張一方

(云南大學物理系，云南 昆明 650091)

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數(shù)學物理方程某些相關理論和復變函數(shù)的發(fā)展

張一方

(云南大學物理系，云南 昆明 650091)

摘要：首先，討論了一般方程及其某些解的簡化形式；其次，介紹了數(shù)學物理方程及其對稱性；第三，研究了方程的不動點、定性分析理論和相應的各種應用；第四，由矩陣聯(lián)系于線性代數(shù)；第五，討論與數(shù)學物理相關的各種量；最后，探討數(shù)域的推廣和復變函數(shù)發(fā)展(各種超復變函數(shù)).

關鍵詞：數(shù)理方法；方程；定性分析；線性代數(shù)；數(shù)域；復變函數(shù)

1一般方程

基于各種相互作用的規(guī)范理論，討論了規(guī)范場方程的某些新的解及其與極限環(huán)、各種奇異點的關系，探討了這些結果可能具有的粒子性質(zhì)和相變等物理意義[1].筆者在復數(shù)、四元數(shù)等發(fā)展的基礎上，提出了一種新的數(shù)系發(fā)展模式：四元數(shù)推廣為矩陣形式aI+bA+cB+dC，其中單位矩陣I和3個特殊矩陣A,B,C分別相應于數(shù)1和虛數(shù)單位i,j,k.它們一般組成環(huán)，但3種矩陣aI+bA，aI+cB，aI+dC及某些特殊的二階甚至高階矩陣可以組成域，這是一類新的超復數(shù)系.還探討了這種新數(shù)系可能具有的物理意義[2-3].同時討論了數(shù)學分析中n個變量的對稱性，微積分的對稱性及其統(tǒng)一.然后推廣微積分的階數(shù)n等到分數(shù)及各種數(shù)系，由此得到某些新的結果及這些新探索的意義[4].當數(shù)學分析中的空間維數(shù)和微積分的階數(shù)n等推廣到分數(shù)及各種數(shù)系時，場論及其公式也可以相應推廣.筆者研究了此時的Gauss定理、Stokes定理及相應的梯度、散度、旋度的推廣，其中旋度可能有幾種不同的形式，并探討了這些結果在物理學中的應用[5].

即

對高階常系數(shù)線性齊次方程可以進行完全類似的推廣.n階方程可以化為n個方程組，對應n階方陣.類似于此，三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等很多方程都可以化為級數(shù)解.

設方程組為

對于平衡點等，x″=Px′(x-x0)+Py′(y-y0)，則為高階平衡點.

動量空間如果化為一般空間，可以結合力學，Poisson方程[qi,pj]=δij和Hamilton方程

(1)

或結合量子力學xp-px=i?δ及其推廣.

一般微分積分方程為

以下是各級簡方程：

總之，對每一類方程的總性質(zhì)都與一類群等相聯(lián)系.每種數(shù)學運算都導致一種新類型的方程，如代數(shù)、微積分、差分等，因此微分、積分方程有所不同.對不同幾何及統(tǒng)計學、概率論等各種數(shù)學分支都有相應的方程：代數(shù)方程表示解析幾何的圖形，微分方程表示微分幾何的圖形.任意一種數(shù)學式都表示一種相應幾何的圖形，而運算過程表示圖形的變化，這也是數(shù)學基礎，量、運算、形3方面的一種普適聯(lián)系.

2數(shù)學物理方程及其對稱性

通常二階偏微分方程分為橢圓型方程、超雙曲型方程和拋物型方程.在物理中，橢圓型方程對應位勢方程，相應于穩(wěn)恒場，描述狀態(tài)，二次項全對稱，導致定態(tài)Schrodinger方程；超雙曲型方程對應波動方程，相應于波動場，描述過程，對稱性有所破缺，導致Klein-Gordon(KG)方程；拋物型方程對應輸運方程，相應于擴散場，描述過程，對稱性完全破缺，導致一般Schrodinger方程.

相應橢圓方程解應該有所對稱，并且所有穩(wěn)恒場都有所對稱，起碼在高次項時，或方程一次項、常數(shù)項中x,y,z等對稱時如此，如Poisson場.拋物型方程發(fā)展為虛數(shù)時就是Schrodinger方程，聯(lián)系于波動方程.其余方程發(fā)展為虛數(shù)時各種方程及相應的場互相轉化，如橢圓型方程(i)2=-1就是雙曲型方程，反之亦然.復數(shù)i可以聯(lián)系于相對論，而拋物型方程則是非相對論近似.

對相應的物理方程，波動方程描述各種周期性、波動性，包括經(jīng)濟、市場周期變化及人體節(jié)律等.熱傳導方程描述各種衰變、單向演化性、生滅，包括生態(tài)、人口及人體生長、衰老等.穩(wěn)定場方程描述各種穩(wěn)定性分布，如人體發(fā)育的相對穩(wěn)定階段.后二者各描述熵等的增大到穩(wěn)定.它們在數(shù)學上各有對應，包括所有線性方程.

數(shù)學物理方程在球、柱坐標中一般歸為Legendre和Bessel方程.方程本身推廣時，在各種坐標系中，推廣到n維空間時，還應該有各種特殊函數(shù).目前的許多數(shù)理方程可以統(tǒng)一為Sturm-Liouville(SL)方程：

對每類方程，如SL方程，都可能有一類統(tǒng)一的通解.

Legendre方程、Hermit方程和Laguerre從方程形式上可以統(tǒng)一為q=0特殊的SL方程：

即Ky″+(K′-Kf′)y′-λy=0.其中K(x)是多項式，λ是本征值.已知Legendre函數(shù)的微分形式是

Hermite函數(shù)的微分形式是

Laguerre函數(shù)的微分形式是

3個特殊函數(shù)形式上可以統(tǒng)一為

A(u)B(u+v)A(v)=B(v)A(u+v)B(u).

這是AB=BA的推廣，是一類不可交換代數(shù).類似三線性，有可能導致Pauli不相容原理(PEP)破缺[9-15]和非線性理論[11-13]等.這可以任意發(fā)展，發(fā)展到多個函數(shù)和任意組合等.這個方程已經(jīng)用于共形場論、數(shù)學的結理論、辮子理論、算符理論、Hopf代數(shù)、量子群和二維流形的拓撲等.

3方程的不動點、定性分析及應用

對于不動點，y=f(x)方程經(jīng)迭代(對應自相似分形)導致不動點方程x*=f(x*)，對應重整化群.f(x)是n次多項式，則有n個穩(wěn)定或不穩(wěn)定的不動點.對線性函數(shù)f=ax+b，x*=b/(1-a)是唯一解.若不動點具有周期性，則在一定條件下可以相應于極限環(huán).這就聯(lián)系于行星和天體軌道，甚至量子軌道及倍周期，包括來回跳躍的地震點[16-18]，周期性的經(jīng)濟現(xiàn)象等.

導數(shù)、斜率決定不動點的穩(wěn)定性，聯(lián)系于Lyapunov函數(shù)，相應于幻夸克和粒子的穩(wěn)定性[11].進一步相應于非平衡態(tài)和生物等的穩(wěn)定性.Lyapunov函數(shù)應用于非線性系統(tǒng)、非平衡態(tài)體系、耗散結構等可以確定產(chǎn)生穩(wěn)定系統(tǒng)的條件.

方程的定性分析理論可以發(fā)展為：(1)三維、高維空間；(2)二階、高階方程，可以化為一階，或對一階求導后直接分析，或一個二階及一個一階等；(3)可以推廣到方程組F(x,y,x′,y′)=0，G(x,y,x′,y′)=0，求出x′=f(x,y)，y′=g(x,y)等.

這可以發(fā)展為多維分析特征矩陣:

不解方程，變量周期變化時，對積分方程，最后要微分，解不變.對微分方程最后要積分，積分式中對微分項不變，對線性項有相同周期，對非線性項有不同周期.對線性代數(shù)方程周期相同，對非線性方程有所不同.

以速度v=dr/dt=P/m，加速度a=dv/dt=F/m為坐標軸的方法定性討論，可以普遍應用于物理中，用v-a是純運動學，P-F是動力學.一般簡單方程為

對各種非線性方程，如Henon映射、Lorenz模型、五維Navier-Stokes方程等作定性討論，并闡明其物理意義.Lorenz模型中令y′=0，則y=rx-xz代入其余2式，類似Lotka-Volterra(LV)模型[19]，但z′=-cz+dxz；類似z′=0，則z=xy/b，方程組中僅有1項非線性.布魯塞爾振子、Belousov-Zhabotinski(BZ)振蕩[19]等都可以用定性方法及劉正榮的結果[20]等，其形象地描述極限環(huán)等變化.

保守系統(tǒng)對應鞍點、中心點，相應于不穩(wěn)定態(tài)或單中心，具有單一性.耗散系統(tǒng)對應鞍點、焦點、結點，相應于演化過程或多種穩(wěn)定態(tài)，具有多樣性.

在環(huán)上是常數(shù)勢，力、相互作用等某些量為0.因此極限環(huán)及其推廣可用于導體內(nèi)外、表面體內(nèi)外等各方面，只要兩方面分離，有所不同，如亞、超光速，粒子內(nèi)外[1]等.

粒子或系統(tǒng)由一個方程或函數(shù)等描述，令它為f(x)，則對f(x)微分確定其穩(wěn)定性.它應該是由拉氏量、能量確定，導數(shù)等于0就是粒子方程.

筆者將基于星云的旋轉吸積盤的基本方程應用非線性方程的定性分析理論，得到雙星形成的非線性動力學模型.將方程近似簡化為只與速度相關的方程，則得到一個可解的簡單模型，由此獲得雙星演化的非線性動力學機制.在一定條件下，二維空間中的一對奇點作為演化結果相應于雙星.而在別的條件下，這些方程給出單個奇點，就相應于單星.因此，各種星的形成是星云演化的結果[22].這被Steinitz R等[23]在確定雙星中自旋(旋轉速度)間的相互關系時稱為星云形成的雙星張非線性模型.進一步，基于星云復雜的流體力學和磁流體動力學，從宇宙電動力學的Alfver方程出發(fā)，用非線性方程的定性分析理論討論雙星的形成也得到相同的結果，其中非線性相互作用和旋轉取到非常關鍵的作用，而線性方程僅僅形成單星[24].這一模型不僅與著名的Boss等計算機模擬的結果是一致的，而且可以推廣和發(fā)展.廣義相對論是空間大尺度結構任何嚴格演化理論的基礎.筆者計算了廣義相對論中普適的2+1維平面的引力場方程，并基于這些方程討論了星云的演化.對于不同條件，星云可以形成雙星或單星，而任何簡化的線性理論只能形成單星系統(tǒng).這證明了非線性相互作用是非常普遍的，所以雙星也是十分常見的[25].

用定性分析方法通?？梢缘玫揭恍┎坏仁胶团袆e式.這些還可以結合相變、分岔-混沌理論和突變論[6]等，它包括由Lorenz方程及各種非線性方程等導致的判別式，這還可以聯(lián)系于一般的結構穩(wěn)定判別式.

更一般，方程等定性分析理論中的各種點、形對應于物理、天文、生物、社會等各種自然、社會科學中的某些現(xiàn)象.例如結點可以描述流體、正負電荷、相空間等.

如果結構對應于格點理論，那么定性方法可以推廣到差分離散方程，此時僅微分變?yōu)椴罘?進一步，適用的方程推廣到代數(shù)、積分等各種方程，推廣到各種數(shù)學，或結合幾何、代數(shù)、拓撲等中的方法.推廣定性分析理論是匯、源及各類奇點、平衡點在微分、積分后性質(zhì)不變.這對線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都成立.

4線性代數(shù)

由α=n+d階矩陣聯(lián)系于分維矩陣、分維代數(shù)[26-27]，展開即α個變量、α個方程、α維空間，由此定義α階行列式及α×β矩陣.α可以發(fā)展為負數(shù)、復數(shù)及其推廣等[2-3].此外，行列式、矩陣可以發(fā)展為三維、高(n)維、分維、復數(shù)維及其推廣等形式[2-3].

線性空間加和乘已經(jīng)推廣，如此線性相關或線性無關也可以推廣.線性疊加原理、方程解、Fourier展開等各種與線性有關的都應該可以相應推廣，起碼在一定條件下.

進而線性代數(shù)應該發(fā)展為非線性代數(shù)，此時矩陣可以發(fā)展為高階張量.對二元二次方程組，二次項系數(shù)是8個，是二維三階張量.對二元r次方程組，相應系數(shù)是2r+1個；對n元r次非線性方程組系數(shù)是nr+1個，對應n維r+1階張量.而一次項的方程組的系數(shù)是矩陣，零次項的系數(shù)是矢量.進一步確定這些張量間的關系.同時從直角坐標發(fā)展到曲線坐標，但對一般的二元二次方程組就解得四次方程，因此其發(fā)展可能是純形式的.

任意非線性函數(shù)都可以展開化為Taylor冪級數(shù).另一種非線性函數(shù)的展開是用Fourier級數(shù).對一元函數(shù)用2組數(shù)ak,bk表示，然后先推廣到二元m次的Fourier級數(shù)表示，再發(fā)展到方程組，這可能聯(lián)系于非線性規(guī)劃.

5數(shù)學物理量

點乘決定流形度規(guī)，叉乘決定流形撓率；決定代數(shù)性質(zhì)，這是代數(shù)用于幾何.乘法不可對易是環(huán)、算符；加法不可對易的數(shù)學可以類比推廣.在代數(shù)系統(tǒng)中乘法和加法都是運算，二者對稱，其余還有扭量及其分維、復數(shù)維[11,26-27，29]等.

輕子(e,v)是最小質(zhì)量態(tài)的扭量對，其實質(zhì)是二維幺正群，聯(lián)系于弱相互作用，e,v可以作為其二重態(tài)的積分表示.對應的計算散射振幅無紫外發(fā)散.三重態(tài)構成Weinberg-Salam理論，六重態(tài)形成大統(tǒng)一，可以推廣為高秩、高維、彎曲空間.進一步，應該討論協(xié)變微分和廣義相對論中相應于量子力學的旋量場.

6數(shù)域的推廣和復變函數(shù)的發(fā)展

量子力學數(shù)域(c數(shù))的推廣，即q數(shù)(算符、矩陣等).數(shù)學、物理中各種理論都可以相應推廣，并再推廣為任意的A(any)數(shù).

量子力學用Pauli矩陣得到自旋及Pauli方程，推廣到Dirac環(huán)就有相對論的Dirac方程及Kemmer方程[28]等.相對論用Pauli矩陣之一部分，因此組成Clifford數(shù)[28]，由此可以得到推廣的Lorentz變換(GLT)[11,30-31].進而可以用全部Pauli矩陣，并推廣到Dirac環(huán).此外，數(shù)學上還可以再推廣.

已知復變函數(shù)可導的條件是Cauchy-Riemann(C-R)方程：

其中z=u+iv(一維).分析力學Hamilton形式的正則方程(1)統(tǒng)一為Poisson方程.劉正榮等[20]討論的方程

完全類似力學中的Hamilton正則方程.對應電動力學中的無源電磁場方程

(H;iE)統(tǒng)一為Fik(三維)，它們的形式有某些類似.

一般說，復數(shù)、復變函數(shù)主要解決二維平面問題.這應該發(fā)展為三、四等直到n維的形式，對于四維可能聯(lián)系于四元數(shù)(1,i,j,k).反之，推廣到四元數(shù)、超復數(shù)等[25-26]時，復變函數(shù)都可以發(fā)展為相應的矩陣四元量函數(shù)、一般的矩陣函數(shù)等超復變函數(shù)，包括相應的三角函數(shù)，對應n維、分維、復數(shù)維[26,29，32]等.

各種數(shù)學及科學中實數(shù)、虛數(shù)統(tǒng)一的一個典型例子是相對論及相應的四維時空結構.超復變函數(shù)物理上可能聯(lián)系于亞超光速、超對稱及統(tǒng)一相對論和量子論等，可以用于所有數(shù)學、物理領域.

復變函數(shù)、復數(shù)系的普遍聯(lián)系及相互類比、n維推廣.更廣泛地說，能用復變函數(shù)者都可以用二維復數(shù)系(1+i,1+j,1+k等)，它們彼此等價.整個量子力學的算符表示中，Heisenberg，Poisson，Schrodinger方程都必須乘以i，以保證厄米.理論上可以i→j,k，而宇稱P,C=±1，可以由j,i平方統(tǒng)一.進而這些都可以推廣到n維復數(shù)系.反之，用二維復數(shù)系者都可以用相應的復變函數(shù)代替，此時又對應矩陣函數(shù).但超復數(shù)環(huán)有局限，相應的超復變函數(shù)也有局限.總之，復數(shù)發(fā)展為各種二維復數(shù)系，再發(fā)展為各種四元數(shù)系，并發(fā)展到n維及各種結合的復數(shù)系.復變函數(shù)也相應地進行各種推廣.

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(責任編輯陳炳權)

Some Theories About Mathematical-Physical Equations and

Development of Complex Variables Functions

ZHANG Yifang

(Department of Physics,Yunnan University,Kunming 650091,China)

Abstract:First,the general equations and some of the simplified forms of their solutions are discussed.Next,the mathematical-physical equations and their symmetries are introduced.Thirdly,the fixed points,the qualitative analysis theory and corresponding applications on these equations are investigated.Fourthly,linear algebra is assorted from matrix.Fifthly,various quantities related with mathematics and physics are discussed.Finally,the extension of the number field and various super complex variables functions developed from the complex variables functions,etc.,are researched.

Key words:mathematical-physical method；equation；qualitative analysis；linear algebra；number field；complex variables functions

作者簡介：張一方(1947—)，男，云南昆明人，云南大學物理系教授，主要從事理論物理研究.

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11164033)

收稿日期：2014-10-12

中圖分類號：O413.1

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.009

文章編號：1007-2985(2015)02-0038-08