邢家省1，高建全2，羅秀華2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部

重點實驗室,北京 100191;2.平頂山教育學(xué)院，河南 平頂山 467000)

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曲面論高斯方程公式的幾種形式的推導(dǎo)方法

邢家省1，高建全2，羅秀華2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部

重點實驗室,北京 100191;2.平頂山教育學(xué)院，河南 平頂山 467000)

摘要：考慮曲面論高斯方程公式的表示問題.運用曲面上基本方程的矩陣表示法，給出高斯方程直接的顯式公式表示；指出高斯曲率簡化公式的推導(dǎo)來源，揭示出高斯曲率隱式公式的發(fā)現(xiàn)過程，并給出了Liouville形式的高斯方程的證明過程.

關(guān)鍵詞：曲面論基本方程；矩陣表示法;高斯方程；Liouville形式

曲面上的高斯曲率的定義和計算公式是經(jīng)典曲面論的重要內(nèi)容[1-12].曲面上的高斯曲率是曲面的內(nèi)蘊量[1-6]，這個重要結(jié)果是高斯于1827年發(fā)現(xiàn)的著名定理，稱為高斯絕妙定理[2,6]或曲面論的高斯方程.該定理的原始表述形式是用曲面上的第1類基本量的隱式表達的.給出高斯方程的顯式表達，是人們所追求的，而現(xiàn)有文獻中給出的推導(dǎo)過程相當(dāng)繁雜，不利于理解和掌握.筆者發(fā)現(xiàn)采用曲面論基本方程的矩陣表示法，運用矩陣運算就可以很簡明地推導(dǎo)出高斯方程的顯式表達[12].對正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下高斯曲率的簡化計算公式[1-6]，筆者也給出了導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的過程.高斯曲率是內(nèi)蘊量的隱式公式[1-7,9]，人們通常都是采用驗證的方式[7,9]，沒有指出這種公式是如何合理發(fā)現(xiàn)的，筆者給出了導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的推導(dǎo)過程.對Liouville形式的高斯方程也給出了推導(dǎo)過程[5].

1曲面論的基本方程的矩陣方程表達形式

給出C3類的正則曲面Σ:r=r(u1,u2),(u1,u2)∈Δ.按照文獻[1-6，9-11]中的符號體系，給出如下一系列記號：

命

是A=(gij)的逆矩陣；

將曲面的基本方程改寫成矩陣方程的形式為[1-6,9-12]：

(1)

(2)

其中

2曲面的基本方程中系數(shù)矩陣之間的關(guān)系的矩陣推導(dǎo)方法

利用(1)式，存在可解曲面的充要條件是

經(jīng)過代入運算，最后比較左右兩端的系數(shù)，可得

(3)

3高斯方程的隱式表示公式的矩陣推導(dǎo)方法

對(3)式右端進行代入運算[11-12]，可得

(4)

由(4)式兩邊矩陣中右上角的元素對應(yīng)元素相等，可得[1-6,9,11]

于是高斯曲率有如下的內(nèi)蘊計算公式[1-6,9]：

(5)

由(5)式兩邊矩陣中左下角的元素對應(yīng)元素相等，可得

于是高斯曲率有如下的內(nèi)蘊計算公式[1-6,9,11]：

比較(4)式中兩邊矩陣中的對應(yīng)元素相等，還可得到另外2個形式的等式[1-4].

4高斯方程的顯式表示公式的矩陣推導(dǎo)方法

在(4)式左端利用曲面基本方程中系數(shù)矩陣的關(guān)系，經(jīng)過代入運算[11-12]，可得(4)式等價于[11-12]

(6)

由(6)式兩邊矩陣的右上角對應(yīng)元素相等，可得

(7)

顯然(7)式與高斯曲率內(nèi)蘊定理的Brioschi表示公式是一致的[1-6,12].

利用

(8)

得出

(9)

所以有

將(8)，(9)式的對應(yīng)項代入(7)式，經(jīng)過計算化簡，可得

(10)

(10)式就是曲面論中著名的高斯方程[13]，可以作為標(biāo)準(zhǔn)形式去驗證其他形式.

5正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下高斯曲率的簡化計算公式的推導(dǎo)

當(dāng)曲面Σ：r=r(u1,u2)上的坐標(biāo)曲線網(wǎng)是正交網(wǎng)時，g12=r1·r2=0.利用(10)式，得到

(11)

另一方面，經(jīng)過湊微分法，逐步推導(dǎo)[12]，可得

故有

(12)

這就是正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下高斯曲率的簡化計算公式，具有重要的應(yīng)用.

直接計算可得

(13)

由(11)式和(13)式，得到

將(12)式改寫為如下形式：

(14)

利用

得出

(15)

將(15)式代入(14)式，得

(16)

類似地，由

得到

(17)

將(17)式代入(14)式，得

(18)

對(16)式和(18)式，這里給出了導(dǎo)致其被發(fā)現(xiàn)的過程.

6高斯曲率隱式表示公式的來源及驗證推導(dǎo)方法

在曲面Σ：r=r(u1,u2)上的曲線坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)時,給出了對(16)式和(18)式的發(fā)現(xiàn)過程.

在一般坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，直接驗證[1-2,7,9]，成立

(19)

事實上,由

得到

(20)

將(20)式代入(19)式的右端，得到

(21)

對(21)式經(jīng)過求偏導(dǎo)數(shù)計算，可以得出(21)式與(10)式是相同的，于是(19)式成立.

類似地，在一般坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，直接驗證[1-2,7,9,11]，成立

(22)

事實上,注意到

(23)

將(23)式代入(22)式的右端，得到

(24)

對(24)式經(jīng)過求偏導(dǎo)數(shù)計算，可以得到與(10)式同樣的式子，從而(22)式成立.

在一般坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，對高斯曲率的計算公式(19)式和(22)式，文獻[1-7，9，11]中僅是直接給出，然后是驗證法，沒有給出是如何導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)這種結(jié)果的，這里給出了來源.顯然，在一般坐標(biāo)曲線網(wǎng)下，(14)式不再成立.

7Liouville形式的高斯方程的發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)過程

在曲面Σ：r=r(u1,u2)上的坐標(biāo)曲線網(wǎng)是一般網(wǎng)的情形下，文獻[5]中指出高斯方程有如下的Liouville形式：

(25)

欲證(25)式成立，方法一是直接驗證(25)式的右端與(10)式的形式一樣，然而這沒有指出(25)式本身是如何發(fā)現(xiàn)的.下面給出(25)式的發(fā)現(xiàn)性推導(dǎo)過程.

將(21)式和(24)式的兩端相加，得到

(26)

經(jīng)過求偏導(dǎo)數(shù)運算及化簡，可得到

(27)

(28)

將(27)式和(28)式相加，得到

(29)

將(29)式代入(26)式，就得到(25)式成立.

參考文獻：

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(責(zé)任編輯向陽潔)

Derivation of Gaussian Equation figures of Surface Theory

XING Jiasheng1，GAO Jianquan2,LUO Xiuhua2

(1.Department of Mathematics,LMIB of the Ministry of Education,Beihang University,Beijing 100191，China;

2.Pingdingshan Institute of Education,Pingdingshan 467000,Henan China)

Abstract:The Gaussian equation expression of surface theory is discussed.The direct explicit figure expression of Gaussian equation is derived by means of the matrix expression of the fundamental equation on curved surface.The derivation of Gaussian curvature simplified figure is discussed which discloses the discovery of Gaussian curvature implicit figure.The proof procedure of Gaussian equation of Liouville form is demonstrated.

Key words:fundamental equation of surface theory;matrix expression;Gaussian equation;Liouville form

作者簡介：邢家省(1964—)，男，河南泌陽人,北京航空航天大學(xué)副教授,博士，主要從事偏微分方程、微分幾何研究.

基金項目：國家自然科學(xué)基金資助項目(11201020)；北京航空航天大學(xué)校級重大教改項目(201401)

收稿日期：2014-08-01

中圖分類號：O186.1

文獻標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1007-2985.2015.02.001

文章編號：1007-2985(2015)02-0001-07