楊影 劉民才 陳磊 朱文華 鄭東暉

摘要：針對(duì)飛切法加工的玻璃元件面形的評(píng)價(jià)，研究了小波變換在光學(xué)表面低頻段和中頻段誤差的分析方法。采用小波分解變換方法將波前信號(hào)的多頻率成分分離，選取小波基bior2.8，有效地提取出元件的面形信息，同時(shí)將所需的中頻段信息與占主成分的低頻信息分離，得到中頻段的特征頻率為0.18mm^-1。該方法避免了頻域?yàn)V波法所導(dǎo)致的幅頻特性失真的問題，且可以更好地分析波前信號(hào)的細(xì)節(jié)和頻率特性。

關(guān)鍵詞：飛切法;波前評(píng)價(jià);小波變換;特征頻率

中圖分類號(hào)：0436 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引言

金剛石飛切法能夠克服晶體材料質(zhì)地軟、脆性高、溫度敏感性高等特點(diǎn)，是進(jìn)行精密加工的有效手段。飛切法加工時(shí)，采用單一方向“飛刀”切削的加工方式，因受周期性走刀、機(jī)床振動(dòng)、環(huán)境振動(dòng)等多種因素的影響，加工表面將殘留大量的不同頻率的波紋誤差，在光學(xué)系統(tǒng)中該誤差將導(dǎo)致光束分散，因此必須嚴(yán)格控制。

對(duì)于中頻段的波紋誤差，Lou等以測(cè)量的原始表面波前作為輸入，采用Motif方法通過設(shè)定不同的分離閾值成功提取了表面4個(gè)波紋度表征參數(shù)。但該方法獲取的是表面形貌的平均參數(shù)，并未實(shí)現(xiàn)波紋誤差的分離。為了將所測(cè)波前中的波紋誤差分離出來，Zhang等H采用功率譜密度（PSD）定量地計(jì)算出加工表面不同頻率形貌信息的分布。陽(yáng)紅等用PSD評(píng)價(jià)和控制大口徑磷酸二氫鉀（KDP）晶體飛切加工后的表面中頻段波紋誤差。Kim采用快速傅里葉變換（VFT）分析方法從被測(cè)波前中提取出不同頻段的頻域信息。傳統(tǒng)的FFT分析法適用于波前的整體分析，但不能用來分析局部的細(xì)節(jié)特征，且存在頻率截?cái)鄬?dǎo)致幅頻特性失真的問題。小波變換（WT）分析方法有空間頻率局部化和多尺度視角的優(yōu)勢(shì)，在描述表面特性方面效果明顯。Chen等運(yùn)用了小波、PSD和分形理論等方法分析了KDP晶體結(jié)構(gòu)的光學(xué)特性和表征方法。Wang等使用小波變換分析方法分析KDP晶體的表面構(gòu)造并評(píng)價(jià)表面粗糙度。陳東菊等采用小波變換實(shí)現(xiàn)了金剛石切削表面形貌的多尺度分解與合成，獲得了表面主要頻率特征的空間形態(tài)及其對(duì)原始形貌的影響程度。上述分析是針對(duì)元件表面的三維形貌或高頻的粗糙度，且原始波面是由Veeco白光干涉儀測(cè)量所得，不適用于激光干涉儀測(cè)量波前的中頻段特征分析。

本文研究小波變換在飛切法加工表面低頻段和中頻段誤差的分析方法，對(duì)光學(xué)波前作小波多尺度分解，重構(gòu)相應(yīng)尺度上的低頻信息和高頻細(xì)節(jié)信息，得到低頻的面形信息和所需的中頻段波面。通過進(jìn)一步計(jì)算平均PSD，提取出中頻段的特征頻率。

1小波變換方法

本文研究的待測(cè)件為飛切法加工的400 mm口徑玻璃元件，該元件表面除了低頻面形信息外，還有受周期性走刀、機(jī)床振動(dòng)等因素影響而殘留的波紋誤差。由于波紋誤差相對(duì)于低頻面形信息屬于極小量，所以采用小波變換分析波前中頻段的細(xì)節(jié)信息。不同的小波基具有不同的時(shí)頻特性，用不同的小波基分析同一個(gè)問題會(huì)產(chǎn)生不同的結(jié)果，故小波基的選擇對(duì)波前信息的分析和處理有重要的作用。使用具有線性相位特性的小波基，能在一定程度上減少對(duì)波前分解和重構(gòu)時(shí)的相位失真，為了有效地揭示表面信號(hào)各頻率成分，在x、y方向上選用相同的雙正交小波基bior2.8。bior2.8具有緊支撐性、大的消失矩階數(shù)、線性相位型、好的頻帶間相干性等優(yōu)良性質(zhì)。

對(duì)波前進(jìn)行小波多尺度分解就是使用以bior2.8為小波基的小波濾波器，將波前分解為低頻面形和高頻細(xì)節(jié)部分。尺度1下得到的低頻面形又可以在尺度2下進(jìn)一步分解為低頻面形和高頻細(xì)節(jié)，依此類推，波前信息可以被分解為不同的頻段成分，直到得到所需的頻段信息。具體過程如下：設(shè)低頻部分為aⁱn，高頻部分為aⁱn，可表示為

2光學(xué)波前分析與評(píng)價(jià)

2.1光學(xué)波前低頻面形信息分析

對(duì)波前作小波變換，小波基為bior2.8。對(duì)第八層的低頻信息進(jìn)行單支重構(gòu)，得到被測(cè)件的低頻面形信息，計(jì)算峰谷（PV）值和均方根（RMS）值得到面形的質(zhì)量。將小波分析的面形結(jié)果與傅里葉低通濾波后的面形結(jié)果進(jìn)行比較。為避免偶然性，分析對(duì)比了10塊在相同條件下飛切加工的玻璃樣品的波前測(cè)量數(shù)據(jù)，得到的PV值和RMS值結(jié)果如圖1所示。

由圖1可以看出，小波分析結(jié)果基本與低通濾波分析的結(jié)果相近，使用小波分解可以得到被測(cè)元件穩(wěn)定的低頻面形信息。

2.2光學(xué)波前中頻段頻率特征分析

對(duì)波前作小波變換，小波基為bior2.8。對(duì)第三層的高頻信息進(jìn)行單支重構(gòu)，得到被測(cè)件的中頻段信息，計(jì)算其平均PSD得到定量的頻譜值，如圖2所示。圖2標(biāo)出了功率占優(yōu)的特征頻率點(diǎn)，其中最明顯的特征頻率點(diǎn)為0.18 mm^-1，其次還有0.19mm^-1。特征頻率點(diǎn)表示了該波段主要的波紋誤差，特征頻率值反映了加工過程中波紋誤差的來源，以此來指導(dǎo)加工。

為驗(yàn)證小波方法分析得到的結(jié)果，采用傅里葉帶通頻域?yàn)V波器對(duì)原始波前進(jìn)行帶通濾波，截止頻率為0.03mm^-1到0.3mm^-1，濾波結(jié)果和平均PSD的計(jì)算結(jié)果如圖3所示。圖3標(biāo)出了功率占優(yōu)的特征頻率點(diǎn)，其中最明顯的特征頻率點(diǎn)為0.19mm^-1，其次還有0.11mm^-1、0.16mm^-1、0.18mm^-1、0.23mm^-1。

由此可以看出，0.18 mm^-1和0.19mm^-1。是兩種分析方法共同的特征頻率值。帶通濾波法分析得到的頻率點(diǎn)相對(duì)較多，沒有功率絕對(duì)占優(yōu)的頻率點(diǎn)。此時(shí)并不能確定這些頻率點(diǎn)是波前中頻段存在的特征頻率點(diǎn)，還是頻率截?cái)嘁鸱l特性失真帶來的影響，所以要分析比較10塊在相同條件下飛切加工的玻璃樣品的波前測(cè)量數(shù)據(jù)。小波變換法分析得到的中頻段特征頻率點(diǎn)及相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1所示，表中N表示10組分析結(jié)果中出現(xiàn)該頻率點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)次數(shù)。

帶通濾波分析得到的中頻段特征頻率點(diǎn)及相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2所示。

將表1和表2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果直觀地顯示在如圖4所示的柱形圖中。由圖4可以看出，小波分析所得的特征頻率點(diǎn)為0.18 mm，帶通濾波法分析所得的特征頻率點(diǎn)也是0.18mm^-1，這兩個(gè)結(jié)果完全吻合，因此小波變換可用來分析中頻段的頻率特征。小波分析方法得到了功率絕對(duì)占優(yōu)的特征頻率點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果證明了該頻率點(diǎn)確實(shí)是由飛切加工方法引入的。由于本文波前中波紋誤差占較少成分，幅頻相位失真會(huì)導(dǎo)致無法提取出真實(shí)的特征頻率，帶通濾波法的分析結(jié)果可以證實(shí)這一點(diǎn)。相較帶通濾波法，小波變換法不存在頻率截?cái)嗟挠绊懀瑤缀醪粫?huì)引入干擾頻率點(diǎn)，且能夠提取主要的波紋誤差成分，可見小波變換法能很好地分析波前中頻段頻率特性。

3討論

3.1適用性分析

在光學(xué)表面低頻段和中頻段誤差的分析中，小波變換法表現(xiàn)出了良好的性能。在低頻段分析中，小波變換可以濾除中高頻段的誤差，得到直觀的面形信息。在中頻段分析中，小波變換可以在大量的低頻信息中以多尺度的視角提取出所需中頻段的波紋誤差，避免了傅里葉濾波法頻率截?cái)鄬?dǎo)致波面幅頻特性失真的影響。從圖4所示的對(duì)比圖中可以看出，小波變換法提取的特征頻率點(diǎn)少而集中，10組波前數(shù)據(jù)中有9組都檢測(cè)到了0.18mm^-1的特征頻率，且剩余頻率點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)次數(shù)加起來只有10次。而傅里葉濾波法提取的頻率點(diǎn)數(shù)有12個(gè)，統(tǒng)計(jì)次數(shù)加起來有35次之多，其中只有0.18mm^-1可以稱作為特征頻率點(diǎn)。由此可以看出帶通濾波時(shí)頻率截?cái)鄬?dǎo)致幅頻特性失真的問題確實(shí)影響了特征頻率點(diǎn)的提取。在分析飛切法加工的玻璃元件面形時(shí)，小波變換法的適用性明顯優(yōu)于帶通濾波法。

3，2小波基的選取

小波基的選擇對(duì)波前信息的分析和處理有重要的作用。使用具有線性相位特性的小波基時(shí)，能在一定程度上減少對(duì)波前進(jìn)行分解和重構(gòu)時(shí)的相位失真。Biorthogonal（biorNr.Nd）、Symlets（sym.N1、Coiflets（coifN）小波族均具有線性相位特性，同時(shí)也具有緊支撐性、大的消失矩階數(shù)、好的頻帶間相干性等優(yōu)良性質(zhì)。小波序列Ⅳ決定了小波基的支撐范圍和消失矩階數(shù)。緊支性決定了小波的局部化特性，消失矩階數(shù)與重構(gòu)波面的頻域分辨率有關(guān)。以MATLAB為工具分別使用biorNr.Nd、sym.N、coifN函數(shù)系為小波基，以此分析波前數(shù)據(jù)并重構(gòu)尺度3的高頻信息，觀察比較不同小波基對(duì)波前的處理效果。結(jié)果顯示：小波序列Ⅳ較小時(shí)，尺度3重構(gòu)波面的空間分辨率較低;小波序列Ⅳ較大時(shí)，尺度3的重構(gòu)波面的空間分辨率高，但提取的走刀痕跡不明顯。所以在選擇小波基時(shí)，要兼顧空間分辨率和表面特征頻率的提取。以此為標(biāo)準(zhǔn)，選出以下10+11?；鵥ior2.6、bior2.8、bior3.1、bior33、bior3.5、coil2、coil3、sym3、sym4、sym5。

使用以上10個(gè)小波基重構(gòu)得到尺度3的中頻波面，計(jì)算平均PSD得到定量的頻譜圖。比較最明顯的特征頻率點(diǎn)的譜密度，如圖5所示，可以定性地分析出該10個(gè)小波基提取特征頻率的能力。圖5顯示bior2.8小波基的分析效果最好，適用于本文的特征頻率分析。

4結(jié)論

本文研究了小波變換在光學(xué)表面低頻段和中頻段誤差的分析方法。小波變換的多尺度分析特點(diǎn)既能從大量低頻信息中提取出所需中頻段信息，又可避免頻域?yàn)V波法所導(dǎo)致幅頻特性失真的問題。本文經(jīng)過分析得出，相對(duì)于其他小波基，bior2.8小波基可以更有效地評(píng)價(jià)飛切法加工的光學(xué)表面的特性，并能準(zhǔn)確提取中頻段的特征頻率。該方法分析結(jié)果準(zhǔn)確穩(wěn)定，適用于分析和控制飛切法加工元件表面的中頻段加工質(zhì)量。