3.5～6 Hz范圍內(nèi)，而框架的一階頻率為1 Hz。在PGA為0.15g的日本311地震波激勵下，空框架與NES控制下框架的頂層加速度響應譜的對比如圖6(a)和(b)所示，NES加速度響應譜如圖6(c)所示。相對上一節(jié)所介紹試驗工況中的NES響應譜，這個試驗工況下可以更為清晰地驗證NES可以作用于結(jié)構(gòu)的多個模態(tài)頻率。本組試驗驗證了軌道型NES不僅僅在有限帶寬白噪聲激勵下有效，而且對不同幅值、頻譜構(gòu)成的地震波作用下框架頂層的加速度與加速度方差都起到了較好的控制效果。

圖6 311波0.15g框架頂層與NES加速度響應譜對比Fig.6 Response spectrums of the frame and the NES

2 風載荷模擬

2.1 風載荷特征

平均風速的確定：平均風速隨著高度而變化的規(guī)律，也常稱為平均風速剖面，常用對數(shù)律來表示

(4)

式中z,U(z)為所處高度與此高度處的平均風速,z0，U(z0)為標準參考高度與此高度處的平均風速。α為地表粗糙度系數(shù)，根據(jù)規(guī)范選擇C類場地。

2.2 脈動風自功率譜與互功率譜

脈動風隨時間與空間變化，一般假定為零均值的平穩(wěn)高斯隨機過程。根據(jù)脈動風速的這種特性，可以用脈動自功率譜、互功率譜描述脈動風速時程。對于高層建筑主要考慮水平陣風功率譜[11]，中國規(guī)范中采用的Davenport提出的脈動風速自功率譜

(5)

工程計算中除了考慮脈動風的自相關(guān)性描述外，還需要考慮其空間相關(guān)性。需要同時考慮結(jié)構(gòu)豎向和側(cè)向相關(guān)性時，空間任意兩點的相關(guān)系數(shù)一般采用Davenport提出的表達式

(6)

式中Cx,Cz各表示為側(cè)向與豎向的衰減系數(shù)；x1,x2,z1,z2分別為垂直于風向點的水平、垂直坐標；Vz1,Vz2為對應點的風速；n為風速譜的頻率。由此可得如下的脈動風相干函數(shù)。

Svivj(x1,x2,z1,z2,n)=ρ(x1,x2,z1,z2,n)·

(7)

2.3 基于線性濾波器法的脈動風模擬

脈動風速的數(shù)值模擬方法通常使用線性濾波法與諧波疊加法, 考慮計算效率，本文采用線性濾波法中的AR模型對超高層建筑的脈動風速時程進行數(shù)值模擬?？臻g中M個點相關(guān)的脈動風速時程V(x,y,z,t)列向量的AR模型可以表示為

N(t)

(8)

(9)

對RN做Cholesky分解得：RN=LLT。由此求得N(t)=Ln(t)。式中n(t)=[n1(t),…,nM(t)]T，其中的ni(t),i=1,…,M，為均值是0、方差是1并且彼此相互獨立的正態(tài)隨機過程。

表2 脈動風速模擬參數(shù)

Tab.2 Parameters of fluctuating wind speed simulation

平均風速模型指數(shù)律時間步長0.1s地面類型C類X向衰減系數(shù)10標準風高度10mZ向衰減系數(shù)16AR模型階數(shù)4模擬點數(shù)20

基于以上的推導過程，使用表2中的脈動風模擬參數(shù)在MATLAB中編寫計算程序，得到的10 m高度處的脈動風速時程如圖7(a)所示。為了驗證模擬得到的脈動風速的準確性，將其時程變換到頻域中，在雙對數(shù)坐標中與Davenport目標譜進行比較，如圖7(b)所示，可以看出使用AR方法模擬得到的風速時程是可靠的。

圖7 10 m高處脈動風速時程及其模擬譜與目標譜對比Fig.7 Time history of fluctuating wind speed and power spectrum density

3 風載荷激勵下NES振動控制算例

3.1 計算模型與等效簡化

模擬風速點為10, 20,…,120 m高度處。取10 m高度處10年期平均風速值為36.3 m/s[12]。NES安裝在結(jié)構(gòu)的頂層中間位置，其沿軌道運動方向與順風向風載荷施加的方向平行。仿真對象為一框架核心筒結(jié)構(gòu)的32層120 m高建筑結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)平均層高3.6 m、寬45 m，平均每層質(zhì)量為1854.5 t，結(jié)構(gòu)弱軸向振動一階模態(tài)質(zhì)量17935 t。由于在有限元軟件中無法直接對安裝NES的結(jié)構(gòu)進行風載荷計算，所以對使用ETABS建立的模型進行等效處理，仿真對象ETABS模型的平面圖與立面圖如圖8所示。

圖8 結(jié)構(gòu)ETABS模型的平面圖與立面圖Fig.8 Structure plan and elevation of ETABS model

對模型進行計算后選取弱軸向進行控制，使用文獻[13-14]中的模型簡化理論與計算方法建立弱軸向的集中質(zhì)量串聯(lián)多自由度模型。其弱軸向剛度矩陣通過以下步驟獲得：對模型中第i層中各節(jié)點施加總和為一單位力的水平載荷，由各個節(jié)點在此載荷下的水平位移求出該層的名義位移，由此得到柔度系數(shù)。從而由柔度系數(shù)可以得到柔度矩陣，對柔度矩陣求逆得到側(cè)向剛度矩陣。等效計算得到的弱軸向各階振動的周期與ETABS中模型計算對應周期的對比如表3所示。將ETABS中計算得到的振型與簡化之后的振型進行歸一化處理之后，振型對比如圖9所示。

圖9 結(jié)構(gòu)弱軸向前六階原始與簡化模型振型對比Fig.9 Comparison of the first six vibration modes of weak axial

表3 弱軸向?qū)?階周期對比

結(jié)構(gòu)簡化之后的阻尼計算采用瑞利阻尼：

C=α·M+β·K

(10)

(11)

式中M為質(zhì)量陣，K為剛度陣，ω1與ω2分別為結(jié)構(gòu)的一階、二階頻率，ξ為結(jié)構(gòu)的阻尼比。本算例中結(jié)構(gòu)的阻尼比取值0.05。

3.2 NES參數(shù)優(yōu)化

在上述優(yōu)化方法的基礎之上對NES的質(zhì)量比、軌道表達式系數(shù)與阻尼參數(shù)進行計算。NES質(zhì)量塊的選擇范圍為結(jié)構(gòu)1階模態(tài)質(zhì)量的1%～4%。在參數(shù)優(yōu)化過程中，4個質(zhì)量比對最大加速度的最佳控制效果如圖10所示，在使用NES進行脈動風載荷作用下的結(jié)構(gòu)振動控制時，質(zhì)量比越大控制效果越好。但是隨著質(zhì)量比的增加控制效果的增加并不顯著，并且質(zhì)量比過大會給施工增加難度，在這里選取1%的質(zhì)量比。

圖10 不同質(zhì)量比對最大加速度的控制Fig.10 The curve of control effect on maximum acceleration of different mass ratio

在尋找較優(yōu)阻尼參數(shù)過程中把等效水平阻尼的范圍限定在0.5～20 kN·m/s，進行計算并尋找其中的較優(yōu)參數(shù)。在質(zhì)量比1%、軌道系數(shù)0.9條件下，較優(yōu)的等效水平阻尼系數(shù)為9 kN·m/s。在優(yōu)化計算過程中，NES對結(jié)構(gòu)頂層最大加速度的控制效果隨阻尼的變化如圖11(b)所示。從圖中觀察可以得出，最大加速度的控制并不需要很大的黏滯阻尼，隨著阻尼的增大反而對最大加速度的控制變?nèi)酢?/p>

圖11 不同軌道系數(shù)與阻尼對頂層最大加速度的控制Fig.11 The curve of control effect on maximum acceleration of roof at different coefficient and damping

3.3 計算結(jié)果

在模擬得到的風載荷作用下，計算得出仿真對象無NES控制狀態(tài)下頂層的最大加速度為0.0866 m/s2,加速度均方根為0.0179。選取優(yōu)化計算得到NES參數(shù)：質(zhì)量比為1%、軌道系數(shù)0.9和等效水平阻尼9 kN·m/s，計算得仿真對象被NES控制狀態(tài)下頂層的最大加速度為0.0467 m/s2、加速度均方根為0.0117。NES使脈動風載荷作用下的仿真對象結(jié)構(gòu)頂層最大加速度降低46%，加速度均方根減小34.6%，有效地提高了建筑的舒適度。NES控制與無控狀態(tài)下的頂層加速度時程數(shù)據(jù)對比如圖12所示，結(jié)果可以較為直觀地體現(xiàn)出控制的有效性。

圖12 頂層加速度時程對比Fig.12 Comparison of acceleration time history at roof of the frame uncontrolled and controlled by NES

將計算得到的脈動風載荷作用下結(jié)構(gòu)頂層加速度信號進行小波變換之后得到各階頻率的能量時程，結(jié)構(gòu)在風載荷作用下振動的一階頻率能量時程在無控與NES控制條件下的對比如圖13(a)所示，二階頻率能量時程對比如圖13(b)所示。從圖中無控與有NES控制下頂層的加速度時程對比可以看出，NES對結(jié)構(gòu)風載荷作用下的振動控制能同時作用于結(jié)構(gòu)的多個固有頻率范圍。

圖13 頻率能量時程對比Fig.13 Comparison of energy time history at first and second vibration frequency

4 結(jié) 論

本文介紹了被動式軌道型NES，并對其頻率控制區(qū)間較寬的特性進行了實驗研究。為了研究軌道型NES對建筑結(jié)構(gòu)風致振動控制的應用，使用AR模型模擬出符合規(guī)范的不同高度相關(guān)脈動風速，將其作為外界激勵加載到經(jīng)過簡化的建筑結(jié)構(gòu)計算模型上。以結(jié)構(gòu)頂層最大加速度為控制目標對軌道型NES的軌道表達式、質(zhì)量比和阻尼參數(shù)進行了優(yōu)化，選擇較優(yōu)參數(shù)進行仿真計算，根據(jù)計算結(jié)果得到以下的結(jié)論：NES對高層建筑結(jié)構(gòu)風致振動的結(jié)構(gòu)加速度響應有較好的控制效果；相對傳統(tǒng)TMD而言，NES有著可以同時減小多個模態(tài)振動的優(yōu)點；軌道型NES的振動效果不僅受軌道表達式的影響，而且還與其自身的阻尼參數(shù)緊密相關(guān)。

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Simulation of track nonlinear energy sink for wind-induced
vibration control in high-rise building

LIUZhong-po1,WUJian-zhong1，WANGJing-jing2,LüXi-lin2

(1.School of Mechanical Engineering, Tongji University, Shanghai 201804, China;
2. State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Track nonlinear energy sink (NES), a type of passive structural control device effective in a wide range of frequency, is introduced in the paper. Shaking table experimental investigation of a five-story frame structure coupled with a track NES are conducted by inputting white-noises. The results show that the track NES is capable of reducing the structural responses in multiple modes. NES can be applied to wind-induced vibration control of high-rise buildings due to this advantage. The AR linear regression method is applied to generate the wind velocity time histories at different heights. Under the wind excitations, parameters of a track NES including the mass, track express and damping, are optimized to reduce the acceleration responses of a high-rise building to which the track NES is attached. The simulated results show that with proper parameters, the track NES is able to attenuate the wind-induced vibration efficiently.

wind-vibration control； high rise building; fluctuating wind; NES; AR model

2015-10-20；

2016-06-21

國家自然科學基金重大研究計劃重點國際合作項目(51261120377);國家自然科學基金重大研究計劃集成項目(91315301-4)

TU311.3；TU352.2

：A

1004-4523(2016)06-1088-09

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2016.06.019

劉中坡(1980—),男,博士研究生。電話:13166129768； E-mail:1110200@#edu.cn

呂西林(1955—), 男，教授，博士生導師。電話：(021)65982666；E-mail：lxlst@#edu.cn